Circuitos Elétricos 1

01 Corrente, tensão, potência e energia

A ideia. Circuitos Elétricos 1 é a primeira cadeira em que você resolve um circuito em vez de estudar o campo que existe dentro dele. O Eletromagnetismo tratava de $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$ no espaço; aqui o espaço desaparece e sobra um grafo de elementos ligados por fios ideais. Toda a cadeira se apoia em quatro grandezas e numa convenção de sinal — e é o sinal, não a conta, que derruba prova.

Corrente é uma taxa; tensão é uma diferença

i(t) = \frac{dq}{dt} \qquad\qquad q(t) = q(t_0) + \int_{t_0}^{t} i(\tau)\,d\tau

Duas leituras que valem para a cadeira inteira:

corrente passa por, tensão fica entre. Não existe “a tensão em um ponto” sem um segundo ponto de referência, e não existe “a corrente através de dois pontos”. Metade dos erros de enunciado mal lido é isto;
corrente é derivada de carga, então falar de corrente exige falar de quando. Na 3ª e na 4ª unidade, quando $i$ e $v$ passarem a depender do tempo, essa derivada volta como protagonista.

A convenção passiva de sinal

02 Elementos passivos e ativos; fontes independentes e controladas

A ideia. Um circuito é um grafo, e todo o vocabulário da cadeira está nos nós, nos ramos e nas malhas. Antes de escrever qualquer equação vale saber ler o desenho — e saber, olhando para cada elemento, se ele entrega ou consome energia, porque é isso que separa fonte de carga.

Passivo e ativo

Passivo é o elemento que só consome ou armazena: resistor (dissipa), capacitor e indutor (armazenam e devolvem). Nenhum deles cria energia — no balanço de um ciclo completo, a energia que sai deles nunca é maior que a que entrou.

Ativo é o que fornece: as fontes. E é aqui que a cadeira separa dois tipos que se comportam de maneira muito diferente na hora de resolver.

Fontes controladas: o que muda de verdade

Uma fonte independente vale um número. Uma fonte controlada (ou dependente) vale $k$ vezes uma tensão ou uma corrente de outro ponto do circuito — e é isso que a torna trabalhosa: ela acopla partes do circuito que pareciam separadas.

São quatro, e o nome diz a fórmula:

\begin{array}{ll} \textbf{FTCT} & v = \mu\,v_x \quad \text{(tensão controlada por tensão, } \mu \text{ adimensional)}\\[2pt] \textbf{FTCC} & v = r\,i_x \quad \text{(tensão controlada por corrente, } r \text{ em } \Omega)\\[2pt] \textbf{FCCT} & i = g\,v_x \quad \text{(corrente controlada por tensão, } g \text{ em } \mathrm{S})\\[2pt] \textbf{FCCC} & i = \beta\,i_x \quad \text{(corrente controlada por corrente, } \beta \text{ adimensional)} \end{array}

03 Lei de Ohm e associação de resistores

A ideia. O resistor é o único elemento da cadeira em que tensão e corrente se relacionam por um número, sem derivada e sem integral. Por isso ele é o mais fácil — e por isso a “revisão de circuitos resistivos” é a primeira unidade: tudo o que vem depois (capacitor, indutor, transitório) é essa mesma análise com uma equação diferencial no lugar de $R$ .

v = R\,i \qquad\qquad p = v\,i = R\,i^2 = \frac{v^2}{R}

Note que $p \ge 0$ sempre: resistor só absorve. As três formas da potência são a mesma conta — use a que já tem o dado que você conhece, sem passar pela terceira variável.

As duas associações

04 Divisor de tensão e divisor de corrente

A ideia. Os divisores não são fórmulas novas: são a Lei de Ohm aplicada a uma associação, escrita de um jeito que dispensa achar a corrente (ou a tensão) total primeiro. Bem usados, eles resolvem em uma linha o que a análise nodal resolve em um sistema — e é por isso que valem ser reconhecidos de olho.

Divisor de tensão — série

v_k = v\,\frac{R_k}{R_1 + R_2 + \cdots + R_n}

A tensão se reparte proporcionalmente à resistência: o maior resistor fica com a maior fatia. Faz sentido — mesma corrente em todos, então $v_k = R_k i$ .

Divisor de corrente — paralelo

i_k = i\,\frac{G_k}{G_1 + \cdots + G_n} = i\,\frac{R_{eq}}{R_k}

A corrente se reparte inversamente à resistência: o menor resistor leva a maior fatia — é o caminho mais fácil. Para dois resistores, a forma que se usa na prática:

i_1 = i\,\frac{R_2}{R_1 + R_2} \qquad\qquad i_2 = i\,\frac{R_1}{R_1 + R_2}

Exemplo rápido — os dois na mesma conta

Uma fonte de $24\ \mathrm{V}$ alimenta $R_1 = 4\ \Omega$ em série com o paralelo de $R_2 = 12\ \Omega$ e $R_3 = 6\ \Omega$ . Qual a corrente em $R_3$ ?

Passo 1 — colapse o paralelo:

R_2 \parallel R_3 = \frac{12 \times 6}{18} = 4\ \Omega

Passo 2 — divisor de tensão para achar a tensão sobre o paralelo:

v_{p} = 24\,\frac{4}{4 + 4} = 12\ \mathrm{V}

Passo 3 — Ohm direto em $R_3$ (ele tem essa tensão inteira):

i_3 = \frac{12}{6} = 2\ \mathrm{A}

Conferindo pelo divisor de corrente: a corrente total é $24/8 = 3\ \mathrm{A}$ , e

i_3 = 3\,\frac{R_2}{R_2 + R_3} = 3\,\frac{12}{18} = 2\ \mathrm{A}\ ✔

O resistor cruzado ( $R_2$ ) no numerador — e o resultado bate pelos dois caminhos.

05 As leis de Kirchhoff

A ideia. A Lei de Ohm descreve um elemento. As leis de Kirchhoff descrevem como os elementos conversam — e são elas, não Ohm, que sustentam todo o resto da cadeira: análise nodal, análise de malhas, Thévenin e as equações diferenciais dos transitórios saem todas daqui. São duas, e cada uma é uma lei de conservação disfarçada.

LKC — no nó, o que entra sai

\sum_{k} i_k = 0 \qquad\text{ou}\qquad \sum i_{\text{entra}} = \sum i_{\text{sai}}

Carga não se acumula num nó (um nó é um ponto, não tem capacitância). Vale para qualquer nó e também para qualquer superfície fechada que envolva parte do circuito — é essa generalização que autoriza o supernó.

LKT — no laço, a soma das quedas é zero

\sum_{k} v_k = 0

Percorra um laço fechado e volte ao ponto de partida: você tem de voltar ao mesmo potencial. Se não voltasse, daria para extrair energia dando voltas — e não dá.

No nó $A$ : entra $5\ \mathrm{A}$ , saem $3\ \mathrm{A}$ e $i_1$ . Logo $i_1 = 5 - 3 = 2\ \mathrm{A}$ — e se o resultado desse negativo, significaria apenas que a corrente vai no sentido oposto ao da seta.

06 Análise nodal (análise de nós)

A ideia. Kirchhoff dá as equações, mas não diz quais escrever. A análise nodal responde isso de um jeito mecânico: eleja um nó como referência, chame de incógnita o potencial de cada um dos outros, e escreva a LKC em cada um deles. As correntes dos ramos você nem nomeia — elas viram diferenças de potencial divididas por resistências. Sai um sistema $(n-1) \times (n-1)$ , e é o método que a prova pede quando o circuito tem fontes de corrente.

O roteiro

Conte os nós e escolha a referência — sempre o de mais ramos, ou o terminal $-$ da maior fonte de tensão. Uma escolha boa apaga uma incógnita de graça.
Nomeie $v_1, \dots, v_{n-1}$ nos demais.
LKC em cada nó, com todas as correntes saindo. A corrente que sai de $a$ para $b$ por um resistor $R$ é $i_{a \to b} = \frac{v_a - v_b}{R}$ Sempre “o daqui menos o de lá, sobre a resistência”. Fonte de corrente entra como o próprio valor, com o sinal do sentido.
Resolva o sistema.

Macete de prova

Escreva direto na forma matricial e pule a álgebra. Se o circuito só tem fontes de corrente, a equação do nó $k$ é

\underbrace{\Big(\textstyle\sum G \text{ ligadas a } k\Big)}_{\text{diagonal, sempre } +} v_k \;-\; \sum_{j \neq k} \underbrace{G_{kj}}_{\text{entre } k \text{ e } j} v_j \;=\; \underbrace{\textstyle\sum i_{\text{entrando em } k}}_{\text{fontes}}

Ou seja: na diagonal, a soma das condutâncias que tocam o nó; fora dela, menos a condutância que liga os dois nós; do lado direito, a corrente das fontes que entram. A matriz sai simétrica — e se não saiu, você errou um sinal ou existe fonte controlada no circuito.

Fonte de tensão entre dois nós: o supernó

Uma fonte de tensão ideal não tem uma corrente própria que você possa escrever, então a LKC trava. Há dois casos:

Fonte ligada à referência. O potencial do outro nó já é conhecido: $v_k = \pm V_s$ . Uma incógnita a menos, nem se escreve a LKC ali.
Fonte flutuando entre dois nós $a$ e $b$ . Envolva os dois numa superfície fechada — o supernó — e escreva a LKC dessa superfície (as correntes de fora, ignorando a fonte). Isso dá uma equação; a segunda é a restrição imposta pela fonte: $v_a - v_b = V_s$

Duas incógnitas, duas equações. Nenhuma informação se perde.

A LKC do supernó ignora a fonte e conta só o que atravessa a moldura: $\dfrac{v_1}{4} + \dfrac{v_2}{6} + \dfrac{v_2}{3} = 3$ . A segunda equação é a própria fonte: $v_1 - v_2 = 12$ .

07 Análise de malhas

A ideia. É a análise nodal de cabeça para baixo: em vez de potenciais nos nós, as incógnitas são correntes fictícias circulando em cada malha, e em vez da LKC você escreve a LKT. Vale só para circuitos planos (que se desenham sem cruzar fios), e é o método que a prova pede quando o circuito tem fontes de tensão — pela mesma razão que a nodal brilha com fontes de corrente.

O roteiro

Identifique as malhas e atribua a cada uma delas uma corrente, todas no mesmo sentido (adote horário e nunca mais pense nisso).
LKT em cada malha, percorrendo no sentido da própria corrente.
Num ramo compartilhado por duas malhas, a corrente real é a diferença: o resistor comum entre as malhas $1$ e $2$ cai $R\,(i_1 - i_2)$ quando escrito da malha $1$ .
Resolva e só então volte às correntes reais dos ramos.

Macete de prova

A forma matricial, com todas as correntes no sentido horário:

\underbrace{\Big(\textstyle\sum R \text{ da malha } k\Big)}_{\text{diagonal, sempre } +} i_k \;-\; \sum_{j \neq k} \underbrace{R_{kj}}_{\text{compartilhado}} i_j \;=\; \underbrace{\textstyle\sum V \text{ que empurra } i_k}_{\text{fontes}}

Diagonal: soma das resistências da malha. Fora dela: menos a resistência comum às duas malhas. Direita: soma das fontes que empurram a corrente no sentido adotado (fonte percorrida do $-$ para o $+$ entra com $+$ ). Simétrica de novo — e de novo, assimetria significa erro de sinal ou fonte controlada.

Fonte de corrente num ramo: a supermalha

Uma fonte de corrente ideal não tem uma tensão própria que você possa escrever, então a LKT trava. Dois casos, espelhando o supernó:

Fonte só numa malha (num ramo de fronteira externa). A corrente daquela malha já está determinada: $i_k = \pm I_s$ . Uma incógnita a menos.
Fonte compartilhada por duas malhas $1$ e $2$ . Escreva a LKT do contorno externo das duas juntas — a supermalha —, pulando o ramo da fonte. Isso dá uma equação; a segunda é a restrição da fonte: $i_1 - i_2 = I_s$

A LKT da supermalha percorre o contorno externo e ignora o ramo do meio: $-10 + 2i_1 + 6i_2 + 3i_2 = 0$ . A segunda equação vem da fonte: $i_1 - i_2 = 2$ .

Exemplo rápido — a supermalha acima

Com $i_1 = i_2 + 2$ :

-10 + 2(i_2 + 2) + 9i_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 11 i_2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad i_2 = 0{,}545\ \mathrm{A}

e $i_1 = 2{,}545\ \mathrm{A}$ . Conferindo pela potência: a fonte de $10\ \mathrm{V}$ fornece $10 \times 2{,}545 = 25{,}45\ \mathrm{W}$ ; os resistores absorvem $2(2{,}545)^2 + 9(0{,}545)^2 = 12{,}95 + 2{,}67 = 15{,}62\ \mathrm{W}$ . Faltam $9{,}82\ \mathrm{W}$ , e são da fonte de corrente: tomando o fio de baixo como referência, o nó do meio está em $9(0{,}545) = 4{,}91\ \mathrm{V}$ , e os $2\ \mathrm{A}$ atravessam a fonte do $+$ para o $-$ — ela absorve $4{,}91 \times 2 = 9{,}82\ \mathrm{W}$ . Agora fecha: $12{,}95 + 2{,}67 + 9{,}82 = 25{,}44\ \mathrm{W}$ ✔

08 Princípio da superposição

A ideia. Circuito linear é circuito em que dobrar as fontes dobra todas as respostas. Disso segue algo mais forte e muito útil: a resposta a várias fontes é a soma das respostas a cada fonte agindo sozinha. Então um circuito com três fontes vira três circuitos com uma fonte cada — cada um mais simples, e cada um resolvido pelo método que for mais conveniente.

O enunciado

v = v^{(1)} + v^{(2)} + \dots + v^{(m)} \qquad i = i^{(1)} + i^{(2)} + \dots + i^{(m)}

onde $v^{(k)}$ é a resposta com a fonte $k$ ativa e todas as outras desativadas. Com $m$ fontes independentes, $m$ circuitos.

Duas fontes, dois subcircuitos. Note que $v$ é a tensão sobre o resistor de $6\ \Omega$ — é ela que a superposição vai montar em duas parcelas.

Os dois subcircuitos da figura

Só a fonte de tensão (a de corrente vira circuito aberto). Sobram $12\ \mathrm{V}$ sobre $4\ \Omega$ em série com $6\ \Omega$ — divisor de tensão:

v^{(1)} = 12 \cdot \frac{6}{4 + 6} = 7{,}2\ \mathrm{V}

Só a fonte de corrente (a de tensão vira curto). Os $2\ \mathrm{A}$ encontram $6\ \Omega$ em paralelo com $4\ \Omega$ :

v^{(2)} = 2 \cdot (6 \parallel 4) = 2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8\ \mathrm{V}

\boxed{v = 7{,}2 + 4{,}8 = 12\ \mathrm{V}}

09 Equivalentes de Thévenin e de Norton

A ideia. Escolha dois terminais quaisquer de um circuito linear. Do ponto de vista de quem se liga neles, tudo que está do outro lado — dez resistores, quatro fontes, o que for — é indistinguível de uma fonte de tensão em série com um resistor. Esse é Thévenin. E como fonte de tensão com resistor em série se converte em fonte de corrente com resistor em paralelo, existe a versão dual: Norton. É o teorema que permite resolver um circuito grande uma vez e depois trocar a carga à vontade.

As três grandezas, e a relação entre elas

V_{\mathrm{Th}} = v_{ab}\big|_{\text{em aberto}} \qquad I_{N} = i_{ab}\big|_{\text{em curto}} \qquad V_{\mathrm{Th}} = R_{\mathrm{Th}} \, I_{N}

Basta achar duas — a terceira sai da relação. Isso é o atalho mais útil do assunto: quando o circuito tem fonte controlada e $R_{\mathrm{Th}}$ é difícil de ver, calcule $V_{\mathrm{Th}}$ e $I_N$ e divida.

Os dois enxergam a mesma coisa em $a$ – $b$ , para qualquer carga. A conversão é direta: $I_N = V_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ , com $R_N = R_{\mathrm{Th}}$ .

Como achar $R_{\mathrm{Th}}$ — três casos, em ordem de preferência

Só fontes independentes. Desative todas (tensão vira fio, corrente vira buraco) e associe série/paralelo olhando de $a$ – $b$ para dentro. É conta de aritmética.
Há fontes controladas. Não se pode desativá-las. Aplique uma fonte de teste em $a$ – $b$ — injete $1\ \mathrm{A}$ e meça $v_{ab}$ , ou aplique $1\ \mathrm{V}$ e meça $i$ — com as fontes independentes desativadas: $R_{\mathrm{Th}} = \frac{v_{\text{teste}}}{i_{\text{teste}}}$
O caminho preguiçoso e infalível. Calcule $V_{\mathrm{Th}}$ (em aberto) e $I_N$ (em curto) com o circuito completo, e faça $R_{\mathrm{Th}} = V_{\mathrm{Th}}/I_N$ .

Exemplo rápido

Uma fonte de $15\ \mathrm{V}$ em série com $10\ \Omega$ alimenta o nó $a$ ; de $a$ para $b$ há um resistor de $10\ \Omega$ , e $b$ é o retorno da fonte.

$V_{\mathrm{Th}}$ (em aberto, sem carga): divisor entre os dois $10\ \Omega$ →

V_{\mathrm{Th}} = 15 \cdot \frac{10}{10 + 10} = 7{,}5\ \mathrm{V}

$R_{\mathrm{Th}}$ : fonte em curto, os dois $10\ \Omega$ ficam em paralelo →

R_{\mathrm{Th}} = 10 \parallel 10 = 5\ \Omega

$I_N$ : por conversão, $I_N = 7{,}5/5 = 1{,}5\ \mathrm{A}$ . Conferindo direto — com $a$ – $b$ em curto, o resistor vertical fica curto-circuitado e sobra $15/10 = 1{,}5\ \mathrm{A}$ ✔

10 Máxima transferência de potência

A ideia. Um circuito com $V_{\mathrm{Th}}$ e $R_{\mathrm{Th}}$ fixos alimenta uma carga $R_L$ que você pode escolher. Carga pequena demais: a corrente é grande, mas quase toda a tensão cai dentro da fonte. Carga grande demais: a tensão na carga é quase $V_{\mathrm{Th}}$ , mas quase não passa corrente. Existe um meio, e ele é exatamente no ponto em que a carga casa com a resistência interna.

O resultado

p_L = R_L \, i^2 = R_L \left(\frac{V_{\mathrm{Th}}}{R_{\mathrm{Th}} + R_L}\right)^2

Derive em relação a $R_L$ e iguale a zero:

\frac{dp_L}{dR_L} = V_{\mathrm{Th}}^2 \, \frac{(R_{\mathrm{Th}} + R_L)^2 - 2R_L(R_{\mathrm{Th}} + R_L)}{(R_{\mathrm{Th}} + R_L)^4} = V_{\mathrm{Th}}^2 \, \frac{R_{\mathrm{Th}} - R_L}{(R_{\mathrm{Th}} + R_L)^3}

que zera em

\boxed{R_L = R_{\mathrm{Th}}} \qquad\text{e então}\qquad \boxed{p_{L,\max} = \frac{V_{\mathrm{Th}}^2}{4\,R_{\mathrm{Th}}}}

Metade da tensão cai dentro, metade na carga — por isso o rendimento no ponto de máxima potência é de apenas $50\%$ . Máxima potência e máximo rendimento são objetivos diferentes.

11 Amplificador operacional ideal

A ideia. O amp. op. é o primeiro elemento da cadeira que não é um bipolo: tem duas entradas, uma saída, e amplifica a diferença entre as entradas por um ganho enorme. Só que analisar circuito com amp. op. não exige nada disso — exige duas regras, e as duas saem de levar o ganho ao limite. Depois delas, é o mesmo Kirchhoff de sempre.

As duas regras do amp. op. ideal

\boxed{v_{+} = v_{-}} \qquad\qquad \boxed{i_{+} = i_{-} = 0}

A primeira, o curto virtual: se $v_o = A(v_+ - v_-)$ é finito e $A \to \infty$ , então $v_+ - v_- \to 0$ . As entradas ficam no mesmo potencial sem estarem ligadas — daí “virtual”. Ela só vale com realimentação negativa; sem ela o amp. op. satura e a regra não se aplica.

A segunda: a impedância de entrada ideal é infinita, então nenhuma corrente entra pelos terminais de entrada. Toda a corrente que chega ao nó inversor tem de ir para a realimentação.

Os dois circuitos que caem em prova

Inversor. O nó inversor está em $0\ \mathrm{V}$ (curto virtual com o terra) — é o terra virtual. A LKC ali: $\dfrac{v_e - 0}{R_1} + \dfrac{v_o - 0}{R_2} = 0$ , ou seja

\frac{v_o}{v_e} = -\frac{R_2}{R_1}

Trocando a fonte de lugar — entrando pela não inversora e aterrando a ponta livre de $R_1$ — obtém-se o não inversor, com $v_- = v_+ = v_e$ e a mesma LKC:

\frac{v_o}{v_e} = 1 + \frac{R_2}{R_1}

que nunca é menor que $1$ , e vale exatamente $1$ quando $R_2 = 0$ — o seguidor de tensão, cuja função é isolar, não amplificar.

12 Capacitores: tensão, corrente, energia e associação

A ideia. Até aqui todo elemento era resistivo: a corrente de agora dependia só da tensão de agora. O capacitor quebra isso. Ele guarda carga, e a corrente que passa por ele não depende do valor da tensão, mas da velocidade com que ela muda. É o primeiro elemento com memória da cadeira — e é de onde vêm as equações diferenciais de todo o resto.

As duas relações

\boxed{\,i_C = C\,\frac{dv_C}{dt}\,} \qquad\qquad v_C(t) = v_C(t_0) + \frac{1}{C}\int_{t_0}^{t} i_C(\tau)\,d\tau

A primeira é a definição operacional; a segunda é ela integrada, e mostra onde mora a memória: para saber $v_C$ agora é preciso saber a história da corrente, mais a condição inicial $v_C(t_0)$ .

Do lado da física, para o capacitor de placas paralelas do Eletromagnetismo, $C = \varepsilon A / d$ — a capacitância é geometria, não escolha do circuito.

Energia

w_C(t) = \frac{1}{2}\,C\,v_C^2(t)

Sempre $\geq 0$ : o capacitor armazena e devolve, nunca dissipa. Repare que a energia depende de $v_C$ , não de $i_C$ — é a tensão que é o “estado” do capacitor.

Associação

\text{série:}\quad \frac{1}{C_{\mathrm{eq}}} = \sum_k \frac{1}{C_k} \qquad\qquad \text{paralelo:}\quad C_{\mathrm{eq}} = \sum_k C_k

Ao contrário do resistor — e a razão é direta: em paralelo as áreas das placas se somam, então a capacitância soma; em série as separações se somam, então o inverso é que soma.

Vale a mesma leitura de sempre: em série a carga é a mesma nos dois e as tensões se dividem; em paralelo a tensão é a mesma e as cargas se somam.

13 Indutores: tensão, corrente, energia e associação

A ideia. O indutor é o dual exato do capacitor. Onde o capacitor guarda energia num campo elétrico e resiste a mudanças de tensão, o indutor guarda energia num campo magnético e resiste a mudanças de corrente. Troque $v \leftrightarrow i$ e $C \leftrightarrow L$ e você traduz uma fórmula na outra — inclusive as regras de associação, que voltam a ser as do resistor.

As duas relações

\boxed{\,v_L = L\,\frac{di_L}{dt}\,} \qquad\qquad i_L(t) = i_L(t_0) + \frac{1}{L}\int_{t_0}^{t} v_L(\tau)\,d\tau

A tensão no indutor não depende do valor da corrente, mas da velocidade com que ela muda. O sinal vem da lei de Faraday: a tensão induzida se opõe à variação do fluxo, e é por isso que o indutor “empurra de volta” quando você tenta mudar a corrente nele.

Energia

w_L(t) = \frac{1}{2}\,L\,i_L^2(t)

De novo, sempre $\geq 0$ , e de novo, a energia depende do estado: para o indutor o estado é a corrente.

Associação — igual à do resistor

\text{série:}\quad L_{\mathrm{eq}} = \sum_k L_k \qquad\qquad \text{paralelo:}\quad \frac{1}{L_{\mathrm{eq}}} = \sum_k \frac{1}{L_k}

A tabela de dualidade, que economiza metade do estudo

	capacitor	indutor
estado	$v_C$	$i_L$
relação	$i = C\,dv/dt$	$v = L\,di/dt$
energia	$\tfrac12 C v^2$	$\tfrac12 L i^2$
não salta	$v_C$	$i_L$
em CC vira	circuito aberto	curto-circuito
série	inverso soma	soma
constante de tempo	$\tau = RC$	$\tau = L/R$

Decorar uma coluna e a regra de tradução $v \leftrightarrow i$ , $C \leftrightarrow L$ , $R \leftrightarrow 1/R$ vale mais que decorar as duas.

14 Chaveamento: o circuito em 0⁻ e em 0⁺

A ideia. Uma chave abre ou fecha em $t=0$ e o circuito muda de cara. O que não muda são $v_C$ e $i_L$ — e é só isso que atravessa o instante do chaveamento. Todo o resto (as outras tensões, as outras correntes, e todas as derivadas) tem de ser recalculado do zero no circuito novo. Este é o quesito 1 de praticamente toda segunda prova da cadeira, e ele é inteiramente mecânico.

O roteiro, em três circuitos

1. Desenhe o circuito de $0^-$ . Chaves na posição anterior, e regime permanente CC:

capacitor $\to$ circuito aberto;
indutor $\to$ fio.

Resolva por Ohm/divisores e anote só $v_C(0^-)$ e $i_L(0^-)$ . É só isso que serve.

2. Aplique a continuidade. Sempre, e sem exceção em circuito de prova:

v_C(0^+) = v_C(0^-) \qquad\qquad i_L(0^+) = i_L(0^-)

3. Desenhe o circuito de $0^+$ . Chaves na posição nova, e agora — este é o passo que se erra —

capacitor $\to$ fonte de tensão de valor $v_C(0^+)$ ;
indutor $\to$ fonte de corrente de valor $i_L(0^+)$ .

Resolva esse circuito puramente resistivo. Ele entrega todas as outras grandezas em $0^+$ : a corrente do capacitor, a tensão do indutor, a corrente em cada resistor.

Com a chave aberta em $0^-$ não circula corrente nenhuma: $i_L(0^-) = 0$ e $v_C(0^-) = 0$ . Fechando a chave, esses dois valores atravessam — e o circuito de $0^+$ tem o capacitor como fonte de $0\ \mathrm{V}$ (um curto) e o indutor como fonte de $0\ \mathrm{A}$ (um aberto).

As derivadas em $0^+$

Aqui a maioria erra, e o erro é sempre o mesmo: tentar derivar a resposta final. Não precisa. As derivadas saem das próprias relações do elemento, avaliadas no circuito de $0^+$ :

\boxed{\ \frac{dv_C(0^+)}{dt} = \frac{i_C(0^+)}{C}\ } \qquad\qquad \boxed{\ \frac{di_L(0^+)}{dt} = \frac{v_L(0^+)}{L}\ }

Ou seja: para achar $dv_C/dt$ em $0^+$ , ache a corrente do capacitor no circuito de $0^+$ e divida por $C$ . Para achar $di_L/dt$ , ache a tensão do indutor e divida por $L$ . Duas divisões, e acabou.

Exemplo rápido — o quesito 1 típico

No circuito da figura, a chave fecha em $t = 0$ . Em $0^-$ nada circula, então $v_C(0^-) = 0$ e $i_L(0^-) = 0$ .

Em $0^+$ : capacitor $\to$ fonte de $0\ \mathrm{V}$ (curto), indutor $\to$ fonte de $0\ \mathrm{A}$ (aberto). Com o indutor aberto, o ramo de $8\ \Omega$ não conduz, e toda a corrente da fonte passa pelo $4\ \Omega$ e entra no capacitor:

i_C(0^+) = \frac{24 - 0}{4} = 6\ \mathrm{A} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dv_C(0^+)}{dt} = \frac{6}{10^{-3}} = 6000\ \mathrm{V/s}

E a tensão no indutor em $0^+$ : seu terminal esquerdo está em $v_C(0^+) = 0$ e o direito, sem corrente no $8\ \Omega$ , também está em $0$ . Logo

v_L(0^+) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{di_L(0^+)}{dt} = \frac{0}{2} = 0\ \mathrm{A/s}

A corrente do indutor começa em zero e com derivada zero — ela vai demorar a subir, o que é a assinatura de um circuito de 2ª ordem ✔

15 Resposta natural: RC e RL sem excitação

A ideia. Tire todas as fontes e deixe só um resistor e um elemento armazenador carregado. O que sobra é um circuito que se descarrega sozinho — nenhuma fonte manda nele, e por isso a resposta se chama natural. Ela é sempre a mesma exponencial decrescente, e a única coisa que muda de um circuito para outro é a constante de tempo.

RC: a equação e a resposta

Com o capacitor descarregando em $R$ , a LKC no nó de cima dá $C\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{v}{R} = 0$ , ou

\frac{dv}{dt} + \frac{1}{RC}\,v = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,v_C(t) = v_C(0)\,e^{-t/\tau}, \quad \tau = R_{\mathrm{eq}}C\,}

RL: a equação e a resposta

Com o indutor se descarregando em $R$ , a LKT dá $L\dfrac{di}{dt} + Ri = 0$ , ou

\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,i_L(t) = i_L(0)\,e^{-t/\tau}, \quad \tau = \frac{L}{R_{\mathrm{eq}}}\,}

Os dois circuitos são o mesmo problema. Em ambos, $R$ é a resistência equivalente vista dos terminais do elemento — se houver uma rede de resistores, reduza-a a um $R_{\mathrm{eq}}$ antes de calcular $\tau$ .

O que τ significa na prática

$t$	resta
$\tau$	$36{,}8\%$
$2\tau$	$13{,}5\%$
$3\tau$	$5{,}0\%$
$5\tau$	$0{,}7\%$

Daí a regra de engenharia: em $5\tau$ o transitório acabou. E há uma leitura geométrica útil: a reta tangente à exponencial em $t=0$ cruza o eixo exatamente em $t = \tau$ .

Exemplo rápido

Um capacitor de $100\ \mathrm{\mu F}$ carregado a $20\ \mathrm{V}$ é ligado a dois resistores de $10\ \mathrm{k\Omega}$ em paralelo.

R_{\mathrm{eq}} = 5\ \mathrm{k\Omega} \qquad \tau = (5\times10^{3})(100\times10^{-6}) = 0{,}5\ \mathrm{s}

v_C(t) = 20\,e^{-2t}\ \mathrm{V}

Em $t = 0{,}5\ \mathrm{s}$ : $v_C = 20(0{,}368) = 7{,}36\ \mathrm{V}$ . A corrente total é $i = v_C/R_{\mathrm{eq}} = 4\,e^{-2t}\ \mathrm{mA}$ , saindo do capacitor — e a energia inicial, $\tfrac12(100\mu)(20)^2 = 20\ \mathrm{mJ}$ , acaba toda nos dois resistores ✔

16 Resposta ao degrau e a fórmula dos três valores

A ideia. Ligue uma fonte constante em $t=0$ . A resposta agora tem duas partes: a natural, que é a exponencial da seção anterior morrendo, e a forçada, que é o que a fonte impõe depois que o transitório passa. A soma das duas é a resposta completa — e, para excitação constante, ela cabe numa fórmula de três parâmetros que resolve qualquer circuito de 1ª ordem sem escrever equação diferencial nenhuma.

Resposta natural + resposta forçada

A equação de qualquer circuito de 1ª ordem com excitação constante $X_s$ tem a forma

\frac{dx}{dt} + \frac{1}{\tau}\,x = \frac{X_s}{\tau}

A solução geral é a homogênea mais uma particular constante:

x(t) = \underbrace{A\,e^{-t/\tau}}_{\text{natural (transitória)}} + \underbrace{X_s}_{\text{forçada (permanente)}}

e $A$ sai de impor $x(0^+)$ . Fazendo isso, chega-se à forma que se usa na prática:

\boxed{\ x(t) = x(\infty) + \big[\,x(0^+) - x(\infty)\,\big]\,e^{-t/\tau}, \qquad t > 0\ }

Três valores e acabou: onde começa, onde termina, e quão rápido vai de um ao outro.

Os três valores, um a um

$x(0^+)$ — pelo roteiro da seção 14: circuito de $0^-$ , continuidade, circuito de $0^+$ .
$x(\infty)$ — o circuito depois do chaveamento, em regime permanente CC: capacitor aberto, indutor em curto. É um circuito resistivo.
$\tau$ — $R_{\mathrm{eq}}C$ ou $L/R_{\mathrm{eq}}$ , com $R_{\mathrm{eq}}$ visto pelo elemento no circuito depois do chaveamento, fontes independentes desativadas.

$v_C(0^+) = 0$ (descarregado), $v_C(\infty) = 10\ \mathrm{V}$ (capacitor aberto, sem corrente, sem queda no resistor) e $\tau = (2\,\mathrm{k})(1\,\mathrm{m}) = 2\ \mathrm{s}$ . Logo $v_C(t) = 10 - 10\,e^{-t/2}\ \mathrm{V}$ .

Exemplo rápido — indutor, e uma grandeza que salta

Uma fonte de $12\ \mathrm{V}$ em série com $R = 4\ \Omega$ e $L = 2\ \mathrm{H}$ ; a chave fecha em $t=0$ com o indutor descarregado.

i_L(0^+) = 0, \qquad i_L(\infty) = \frac{12}{4} = 3\ \mathrm{A}, \qquad \tau = \frac{2}{4} = 0{,}5\ \mathrm{s}

i_L(t) = 3 + (0 - 3)e^{-2t} = 3\left(1 - e^{-2t}\right)\ \mathrm{A}

E a tensão no indutor, que salta de $0$ para $12\ \mathrm{V}$ em $t=0$ :

v_L = L\,\frac{di_L}{dt} = 2 \cdot 3 \cdot 2\,e^{-2t} = 12\,e^{-2t}\ \mathrm{V}

Aplicar a fórmula dos três valores em $v_L$ dá o mesmo, desde que se use $v_L(0^+) = 12$ e não $v_L(0^-) = 0$ ✔

17 O roteiro completo de um circuito de 1ª ordem

A ideia. As três seções anteriores dão as peças. Esta junta tudo num procedimento único, na ordem em que ele se escreve na prova. Não há nada novo aqui — há ordem, que é o que separa a questão que fecha da que se perde no meio.

Os seis passos

1. Identifique a ordem. Conte os elementos armazenadores depois de associar todos os que puderem ser associados. Um só $\Rightarrow$ 1ª ordem, e este roteiro se aplica.

2. Circuito em $t = 0^-$ . Chaves na posição antiga, regime permanente: capacitor aberto, indutor em curto. Extraia apenas $v_C(0^-)$ ou $i_L(0^-)$ .

3. Continuidade. $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ ; $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ .

4. Circuito em $t \to \infty$ . Chaves na posição nova, regime permanente de novo: capacitor aberto, indutor em curto. Daí sai $x(\infty)$ .

5. Constante de tempo. No circuito novo, desative as fontes independentes, remova o elemento armazenador e olhe seus terminais: isso é $R_{\mathrm{eq}}$ . Então $\tau = R_{\mathrm{eq}}C$ ou $\tau = L/R_{\mathrm{eq}}$ .

6. Monte a resposta e só então derive o que mais o enunciado pedir:

x(t) = x(\infty) + \big[x(0^+) - x(\infty)\big]\,e^{-(t - t_0)/\tau}

A chave abre em $t=0$ . Antes dela, a fonte alimenta o $10\ \Omega$ em paralelo com o ramo $5\ \Omega$ + indutor; depois, a fonte é desligada e o indutor se descarrega em $5 + 10 = 15\ \Omega$ .

Exemplo rápido — o circuito da figura, passo a passo

$0^-$ (chave fechada, indutor em curto): o $10\ \Omega$ fica em paralelo com o $5\ \Omega$ , mas o que interessa é a corrente do indutor. Com o indutor em curto, o ramo direito tem só o $5\ \Omega$ ligado ao nó, e o nó está em $20\ \mathrm{V}$ (a fonte é ideal e a chave é um fio):

i_L(0^-) = \frac{20}{5} = 4\ \mathrm{A}

$0^+$ : $i_L(0^+) = 4\ \mathrm{A}$ .

$\infty$ (chave aberta, fonte fora): não há fonte, então $i_L(\infty) = 0$ .

$\tau$ : no circuito novo o indutor vê $5\ \Omega$ em série com $10\ \Omega$ (a chave aberta tira a fonte do caminho, e o retorno é pelo fio de baixo):

R_{\mathrm{eq}} = 15\ \Omega \qquad \tau = \frac{0{,}5}{15} = \frac{1}{30}\ \mathrm{s}

\boxed{\,i_L(t) = 4\,e^{-30t}\ \mathrm{A}, \quad t > 0\,}

Conferindo: em $t=0$ dá $4\ \mathrm{A}$ ✔ e tende a zero ✔ A tensão no indutor salta para $v_L(0^+) = -15(4) = -60\ \mathrm{V}$ — três vezes a tensão da fonte, e é por isso que abrir chave em circuito indutivo queima contato.

18 Vários chaveamentos, o degrau e a fonte genérica

A ideia. Nem toda questão tem uma chave só. Quando há dois chaveamentos, ou quando a fonte é uma sequência de degraus, a resposta se monta por intervalos: cada trecho é um problema de 1ª ordem completo, e o valor final de um vira o valor inicial do seguinte. Nada de novo — o roteiro da seção anterior aplicado duas ou três vezes, com o cuidado de que $\tau$ pode mudar de trecho para trecho.

O degrau unitário, e por que ele aparece

u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t > 0 \end{cases} \qquad\qquad u(t-a) = \begin{cases} 0, & t < a \\ 1, & t > a \end{cases}

Uma fonte escrita como $v_s(t) = 10\,u(t)\ \mathrm{V}$ é a mesma coisa que “fonte de $10\ \mathrm{V}$ com uma chave que fecha em $t=0$ ” — o enunciado só trocou o desenho por uma expressão. E $v_s(t) = 10\big[u(t) - u(t-3)\big]$ é a fonte que liga em $t=0$ e desliga em $t=3\ \mathrm{s}$ .

O procedimento por intervalos

Marque os instantes em que algo muda: $t_1, t_2, \dots$ Eles cortam o eixo em intervalos.
Em cada intervalo o circuito é fixo. Resolva-o como 1ª ordem, com $\tau$ próprio.
Costure: o $v_C$ (ou $i_L$ ) no fim de um intervalo é a condição inicial do próximo.
Escreva a resposta por trechos, cada um com o seu $e^{-(t-t_k)/\tau_k}$ .

Enquanto a chave está fechada, o capacitor vê $1\ \mathrm{k}\Omega \parallel 3\ \mathrm{k}\Omega = 750\ \Omega$ ; depois de aberta, vê só os $3\ \mathrm{k}\Omega$ . Dois circuitos, dois $\tau$ .

Exemplo rápido — dois trechos

No circuito da figura, a chave está fechada há muito tempo e abre em $t_1 = 1\ \mathrm{s}$ .

Trecho 1 ( $t<1$ ), regime permanente: capacitor aberto, então a corrente da fonte atravessa $1\ \mathrm{k}\Omega$ e $3\ \mathrm{k}\Omega$ em série:

v_C = 12\cdot\frac{3}{1+3} = 9\ \mathrm{V}

Costura: $v_C(1^+) = 9\ \mathrm{V}$ .

Trecho 2 ( $t>1$ ): sem fonte, o capacitor descarrega nos $3\ \mathrm{k}\Omega$ —

\tau_2 = (3\times10^{3})(500\times10^{-6}) = 1{,}5\ \mathrm{s} \qquad v_C(t) = 9\,e^{-(t-1)/1{,}5}\ \mathrm{V}

Confira em $t=1$ : dá $9\ \mathrm{V}$ ✔ Note que $\tau_1 = (750)(500\mu) = 0{,}375\ \mathrm{s}$ não entra na resposta — o trecho 1 já estava em regime, e $\tau_1$ só importaria se o enunciado tivesse ligado a fonte pouco antes de $t_1$ .

19 A equação de 2ª ordem e as frequências naturais

A ideia. Com dois elementos armazenadores que não podem ser associados, a equação do circuito passa a ter segunda derivada. A resposta deixa de ser uma exponencial só: aparecem duas frequências naturais, e o comportamento — decair manso, decair no limite ou oscilar — depende de as duas serem reais ou complexas. Toda a segunda metade da cadeira é essa decisão.

Montando a equação

O caminho é sempre o mesmo: escreva LKC ou LKT, substitua as relações dos elementos, e elimine as variáveis até sobrar uma. Para o RLC série, com $i$ como incógnita, a LKT dá

L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i\,dt = 0 \qquad\xrightarrow{\ d/dt\ }\qquad \frac{d^2 i}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{1}{LC}\,i = 0

Toda equação de 2ª ordem homogênea se escreve na forma padrão:

\boxed{\ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\alpha\,\frac{dx}{dt} + \omega_0^2\,x = 0\ }

As frequências naturais

Substituindo $x = e^{st}$ chega-se à equação característica e às suas raízes:

s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\ }

O sinal do radicando decide tudo, e é o assunto da próxima seção.

Macete de prova

Os dois casos que valem a pena decorar — mas só depois de saber montar a equação, porque RLL e RCC não têm fórmula pronta:

	$\alpha$	$\omega_0$
RLC série	$\dfrac{R}{2L}$	$\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$
RLC paralelo	$\dfrac{1}{2RC}$	$\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

$\omega_0$ é o mesmo nos dois; o que muda é $\alpha$ , e ele é dual: no série cresce com $R$ , no paralelo cai com $R$ . Um RLC paralelo com $R$ grande oscila muito; um série com $R$ grande não oscila nada.

São os dois arranjos com fórmula fechada. Fora deles — dois indutores em posições que não se associam, ou dois capacitores separados por um resistor — monte a equação: é o que o professor chama de circuito RLL e RCC.

Exemplo rápido

RLC série com $R = 10\ \Omega$ , $L = 1\ \mathrm{H}$ , $C = 1/24\ \mathrm{F}$ :

\alpha = \frac{10}{2(1)} = 5\ \mathrm{s^{-1}} \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{(1)(1/24)}} = \sqrt{24} = 4{,}90\ \mathrm{rad/s}

s_{1,2} = -5 \pm \sqrt{25 - 24} = -5 \pm 1 \qquad\Longrightarrow\qquad s_1 = -4, \quad s_2 = -6

Duas raízes reais e distintas — o circuito não oscila. Trocando $R$ para $2\ \Omega$ : $\alpha = 1$ , $\alpha^2 - \omega_0^2 = 1 - 24 = -23$ , e as raízes viram $-1 \pm j\,4{,}80$ — o mesmo circuito, agora oscilando ✔

20 Os três amortecimentos

A ideia. A comparação entre $\alpha$ e $\omega_0$ decide a forma da resposta natural, e há exatamente três desfechos. Não é uma escala contínua de “mais ou menos oscilante”: são três formas de solução diferentes, com expressões diferentes, e escolher a errada estraga a questão inteira mesmo com $\alpha$ e $\omega_0$ corretos.

Caso 1 — superamortecido: $\alpha > \omega_0$

Duas raízes reais e distintas, ambas negativas:

s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,x(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}\,}

Duas exponenciais somadas: nenhuma oscilação, e a mais lenta ( $s$ de menor módulo) domina o fim do transitório.

Caso 2 — criticamente amortecido: $\alpha = \omega_0$

Raiz real dupla, $s_1 = s_2 = -\alpha$ . A solução não é uma exponencial só (duas constantes precisam de duas funções independentes):

\boxed{\,x(t) = \left(A_1 + A_2\,t\right)e^{-\alpha t}\,}

É o caso mais rápido sem oscilar — a fronteira exata.

Caso 3 — subamortecido: $\alpha < \omega_0$

Raízes complexas conjugadas, $s_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d$ :

\boxed{\,x(t) = e^{-\alpha t}\left(B_1 \cos \omega_d t + B_2 \sin \omega_d t\right)\,}

Oscilação de frequência $\omega_d$ dentro de um envelope $e^{-\alpha t}$ . Repare que $\omega_d < \omega_0$ sempre: o amortecimento não só apaga a oscilação, ele a atrasa.

As três respostas ao degrau, com o mesmo

\omega_0

e o mesmo valor final. A subamortecida chega antes, mas passa do ponto; a superamortecida nunca ultrapassa, e é a mais lenta.

Exemplo rápido — os três, no mesmo circuito

RLC série com $L = 1\ \mathrm{H}$ e $C = 0{,}04\ \mathrm{F}$ , logo $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}04} = 5\ \mathrm{rad/s}$ . Variando só $R$ :

$R$	$\alpha = R/2L$	caso	raízes
$20\ \Omega$	$10$	superamortecido	$-1{,}34$ e $-18{,}66$
$10\ \Omega$	$5$	crítico	$-5$ (dupla)
$6\ \Omega$	$3$	subamortecido	$-3 \pm j4$

No último, $\omega_d = \sqrt{25-9} = 4\ \mathrm{rad/s}$ — e não $5$ . O período da oscilação é $2\pi/4 = 1{,}57\ \mathrm{s}$ , e o envelope $e^{-3t}$ a apaga em cerca de $5/3 \approx 1{,}7\ \mathrm{s}$ : pouco mais de uma volta completa antes de desaparecer ✔

21 Condições iniciais de 2ª ordem e a derivada

A ideia. Uma solução de 2ª ordem tem duas constantes, então precisa de duas condições: o valor inicial e a derivada inicial. O valor sai da continuidade, como sempre. A derivada é a parte que decide a nota, e ela não se obtém derivando a resposta — obtém-se lendo o circuito de $0^+$ com as relações do capacitor e do indutor. Esta seção é o quesito 1 da segunda prova levado até o fim.

O par de condições, e de onde cada uma vem

v_C(0^+) = v_C(0^-) \qquad\qquad \frac{dv_C(0^+)}{dt} = \frac{i_C(0^+)}{C}

i_L(0^+) = i_L(0^-) \qquad\qquad \frac{di_L(0^+)}{dt} = \frac{v_L(0^+)}{L}

À esquerda, a continuidade. À direita, a relação do próprio elemento, avaliada no circuito de $0^+$ — o mesmo circuito resistivo da seção 14, com o capacitor virando fonte de tensão $v_C(0^+)$ e o indutor virando fonte de corrente $i_L(0^+)$ .

O roteiro

Circuito de $0^-$ em regime: capacitor aberto, indutor em curto. Anote $v_C(0^-)$ e $i_L(0^-)$ — os dois, porque agora há dois elementos.
Continuidade nos dois.
Circuito de $0^+$ : capacitor $\to$ fonte de tensão $v_C(0^+)$ ; indutor $\to$ fonte de corrente $i_L(0^+)$ . Resolva esse circuito resistivo e tire $i_C(0^+)$ e $v_L(0^+)$ .
Divida: $dv_C/dt = i_C/C$ e $di_L/dt = v_L/L$ , em $0^+$ .
Aplique as duas condições na resposta completa — natural mais forçada, nunca só na natural.

RLC série: $\alpha = R/2L = 1{,}5$ e $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = \sqrt{24} = 4{,}9$ . Subamortecido, com $\omega_d = \sqrt{24 - 2{,}25} = 4{,}66\ \mathrm{rad/s}$ .

Exemplo rápido — o circuito da figura

A chave fecha em $t=0$ , tudo descarregado.

$0^-$ : $i_L(0^-) = 0$ e $v_C(0^-) = 0$ .

$0^+$ : indutor $\to$ fonte de $0\ \mathrm{A}$ (aberto); capacitor $\to$ fonte de $0\ \mathrm{V}$ (curto). Com o ramo aberto no indutor, nada circula:

i_C(0^+) = i_L(0^+) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dv_C(0^+)}{dt} = 0

A tensão no indutor, essa não é zero — ela é o que sobra da malha:

v_L(0^+) = 12 - 3(0) - v_C(0^+) = 12\ \mathrm{V} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{di_L(0^+)}{dt} = \frac{12}{1} = 12\ \mathrm{A/s}

As quatro respostas do quesito 1, então: $i_L(0^+) = 0$ , $v_C(0^+) = 0$ , $di_L(0^+)/dt = 12\ \mathrm{A/s}$ e $dv_C(0^+)/dt = 0$ . Note que $v_C$ começa em zero e plana, enquanto $i_L$ começa em zero mas subindo — é o indutor que arranca primeiro ✔

22 Resposta completa de 2ª ordem ao degrau

A ideia. Com excitação constante, a resposta de 2ª ordem é a natural — uma das três formas — mais a forçada, que é o valor de regime permanente. Duas constantes a determinar, duas condições iniciais para determiná-las. É o quesito 3 de quase toda segunda prova da cadeira, e o único cuidado novo é que as condições entram na soma, nunca numa parcela isolada.

A forma da resposta completa

x(t) = x(\infty) + x_n(t)

com $x_n$ escolhido pelo caso:

x_n = \begin{cases} A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}, & \alpha > \omega_0 \\[4pt] (A_1 + A_2 t)\,e^{-\alpha t}, & \alpha = \omega_0 \\[4pt] e^{-\alpha t}\big(B_1 \cos \omega_d t + B_2 \sin \omega_d t\big), & \alpha < \omega_0 \end{cases}

Determinando as constantes

Imponha as duas condições na expressão completa. Para o caso subamortecido, que é o mais pedido:

x(0^+) = x(\infty) + B_1 \qquad\Longrightarrow\qquad B_1 = x(0^+) - x(\infty)

Derivando $x(t)$ e avaliando em $t=0$ :

\frac{dx(0^+)}{dt} = -\alpha B_1 + \omega_d B_2 \qquad\Longrightarrow\qquad B_2 = \frac{1}{\omega_d}\left[\frac{dx(0^+)}{dt} + \alpha B_1\right]

E para o superamortecido, o sistema $2\times 2$ :

\begin{cases} A_1 + A_2 = x(0^+) - x(\infty) \\[3pt] s_1 A_1 + s_2 A_2 = \dfrac{dx(0^+)}{dt} \end{cases}

Exemplo rápido — fechando o circuito da seção anterior

RLC série da seção 21: $12\ \mathrm{V}$ , $R = 3\ \Omega$ , $L = 1\ \mathrm{H}$ , $C = 1/24\ \mathrm{F}$ , chave fechando em $t=0$ com tudo descarregado. Já sabemos:

\alpha = 1{,}5, \quad \omega_0 = \sqrt{24}, \quad \omega_d = \sqrt{24 - 2{,}25} = 4{,}66\ \mathrm{rad/s}

v_C(0^+) = 0, \qquad \frac{dv_C(0^+)}{dt} = 0

Valor final: em regime, o capacitor abre e nada circula, então não há queda em $R$ nem em $L$ :

v_C(\infty) = 12\ \mathrm{V}

Constantes:

B_1 = 0 - 12 = -12 \qquad B_2 = \frac{1}{4{,}66}\big[0 + 1{,}5(-12)\big] = -3{,}86

\boxed{\,v_C(t) = 12 - e^{-1{,}5t}\big(12\cos 4{,}66t + 3{,}86 \sin 4{,}66 t\big)\ \mathrm{V}\,}

Conferindo: em $t=0$ , $12 - 12 = 0$ ✔; para $t$ grande, $12\ \mathrm{V}$ ✔; a derivada em $t=0$ dá $-1{,}5(-12) + 4{,}66(-3{,}86) = 18 - 18 = 0$ ✔ E a corrente sai de $i_L = C\,dv_C/dt$ , se o enunciado pedir.

23 Integrador e diferenciador

A ideia. Troque um dos dois resistores do amplificador inversor por um capacitor e o circuito para de multiplicar: passa a integrar ou a derivar o sinal de entrada. É a mesma LKC do terra virtual da seção 11, só que agora um dos termos tem $C\,dv/dt$ no lugar de $v/R$ — e a equação do circuito vira uma equação diferencial de propósito, não por acidente.

Integrador — capacitor na realimentação

Com $R$ na entrada e $C$ realimentando, a LKC no terra virtual (que não recebe corrente do amp. op.) diz que a corrente que entra por $R$ é a que atravessa $C$ :

\frac{v_e}{R} = -C\,\frac{dv_o}{dt} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ v_o(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^{t} v_e(\tau)\,d\tau + v_o(0)\ }

Entrada constante $\Rightarrow$ saída em rampa de inclinação $-v_e/RC$ . É o circuito que gera dente de serra a partir de nível CC, e o que satura se você o deixar integrando um erro para sempre.

Diferenciador — capacitor na entrada

Trocando os dois de lugar:

C\,\frac{dv_e}{dt} = -\frac{v_o}{R} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\ v_o(t) = -RC\,\frac{dv_e}{dt}\ }

Entrada em rampa $\Rightarrow$ saída constante. Entrada em degrau $\Rightarrow$ saída em pico — e é justamente por isso que o diferenciador puro é raro na prática: ele amplifica ruído, que é o que mais tem derivada grande.

24 Circuitos ativos de 1ª e 2ª ordem

A ideia. Junte o amp. op. da unidade 1 com os transitórios das unidades 3 e 4 e você tem o último assunto da cadeira. Não há teoria nova: o amp. op. entra nas equações pelas duas regras de sempre, e o que sai é a mesma equação diferencial de 1ª ou 2ª ordem, resolvida pelo mesmo roteiro. A diferença é que agora as constantes $\alpha$ e $\omega_0$ podem ser escolhidas pelo projetista, e o amortecimento pode até ser negativo.

1ª ordem ativa: o integrador com resistor de realimentação

Um resistor $R_2$ em paralelo com o capacitor da realimentação transforma o integrador num circuito de 1ª ordem de verdade. A LKC no terra virtual, com o nó em $0\ \mathrm{V}$ :

\frac{v_e}{R_1} + \frac{v_o}{R_2} + C\,\frac{dv_o}{dt} = 0

Dividindo por $C$ :

\frac{dv_o}{dt} + \frac{1}{R_2 C}\,v_o = -\frac{v_e}{R_1 C}

É a equação padrão de 1ª ordem, com

\tau = R_2 C \qquad\qquad v_o(\infty) = -\frac{R_2}{R_1}\,v_e

— a constante de tempo é dada pela realimentação, e o ganho CC é o do inversor. Daí em diante, a fórmula dos três valores da seção 16, sem alteração nenhuma.

Com $R_2 \to \infty$ (só o capacitor) volta o integrador puro: $\tau \to \infty$ e não existe regime permanente. Com $C \to 0$ volta o inversor: $\tau \to 0$ e a saída acompanha a entrada na hora.

2ª ordem ativa

Com dois capacitores — um na entrada e um na realimentação, ou dois estágios em cascata — a equação sobe para 2ª ordem, e vale tudo o que está nas seções 19 a 22: monte a equação, ache $\alpha$ e $\omega_0$ , decida o caso, imponha as duas condições iniciais na resposta completa.

Exemplo rápido

No circuito da figura, $R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2 = 40\ \mathrm{k\Omega}$ , $C = 5\ \mathrm{\mu F}$ , capacitor descarregado, e $v_e = 2\ \mathrm{V}$ aplicado em $t=0$ .

\tau = R_2 C = (40\times10^{3})(5\times10^{-6}) = 0{,}2\ \mathrm{s} \qquad v_o(\infty) = -\frac{40}{10}(2) = -8\ \mathrm{V}

Com o capacitor descarregado e o terra virtual em $0\ \mathrm{V}$ , a saída começa em $v_o(0^+) = 0$ . Pela fórmula dos três valores:

v_o(t) = -8 + \big[0 - (-8)\big]e^{-t/0{,}2} = -8\left(1 - e^{-5t}\right)\ \mathrm{V}

Conferindo a inclinação inicial: $dv_o(0^+)/dt = -8(5) = -40\ \mathrm{V/s}$ . Pelo circuito, em $0^+$ toda a corrente de entrada $2/10\mathrm{k} = 0{,}2\ \mathrm{mA}$ vai para o capacitor (o $R_2$ não conduz, porque $v_o = 0$ ), então $dv_o/dt = -i_C/C = -0{,}2\mathrm{m}/5\mu = -40\ \mathrm{V/s}$ ✔

Circuitos Elétricos 1

01 Corrente, tensão, potência e energia

Corrente é uma taxa; tensão é uma diferença

A convenção passiva de sinal

02 Elementos passivos e ativos; fontes independentes e controladas

Passivo e ativo

Fontes controladas: o que muda de verdade

03 Lei de Ohm e associação de resistores

As duas associações

04 Divisor de tensão e divisor de corrente

Divisor de tensão — série

Divisor de corrente — paralelo

05 As leis de Kirchhoff

LKC — no nó, o que entra sai

LKT — no laço, a soma das quedas é zero

06 Análise nodal (análise de nós)

O roteiro

Fonte de tensão entre dois nós: o supernó

07 Análise de malhas

O roteiro

Fonte de corrente num ramo: a supermalha

08 Princípio da superposição

O enunciado

Os dois subcircuitos da figura

09 Equivalentes de Thévenin e de Norton

As três grandezas, e a relação entre elas

Como achar RThR_{\mathrm{Th}}RTh​ — três casos, em ordem de preferência

10 Máxima transferência de potência

O resultado

11 Amplificador operacional ideal

As duas regras do amp. op. ideal

Os dois circuitos que caem em prova

12 Capacitores: tensão, corrente, energia e associação

As duas relações

Energia

Associação

13 Indutores: tensão, corrente, energia e associação

As duas relações

Energia

Associação — igual à do resistor

14 Chaveamento: o circuito em 0⁻ e em 0⁺

O roteiro, em três circuitos

As derivadas em 0+0^+0+

15 Resposta natural: RC e RL sem excitação

RC: a equação e a resposta

RL: a equação e a resposta

16 Resposta ao degrau e a fórmula dos três valores

Resposta natural + resposta forçada

Os três valores, um a um

17 O roteiro completo de um circuito de 1ª ordem

Os seis passos

18 Vários chaveamentos, o degrau e a fonte genérica

O degrau unitário, e por que ele aparece

O procedimento por intervalos

19 A equação de 2ª ordem e as frequências naturais

Montando a equação

As frequências naturais

20 Os três amortecimentos

Caso 1 — superamortecido: α>ω0\alpha > \omega_0α>ω0​

Caso 2 — criticamente amortecido: α=ω0\alpha = \omega_0α=ω0​

Caso 3 — subamortecido: α<ω0\alpha < \omega_0α<ω0​

21 Condições iniciais de 2ª ordem e a derivada

O par de condições, e de onde cada uma vem

O roteiro

22 Resposta completa de 2ª ordem ao degrau

A forma da resposta completa

Determinando as constantes

23 Integrador e diferenciador

Integrador — capacitor na realimentação

Diferenciador — capacitor na entrada

24 Circuitos ativos de 1ª e 2ª ordem

1ª ordem ativa: o integrador com resistor de realimentação

2ª ordem ativa

Como achar $R_{\mathrm{Th}}$ — três casos, em ordem de preferência

As derivadas em $0^+$

Caso 1 — superamortecido: $\alpha > \omega_0$

Caso 2 — criticamente amortecido: $\alpha = \omega_0$

Caso 3 — subamortecido: $\alpha < \omega_0$