Equações Diferenciais (Cálculo 4)

01 Classificação e conceitos básicos

A ideia

Numa equação comum ( $x^2 = 4$ ), a incógnita é um número. Numa equação diferencial ordinária (EDO), a incógnita é uma função inteira $y(x)$ — e a equação relaciona essa função com suas derivadas. Por que isso importa? Porque a natureza fala em taxas de variação: “a população cresce proporcional a ela mesma”, “o corpo esfria proporcional à diferença de temperatura”. Cada frase dessas é uma EDO, e resolvê-la é descobrir a função por trás.

Exemplo de tradução: “a taxa de crescimento de $y$ é o dobro de $y$ ” vira $y' = 2y$ . Resolver significa achar qual função tem essa propriedade (spoiler: $y = Ce^{2x}$ ).

As três classificações que caem em prova

Ordem — a ordem da maior derivada que aparece. $y' + xy = 0$ é de 1ª ordem; $y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$ é de 2ª ordem; $y''' + y' = \sec x$ é de 3ª ordem.

Linearidade — a EDO é linear quando pode ser escrita como

Forma geral linear de ordem n

a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x)

Ou seja: $y$ e suas derivadas aparecem só na 1ª potência, sem produtos entre si e sem estarem dentro de funções (nada de $y^2$ , $yy'$ , $\operatorname{sen}(y)$ , $e^y$ …).

Solução — uma função $\varphi(x)$ é solução num intervalo se, substituída na equação, a transforma numa identidade. A solução geral de uma EDO de ordem $n$ carrega $n$ constantes arbitrárias; um PVI (problema de valor inicial) fixa essas constantes impondo $y(x_0)=y_0$ , $y'(x_0)=y_1$ , etc.

Existência e unicidade (Picard) — para $y' = f(x,y)$ , $y(x_0)=y_0$ : se $f$ e $\partial f/\partial y$ são contínuas num retângulo contendo $(x_0,y_0)$ , existe uma única solução do PVI num intervalo em torno de $x_0$ . Para a linear $y' + P(x)y = Q(x)$ , basta $P$ e $Q$ contínuas no intervalo — e a solução vale no intervalo inteiro.

02 Equações separáveis

A ideia

É o tipo mais simples de resolver: se der para arrastar tudo que tem $y$ para um lado e tudo que tem $x$ para o outro, basta integrar os dois lados. Pense no $dy/dx$ como uma fração que você pode “desmontar”:

Forma separável

\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C

Receita: (1) escreva $y' = dy/dx$ ; (2) separe as variáveis; (3) integre os dois lados; (4) se houver condição inicial, ache $C$ ; (5) se possível, isole $y$ (solução explícita) — senão, deixe implícita.

Atenção às soluções constantes: se $h(y_0)=0$ , então $y \equiv y_0$ é solução (de equilíbrio) e pode se perder na divisão por $h(y)$ . Sempre cheque.

03 Lineares de 1ª ordem — fator integrante

A ideia

Quando não dá para separar (o $x$ e o $y$ estão “misturados” numa soma), mas a equação é linear, existe um truque infalível: multiplicar a equação toda por uma função esperta $\mu(x)$ — o fator integrante — escolhida para que o lado esquerdo vire, de presente, a derivada de um produto $(\mu y)'$ . Aí é só integrar.

Primeiro, coloque na forma padrão (coeficiente de $y'$ igual a 1):

Forma padrão

y' + P(x)\,y = Q(x)

Fator integrante

\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} \qquad\Longrightarrow\qquad \big(\mu\,y\big)' = \mu\,Q \qquad\Longrightarrow\qquad y = \frac{1}{\mu}\left[\int \mu\,Q\,dx + C\right]

Receita: (1) coloque na forma padrão — divida pelo coeficiente de $y'$ ; (2) calcule $\mu = e^{\int P dx}$ ; (3) escreva $(\mu y)' = \mu Q$ ; (4) integre; (5) isole $y$ e aplique a condição inicial.

Exemplo clássico de prova: $(x+1)y' + 2y = 12(x+1)^4$ . Forma padrão: $y' + \tfrac{2}{x+1}y = 12(x+1)^3$ . Então $\mu = e^{2\ln|x+1|} = (x+1)^2$ e $\big[(x+1)^2 y\big]' = 12(x+1)^5$ , logo $(x+1)^2 y = 2(x+1)^6 + C$ .

04 Equações exatas

A ideia

Algumas equações vêm escritas na forma diferencial $M\,dx + N\,dy = 0$ . A pergunta-chave: será que $M$ e $N$ são as derivadas parciais de uma mesma “função mãe” $F(x,y)$ ? Se sim (equação exata), as soluções são simplesmente as curvas de nível dessa função: $F(x,y) = C$ — como as curvas de altitude de um mapa topográfico.

Critério de exatidão

M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 \;\text{ é exata} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

Receita para achar $F$ : (1) verifique $M_y = N_x$ ; (2) integre $F = \int M\,dx + g(y)$ (a “constante” depende de $y$ !); (3) derive em relação a $y$ e compare com $N$ para achar $g'(y)$ ; (4) integre $g$ e escreva $F(x,y) = C$ .

Fator integrante para tornar exata: se $M_y \ne N_x$ , procure $\mu$ que dependa só de $x$ ou só de $y$ :

Fatores integrantes especiais

\frac{M_y - N_x}{N} = f(x) \Rightarrow \mu = e^{\int f\,dx} \qquad\qquad \frac{N_x - M_y}{M} = g(y) \Rightarrow \mu = e^{\int g\,dy}

05 Equação de Bernoulli

A ideia

A Bernoulli é uma equação não linear por um único motivo: um $y^n$ intrometido no lado direito. A jogada é uma troca de variável $u = y^{1-n}$ que elimina essa potência e devolve uma linear de 1ª ordem — que você já sabe resolver por fator integrante.

Bernoulli e substituição

y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{\,n} \qquad (n\ne 0,1) \qquad\Longrightarrow\qquad u = y^{\,1-n},\quad u' + (1-n)P\,u = (1-n)Q

Receita: (1) identifique $n$ ; (2) divida tudo por $y^n$ ; (3) troque $u = y^{1-n}$ (note $u' = (1-n)y^{-n}y'$ ); (4) resolva a linear em $u$ por fator integrante; (5) volte para $y$ .

06 Aplicações de 1ª ordem

A ideia

Aqui a prova testa se você sabe traduzir o enunciado em EDO e depois usar os dados numéricos para achar as constantes. São três modelos que se repetem há anos:

Crescimento/decaimento exponencial

“A taxa de variação é proporcional à quantidade presente”:

Modelo exponencial

\frac{dQ}{dt} = kQ \quad\Longrightarrow\quad Q(t) = Q_0\,e^{kt}

Com dois dados (ex.: “triplica em 1 hora”), você acha $k = \ln 3$ e responde qualquer outra pergunta. Para achar o valor inicial dado um valor futuro, é só isolar $Q_0 = Q(t_1)e^{-kt_1}$ .

Lei do arrefecimento de Newton

A temperatura de um corpo se aproxima da temperatura do ambiente, e quanto maior a diferença, mais rápido:

Arrefecimento de Newton

\frac{dT}{dt} = k\,(T - T_m) \quad\Longrightarrow\quad T(t) = T_m + (T_0 - T_m)\,e^{kt}

Modelo exponencial: o sinal de $k$ decide o destino.

Newton: o corpo quente desce assintoticamente até $T_m$ , sem nunca cruzar.

Misturas (salmoura)

Tanque com volume $V(t)$ , entrada e saída de solução: o sal que entra menos o sal que sai:

Modelo de misturas

\frac{dA}{dt} = c_e\, r_e - \frac{A}{V(t)}\,r_s

07 2ª ordem homogênea — equação característica

A ideia

Para $ay'' + by' + cy = 0$ com coeficientes constantes, procuramos uma função que, derivada, continue “com a mesma cara” — e a única assim é a exponencial. O chute $y = e^{\lambda x}$ transforma a EDO num problema de 2º grau: substituindo, $e^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c) = 0$ , e como a exponencial nunca zera, sobra:

Equação característica

a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

São três casos, conforme o discriminante:

Caso 1 — raízes reais distintas (Δ> 0)

y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}

Caso 2 — raiz real dupla (Δ=0)

y = (C_1 + C_2 x)\,e^{\lambda x}

Caso 3 — raízes complexas λ = α ± β i (Δ< 0)

y = e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\operatorname{sen}\beta x\big)

A solução geral é combinação linear de duas soluções linearmente independentes $y_1, y_2$ (um conjunto fundamental). O mesmo raciocínio vale para ordem $n$ : cada raiz real simples dá um $e^{\lambda x}$ ; raiz de multiplicidade $m$ dá $e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}, \dots, x^{m-1}e^{\lambda x}$ ; cada par complexo dá o bloco seno/cosseno.

08 Wronskiano, fórmula de Abel e redução de ordem

A ideia

A solução geral de uma EDO de 2ª ordem precisa de duas soluções realmente diferentes (não múltiplas uma da outra). O Wronskiano é o detector disso — um determinante que zera quando as soluções são “a mesma coisa disfarçada”:

Wronskiano

W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'

Para soluções de $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ , o Wronskiano ou é sempre zero, ou nunca zero — consequência da fórmula de Abel:

Fórmula de Abel

W(x) = C\,e^{-\int p(x)\,dx}

Ela permite calcular $W$ sem conhecer as soluções: basta ler o coeficiente $p(x)$ da forma padrão.

Redução de ordem. Conhecida uma solução $y_1$ da homogênea, a segunda vem de $y_2 = v(x)\,y_1$ :

Redução de ordem

y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^{\,2}}\,dx

Receita: coloque a equação na forma padrão (coeficiente de $y''$ igual a 1!), identifique $p$ , aplique a fórmula.

09 Não homogêneas — coeficientes indeterminados

A ideia

Quando aparece um termo “de fora” $g(x)$ (uma força externa, uma fonte), a solução geral se monta em duas peças:

Estrutura da solução

y = y_h + y_p

O método dos coeficientes indeterminados encontra $y_p$ quando $g$ é combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos: chute $y_p$ “com a mesma cara” de $g$ , com coeficientes desconhecidos, e ajuste-os substituindo na equação:

Tabela de chutes

g = P_n(x) \Rightarrow y_p = A_nx^n + \dots + A_0 \qquad g = e^{\alpha x} \Rightarrow y_p = Ae^{\alpha x} \qquad g = \cos\beta x \text{ ou } \operatorname{sen}\beta x \Rightarrow y_p = A\cos\beta x + B\operatorname{sen}\beta x

Produtos combinam os chutes: $g = e^{3x}(1+x) \Rightarrow y_p = e^{3x}(Ax + B)$ . Regra da ressonância: se algum termo do chute já aparece em $y_h$ , multiplique o chute por $x$ (por $x^2$ se ainda coincidir).

Receita: (1) resolva a homogênea; (2) monte o chute pela tabela; (3) confira ressonância com $y_h$ ; (4) derive, substitua e iguale coeficientes; (5) some $y = y_h + y_p$ .

10 Variação de parâmetros

A ideia

E se $g(x)$ não estiver na tabela de chutes ( $\sec x$ , $\ln x$ , $1/x$ …)? A variação de parâmetros é o método universal: pegue a homogênea $y_h = C_1y_1 + C_2y_2$ e deixe as “constantes” virarem funções, $y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2$ . As fórmulas para $u_1$ e $u_2$ saem prontas:

Variação de parâmetros (forma padrão y″ + p y′ + q y = f)

y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2, \qquad u_1' = \frac{-y_2\,f}{W}, \qquad u_2' = \frac{y_1\,f}{W}

Receita: (1) forma padrão (dividir pelo coeficiente de $y''$ — o $f$ muda!); (2) ache $y_1, y_2$ e $W$ ; (3) integre $u_1$ e $u_2$ ; (4) monte $y_p$ e some com $y_h$ .

11 Aplicações: oscilador amortecido e circuito RLC

A ideia

É a 2ª ordem “na vida real”. Um bloco preso numa mola, com atrito, empurrado por uma força externa — a 2ª Lei de Newton vira exatamente uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes:

Oscilador amortecido

m\,x'' + b\,x' + k\,x = F(t) \qquad\Longrightarrow\qquad m\lambda^2 + b\lambda + k = 0

$\Delta\lt 0$ : oscila com amplitude decaindo; $\Delta=0$ : volta o mais rápido possível sem oscilar; $\Delta\gt 0$ : volta devagar, sem oscilar.

Os três regimes: subamortecido ( $\Delta\lt 0$ ): $x = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\operatorname{sen}\beta t)$ ; criticamente amortecido ( $\Delta=0$ ): $x = (C_1 + C_2t)e^{\lambda t}$ ; superamortecido ( $\Delta\gt 0$ ): duas exponenciais decrescentes.

Circuito RLC em série — mesma matemática, outra roupa:

Circuito RLC (carga Q)

L\,Q'' + R\,Q' + \frac{1}{C}\,Q = E(t)

Com fonte senoidal $E(t)$ , a solução particular (coeficientes indeterminados com $A\cos\omega t + B\operatorname{sen}\omega t$ ) é o regime permanente; a homogênea, que morre exponencialmente, é o transiente.

12 Ordem superior e equação de Cauchy-Euler

A ideia

Ordem superior com coeficientes constantes: tudo igual à 2ª ordem, com equação característica de grau $n$ . Ex.: $y''' - 3y'' + 2y' = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda-1)(\lambda-2) = 0 \Rightarrow y = C_1 + C_2e^{x} + C_3e^{2x}$ .

Equação de Cauchy-Euler — o padrão a reconhecer: cada derivada $y^{(k)}$ vem multiplicada por $x^k$ . Para ela, o chute certo não é exponencial, e sim potência $y = x^m$ :

Cauchy-Euler e equação auxiliar

ax^2y'' + bxy' + cy = 0 \qquad\xrightarrow{\;y = x^m\;}\qquad a\,m(m-1) + b\,m + c = 0

Casos (para $x\gt 0$ ): raízes reais distintas $\Rightarrow y = C_1x^{m_1} + C_2x^{m_2}$ ; raiz dupla $\Rightarrow y = (C_1 + C_2\ln x)\,x^{m}$ ; complexas $m = \alpha\pm\beta i \Rightarrow y = x^{\alpha}\big(C_1\cos(\beta\ln x) + C_2\operatorname{sen}(\beta\ln x)\big)$ .

13 Sistemas de EDOs lineares — método dos autovalores

A ideia

Às vezes duas grandezas evoluem acopladas: a variação de $x$ depende de $y$ e vice-versa (dois tanques conectados, presa e predador, duas malhas de circuito). Isso é um sistema de EDOs, e a linguagem natural para ele é matricial:

Sistema linear homogêneo

\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X}, \qquad \mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}

Mesma filosofia da 2ª ordem: chutamos $\mathbf{X} = \mathbf{K}e^{\lambda t}$ (um vetor fixo vezes exponencial) e caímos no problema de autovalores da Álgebra Linear:

Autovalores e autovetores

\det(A - \lambda I) = 0 \quad\text{(acha os } \lambda\text{)}, \qquad (A - \lambda I)\mathbf{K} = \mathbf{0} \quad\text{(acha os } \mathbf{K}\text{)}

Caso 1 — autovalores reais e distintos: cada par $(\lambda_i, \mathbf{K}_i)$ dá uma solução, e a geral é

Solução geral (reais distintos)

\mathbf{X}(t) = C_1\mathbf{K}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2\mathbf{K}_2 e^{\lambda_2 t}

Receita: (1) monte $\det(A-\lambda I)=0$ e resolva o polinômio característico; (2) para cada $\lambda$ , resolva $(A-\lambda I)\mathbf{K}=0$ escolhendo uma componente livre (ex.: $k_2=1$ ); (3) monte a combinação. Para $3\times 3$ o processo é idêntico, com três autopares. Num PVI, imponha $\mathbf{X}(0) = \mathbf{X}_0$ e resolva o sistema linear nos $C_i$ .

Exemplo rápido

$\mathbf{X}' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\mathbf{X}$ . Característico: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1,\,3$ . Para $\lambda=1$ : $(A-I)\mathbf{K}=0$ dá $k_1 + k_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{K}_1 = (1,-1)$ . Para $\lambda=3$ : $-k_1 + k_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{K}_2 = (1,1)$ . Geral:

\mathbf{X} = C_1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{t} + C_2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^{3t}

Cheque: $\lambda_1+\lambda_2 = 4 = \operatorname{tr}A$ ✓ e $\lambda_1\lambda_2 = 3 = \det A$ ✓.

Retrato de fase — o desenho do sistema

O retrato de fase mostra as trajetórias $(x(t), y(t))$ no plano. O tipo da origem depende só dos autovalores:

Nó estável (atrator): tudo cai na origem.

Sela (instável): entra por um eixo, escapa pelo outro.

Espiral: complexos com parte real ≠ 0.

Centro: órbitas periódicas fechadas.

O traço e o determinante de $A$ resumem tudo: órbitas periódicas exigem $\operatorname{tr} A = 0$ com $\det A \gt 0$ .

14 Sistemas: autovalores complexos, repetidos e sistemas não homogêneos

A ideia

Nem sempre os autovalores são reais e distintos — os outros dois casos têm receitas próprias, análogas aos casos 2 e 3 da equação característica de 2ª ordem.

Caso 2 — autovalores complexos $\lambda = \alpha \pm \beta i$ : ache o autovetor complexo $\mathbf{K} = \mathbf{B}_1 + i\,\mathbf{B}_2$ para $\lambda = \alpha + \beta i$ e separe parte real e imaginária de $\mathbf{K}e^{\lambda t}$ :

Solução real (autovalores complexos)

\mathbf{X} = C_1 e^{\alpha t}\big(\mathbf{B}_1\cos\beta t - \mathbf{B}_2\operatorname{sen}\beta t\big) + C_2 e^{\alpha t}\big(\mathbf{B}_2\cos\beta t + \mathbf{B}_1\operatorname{sen}\beta t\big)

Caso 3 — autovalor real duplo com um só autovetor $\mathbf{K}$ : a segunda solução usa o autovetor generalizado $\mathbf{P}$ :

Autovalor repetido

(A - \lambda I)\,\mathbf{P} = \mathbf{K} \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf{X}_2 = \big(\mathbf{K}\,t + \mathbf{P}\big)e^{\lambda t}, \qquad \mathbf{X} = C_1\mathbf{K}e^{\lambda t} + C_2\mathbf{X}_2

Sistemas não homogêneos $\mathbf{X}' = A\mathbf{X} + \mathbf{F}(t)$ : a geral é $\mathbf{X} = \mathbf{X}_h + \mathbf{X}_p$ . Duas ferramentas:

Coeficientes indeterminados: $\mathbf{F}$ polinomial $\Rightarrow$ chute vetorial polinomial. Ex.: $\mathbf{F} = \begin{pmatrix} t \\ 1\end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{X}_p = \mathbf{a}t + \mathbf{b}$ ; substitua e iguale componente a componente.

Matriz fundamental / variação de parâmetros: se $\Phi(t)$ tem por colunas um conjunto fundamental,

Variação de parâmetros (sistemas)

\mathbf{X}_p = \Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\,\mathbf{F}(t)\,dt, \qquad \mathbf{X} = \Phi(t)\,\mathbf{C} + \mathbf{X}_p

15 Séries de potências — pontos ordinários

A ideia

Quando os coeficientes variam com $x$ e não há truque (Cauchy-Euler etc.), apelamos para a artilharia pesada: escrever a solução como um polinômio infinito e descobrir seus coeficientes um a um. A equação, ao ser alimentada com a série, “cospe” uma regra (a relação de recorrência) que gera todos os coeficientes a partir dos dois primeiros.

Solução em série

y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - x_0)^n, \qquad y' = \sum_{n=1}^{\infty} n\,c_n(x-x_0)^{n-1}, \qquad y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,c_n(x-x_0)^{n-2}

Para $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ , $x_0$ é ponto ordinário se $P$ e $Q$ são analíticas em $x_0$ (para coeficientes polinomiais: o coeficiente de $y''$ não zera em $x_0$ ). Nesse caso existem duas soluções em série, com raio de convergência pelo menos até o ponto singular mais próximo.

Receita: (1) substitua as séries na equação; (2) reindexe para deixar todas as somas com o mesmo expoente $x^k$ ; (3) iguale cada coeficiente a zero — surge a relação de recorrência; (4) gere os $c_n$ a partir de $c_0$ e $c_1$ ; (5) escreva os primeiros termos das duas soluções.

16 Pontos singulares e método de Frobenius

A ideia

Se $x_0$ anula o coeficiente de $y''$ , a série comum pode falhar — o ponto é singular. Mas se a singularidade for “mansa” (singular regular), o método de Frobenius salva: a solução é uma série multiplicada por uma potência $x^r$ possivelmente fracionária ou negativa, e o primeiro passo é descobrir os expoentes $r$ permitidos.

Teste de singular regular

p(x) = (x-x_0)\,P(x) \quad\text{e}\quad q(x) = (x-x_0)^2\,Q(x) \quad\text{analíticas em } x_0 \;\Rightarrow\; \text{singular regular}

Série de Frobenius e equação indicial

y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\,(x-x_0)^{n+r}, \qquad r(r-1) + p_0\,r + q_0 = 0

Se $r_1 - r_2$ não é inteiro, há duas soluções de Frobenius independentes (uma para cada $r$ ); se difere por inteiro ou é raiz dupla, a segunda solução pode envolver $\ln x$ . Na prática da prova: substitua a série na equação e olhe o coeficiente da MENOR potência de $x$ — ele fatora como $c_0\cdot(\text{equação indicial})$ .

Equações clássicas: a equação de Bessel $x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$ tem $x_0=0$ singular regular com indicial $r^2 = \nu^2$ ; a de Legendre $(1-x^2)y'' - 2xy' + \alpha(\alpha+1)y = 0$ tem $x_0 = 0$ ordinário (soluções polinomiais para $\alpha$ inteiro — os polinômios de Legendre).