Equações Diferenciais (Cálculo 4)

Passo 1 (a) — Equação característica da homogênea:

Raízes complexas com $\alpha = -1$, $\beta = 2$:

Passo 2 (b) — Como $2i$ não é raiz da característica, tentamos:

Passo 3 — Derivando e substituindo ($y_p'' = -4y_p$):

Passo 4 — Da 2ª equação, $B = -4A$. Substituindo: $A + 16A = 3$, logo

Passo 5 — Solução geral:

Passo 1 — Autovalores:

Passo 2 — Autovetor para $\lambda_1 = 3$:

Passo 3 — Autovetor para $\lambda_2 = -1$:

Passo 4 — Solução geral (ponto de sela, pois os autovalores têm sinais opostos):

Passo 1 (a) — Com $M = xy$ e $N = 2x^2 + 3y^2 - 20$:

Passo 2 — Testamos fator integrante que depende só de $y$:

(Depende só de $y$ ✓, então o fator serve.)

Passo 3 (b) — Multiplicando tudo por $y^3$:

Agora $M_y = 4xy^3 = N_x$ — exata ✓.

Passo 4 — Integramos $M$ em $x$:

Passo 5 — Derivando em $y$ e comparando com $N$:

Passo 6 — Solução implícita (multiplicando por 2):

Passo 1 (a) — Equação característica:

Passo 2 (b) — Como $3$, $\pm i$ não são raízes, tentamos:

Passo 3 — Derivadas: $y_p' = 3Ae^{3x} + B\cos x - C\operatorname{sen} x$, $y_p'' = 9Ae^{3x} - B\operatorname{sen} x - C\cos x$, $y_p''' = 27Ae^{3x} - B\cos x + C\operatorname{sen} x$. Substituindo:

Passo 4 — Igualando os coeficientes:

• $e^{3x}$: $6A = 1 \Rightarrow A = \dfrac16$;
• $\operatorname{sen} x$: $3B - C = 0$;
• $\cos x$: $B + 3C = -1$.

De $C = 3B$: $B + 9B = -1 \Rightarrow B = -\dfrac{1}{10}$, $C = -\dfrac{3}{10}$.

Passo 5 — Solução geral:

Passo 1 — O truque desta questão: expandir também o $\cos x$ em série!

Passo 2 — Com $y = \sum c_nx^n$, substituímos e multiplicamos as séries:

Passo 3 — Agrupando por potências de $x$:

Passo 4 — Anulando cada coeficiente:

• $c_2 = -\dfrac{c_0}{2}$;
• $c_3 = -\dfrac{c_1}{6}$;
• $12c_4 = \dfrac{c_0}{2} - c_2 = \dfrac{c_0}{2} + \dfrac{c_0}{2} = c_0 \Rightarrow c_4 = \dfrac{c_0}{12}$;
• analogamente $c_5 = \dfrac{c_1}{30}$.

Passo 5 — Separando em duas soluções LI (uma multiplicando $c_0$, outra $c_1$):

Passo 1 — Característica: $m^3 + m = m(m^2+1) = 0 \Rightarrow m = 0,\ \pm i$:

Passo 2 — Variação de parâmetros com $y_1 = 1$, $y_2 = \operatorname{sen} x$, $y_3 = \cos x$ e $g(x) = \operatorname{sen}^2 x$. Wronskiano:

Passo 3 — Cramer ($u_k' = g\cdot W_k/W$, com a coluna $k$ trocada por $(0,0,1)$): $W_1 = -1$, $W_2 = \operatorname{sen} x$, $W_3 = \cos x$. Assim:

Passo 4 — Solução particular $y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3$:

Passo 5 — Solução geral:

Passo 1 — $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. Polinômio característico:

Passo 2 — Usando Briot-Ruffini com a raiz dada $\lambda = -1$:

Passo 3 — Autovetor para $\lambda = -1$: $(A+I)V = 0$ dá $3v_1 + v_3 = 0$ e $v_2 = v_3$. Com $v_1 = 1$:

Só há um autovetor independente para $\lambda = -1$ — precisamos do autovetor generalizado.

Passo 4 — Generalizado: $(A+I)W = V_1$, ou seja $3w_1 + w_3 = 1$ e $-w_2 + w_3 = -3$. Com $w_1 = 0$: $w_3 = 1$, $w_2 = 4$:

Passo 5 — Autovetor para $\lambda_3 = 2$: $(A-2I)V = 0$ dá $v_3 = 0$, $v_2 = 0$, $v_1$ livre:

Passo 6 — Solução geral $X = c_1V_1e^{-t} + c_2(tV_1 + W)e^{-t} + c_3V_3e^{2t}$, componente a componente:

Passo 1 — Equação auxiliar:

Passo 2 — As raízes são $m = \pm i$, cada uma com multiplicidade 2: $m_1 = m_2 = i$, $m_3 = m_4 = -i$.

Passo 3 — Para raízes complexas $\alpha \pm \beta i$ repetidas, o par de soluções repete multiplicado por $x$ (mesma regra do caso real repetido). Com $\alpha = 0$, $\beta = 1$:

Passo 4 — Solução geral:

Observação: pela fórmula de Euler, $c_1e^{ix} + c_2e^{-ix}$ e $x(c_3e^{ix} + c_4e^{-ix})$ se reescrevem exatamente nessa forma real.