Fenômenos de Transporte

01 O que é um fluido: aderência, cisalhamento e a lei de Newton da viscosidade

A ideia. Em Dinâmica você empurrava blocos: corpos com forma própria, que se deslocam inteiros. Aqui o objeto de estudo não tem forma própria e, o que é mais importante, não para de se deformar enquanto houver força tangencial sobre ele. Essa única frase é a definição de fluido, e é dela que sai toda a cadeira — inclusive a viscosidade, que é a medida de quão devagar essa deformação acontece.

Sólido para, fluido não

Aplique uma força tangencial constante $F_t$ sobre um sólido: ele se deforma até uma posição de equilíbrio e para. As tensões internas crescem com a deformação até equilibrarem a força externa.

Aplique a mesma $F_t$ constante sobre um fluido: ele se deforma, e continua se deformando, indefinidamente. Não existe posição de equilíbrio estático.

Aderência: a condição de contorno de toda a cadeira

Tensão de cisalhamento

A força que a placa faz no fluido se distribui pela área de contato. O que interessa é a força por unidade de área:

\tau = \frac{F_t}{A} \qquad\Longleftrightarrow\qquad F_t = \tau\,A

Dimensionalmente, $[\tau] = F L^{-2}$ — a mesma dimensão de pressão. A diferença é a direção: pressão age normal à superfície, cisalhamento age tangencial a ela.

A lei de Newton da viscosidade

A observação experimental que funda a cadeira: a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade.

\boxed{\;\tau = \mu \,\frac{dv}{dy}\;}

A constante de proporcionalidade $\mu$ é a viscosidade dinâmica — a propriedade que mede a dificuldade de o fluido escoar. Ela depende do fluido e, fortemente, da temperatura.

Exemplo rápido — a força para arrastar a placa

Uma placa de $2{,}0\ \mathrm{m^2}$ desliza a $0{,}30\ \mathrm{m/s}$ sobre uma camada de óleo de $2{,}0\ \mathrm{mm}$ de espessura. O óleo tem $\mu = 0{,}10\ \mathrm{Pa \cdot s}$ . Qual a força necessária?

Perfil linear, então o gradiente é

\frac{dv}{dy} = \frac{v_0}{\varepsilon} = \frac{0{,}30}{2{,}0 \times 10^{-3}} = 150\ \mathrm{s^{-1}}

A tensão de cisalhamento:

\tau = \mu\,\frac{dv}{dy} = 0{,}10 \times 150 = 15\ \mathrm{Pa}

E a força:

F_t = \tau\,A = 15 \times 2{,}0 = 30\ \mathrm{N}

Confira as unidades sempre: $\mathrm{mm}$ virou $\mathrm{m}$ antes da divisão. Esquecer isso multiplica o gradiente por mil — e é o erro mais comum desta conta.

02 Massa específica, peso específico, densidade relativa e volume específico

A ideia. Quatro grandezas que descrevem “quanto de matéria” há num volume de fluido — e que os enunciados usam de forma intercambiável, de propósito. A prova raramente dá a que você quer: ela dá a densidade relativa e cobra o peso específico, ou dá a viscosidade cinemática e cobra a dinâmica. Saber converter entre elas de cabeça vale mais que decorar as definições.

A ponte entre $\rho$ e $\gamma$

É a única relação que precisa ser memorizada, e sai direto de $G = mg$ :

\gamma = \frac{G}{V} = \frac{m\,g}{V} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\gamma = \rho\,g\;}

Densidade relativa: o número sem unidade

Densidade relativa compara o fluido com uma referência — água a $4\ ^\circ\mathrm{C}$ para líquidos:

d = \frac{\rho}{\rho_{\text{água}}} = \frac{\gamma}{\gamma_{\text{água}}}

As duas razões dão o mesmo número, porque o $g$ cancela. É por isso que o enunciado pode dizer “densidade relativa” ou “peso específico relativo” e estar falando da mesma grandeza.

Compressível ou incompressível

A classificação que decide quais equações você pode usar:

incompressível — $\rho$ não muda com a pressão. É a hipótese para líquidos e para a cadeira quase inteira;
compressível — $\rho$ muda com a pressão. É o caso dos gases, e só entra em problemas específicos.

03 Viscosidade dinâmica e cinemática

A ideia. A viscosidade já apareceu como a constante da lei de Newton. Aqui ela ganha uma segunda versão — a cinemática —, e é essa dupla que as provas exploram: o enunciado dá $\nu$ (cinemática) e a fórmula do cisalhamento pede $\mu$ (dinâmica). Quem não souber a ponte entre as duas trava numa questão de meio ponto.

A ponte entre as duas

\boxed{\;\nu = \frac{\mu}{\rho}\;} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mu = \nu\,\rho

O nome “cinemática” tem motivo: a unidade $\mathrm{m^2/s}$ não traz massa nem força, só comprimento e tempo — as dimensões da cinemática. E é essa versão que aparece no número de Reynolds, mais adiante na cadeira.

Como a temperatura age — e por que líquido e gás são opostos

Esta é a pergunta conceitual mais frequente do 1º EE, e a resposta depende de de onde vem a viscosidade em cada caso:

Exemplo rápido — o caminho que a prova cobra (2023.2)

Duas placas paralelas a $2\ \mathrm{mm}$ de distância. A superior move-se a $4\ \mathrm{m/s}$ , a inferior está fixa, e entre elas há óleo com $\nu = 10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$ e $\rho = 830\ \mathrm{kg/m^3}$ .

a) A viscosidade dinâmica. É a ponte:

\mu = \nu\,\rho = 10^{-5} \times 830 = 8{,}3 \times 10^{-3}\ \mathrm{Pa \cdot s}

b) A tensão de cisalhamento. Perfil linear, então $dv/dy = v_0/\varepsilon$ :

\tau = \mu\,\frac{v_0}{\varepsilon} = 8{,}3 \times 10^{-3} \times \frac{4}{2 \times 10^{-3}} = 16{,}6\ \mathrm{Pa}

Note a estrutura da questão: o item (a) existe só para dar o $\mu$ que o item (b) precisa. É o formato clássico desta cadeira.

04 Fluidos newtonianos e não newtonianos

A ideia. A lei de Newton da viscosidade diz que $\tau$ é proporcional a $dv/dy$ . Isso é uma hipótese, não uma verdade universal: existem fluidos em que a razão $\tau / (dv/dy)$ não é constante. Classificar um fluido é dizer qual é a forma da curva $\tau$ contra $dv/dy$ — e essa curva é o que a prova pede para desenhar ou identificar.

Newtoniano: a reta pela origem

\tau = \mu\,\frac{dv}{dy} \qquad \text{com } \mu = \text{constante}

No diagrama $\tau$ contra $dv/dy$ , é uma reta que passa pela origem, e a inclinação é $\mu$ . Água, ar e óleos lubrificantes são newtonianos — e é essa a hipótese de toda a cadeira, salvo aviso contrário.

Não newtoniano: a viscosidade aparente muda

Os quatro casos que a prova cobra

Todos comparados com a reta do newtoniano:

pseudoplástico — a viscosidade aparente diminui quando a tensão aumenta. A curva sai da origem e encurva para baixo (côncava para baixo). É a maioria dos não newtonianos: tinta látex, melado, solução de polímero, suspensão coloidal;
dilatante — a viscosidade aparente aumenta com a tensão. A curva encurva para cima. Solução de amido, areia movediça — quanto mais rápido você tenta se mover, mais resistência encontra;
plástico de Bingham (ou plástico ideal) — comporta-se como sólido até uma tensão mínima $\tau_0$ e, passada ela, responde linearmente. A reta não passa pela origem:

\tau = \tau_0 + \mu\,\frac{dv}{dy}

Pasta de dente, ketchup, maionese, suspensão de argila. É por isso que a pasta não sai do tubo sem um aperto mínimo;

fluido ideal — modelo teórico sem viscosidade ( $\mu = 0$ , logo $\tau = 0$ sempre). No diagrama, é o eixo horizontal. Não existe na natureza, mas é a hipótese que permite usar Bernoulli sem perda de carga.

Exemplo rápido — o que a curva diz

Um fluido tem $\tau = 20\ \mathrm{Pa}$ quando $dv/dy = 100\ \mathrm{s^{-1}}$ , e $\tau = 30\ \mathrm{Pa}$ quando $dv/dy = 200\ \mathrm{s^{-1}}$ . Newtoniano?

Viscosidades aparentes:

\mu_{ap,1} = \frac{20}{100} = 0{,}20\ \mathrm{Pa \cdot s} \qquad \mu_{ap,2} = \frac{30}{200} = 0{,}15\ \mathrm{Pa \cdot s}

Não é newtoniano: a viscosidade aparente caiu quando a tensão subiu — é pseudoplástico. (E note que os dois pontos, ligados, dão uma reta que cortaria $\tau = 10\ \mathrm{Pa}$ na origem: se o comportamento for linear a partir de $\tau_0 = 10$ , trata-se de um Bingham. Dois pontos não distinguem os dois casos — é preciso ver a curva ou um terceiro ponto.)

05 Tensão superficial e capilaridade

A ideia. Uma molécula no meio do líquido é puxada igualmente em todas as direções pelas vizinhas, e a resultante é nula. Uma molécula na superfície não tem vizinhas acima: a resultante aponta para dentro. O efeito é que a superfície se comporta como uma membrana esticada — é ela que segura a gota redonda, o inseto sobre a água e a coluna que sobe sozinha num tubo fino. Tudo nesta seção é consequência desse desequilíbrio.

A tensão superficial é força por comprimento, não por área

Esta é a primeira armadilha da seção: $\sigma$ não é pressão. A unidade é $\mathrm{N/m}$ , e o comprimento em questão é o da linha onde a superfície se prende — o perímetro do tubo, a borda da gota, o contorno da lâmina.

\boxed{\;\sigma = \frac{F}{L}\;}

Alguns valores a $20\ ^\circ\mathrm{C}$ , que dão a escala do fenômeno:

líquido (em contato com ar)	tensão superficial
água	$0{,}0728\ \mathrm{N/m}$
glicerina	$0{,}063\ \mathrm{N/m}$
álcool etílico	$0{,}022\ \mathrm{N/m}$
mercúrio	$\approx 0{,}48\ \mathrm{N/m}$

A tensão superficial cai quando a temperatura sobe — é o mesmo motivo da viscosidade dos líquidos: aquecer enfraquece a coesão. E cai bastante com detergente, que é exatamente o que um tensoativo faz.

Molhamento: o ângulo de contato decide tudo

Na linha onde líquido, sólido e ar se encontram, duas forças disputam: a coesão (líquido com líquido) e a adesão (líquido com a parede). Quem vencer define o formato do menisco e o sinal de tudo o que vem depois.

O mesmo tubo, o mesmo diâmetro, dois líquidos. O que muda é o ângulo de contato: à esquerda ele é agudo e o menisco é côncavo, à direita é obtuso e o menisco é convexo. A altura troca de sinal junto com o $\cos\theta$ .

Capilaridade: a lei de Jurin

Num tubo fino mergulhado num líquido, a membrana superficial se prende à parede ao longo de todo o perímetro $2\pi r$ e puxa a coluna, inclinada de $\theta$ . Só a componente vertical sustenta o peso:

\underbrace{\sigma\,(2\pi r)\cos\theta}_{\text{o que a membrana segura}} \;=\; \underbrace{\gamma\,(\pi r^2 h)}_{\text{peso da coluna}}

Cortando $\pi r$ dos dois lados:

\boxed{\;h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\gamma\,r} = \frac{4\sigma\cos\theta}{\gamma\,d}\;}

A gota, a bolha e o jato

A mesma membrana comprime o que ela envolve. Equilibrando metade de uma gota — a pressão empurra a área $\pi R^2$ , a tensão segura o perímetro $2\pi R$ :

\Delta p\,(\pi R^2) = \sigma\,(2\pi R) \qquad\Longrightarrow\qquad \Delta p = \frac{2\sigma}{R}

geometria	diferença de pressão
gota, ou bolha dentro do líquido	$\Delta p = 2\sigma/R$
bolha de sabão (duas superfícies)	$\Delta p = 4\sigma/R$
jato cilíndrico	$\Delta p = \sigma/R$

A bolha de sabão tem duas superfícies, a de dentro e a de fora, e por isso dobra. O jato tem uma curvatura só, e por isso cai pela metade. Em todos, o que importa é o $1/R$ : quanto menor a gota, maior a pressão interna — é por isso que gotas pequenas se juntam nas grandes, e não o contrário.

Exemplo rápido — quanto a água sobe num tubo de 1 mm

Água a $20\ ^\circ\mathrm{C}$ ( $\sigma = 0{,}0728\ \mathrm{N/m}$ , $\gamma = 9810\ \mathrm{N/m^3}$ ) num capilar de vidro de $d = 1\ \mathrm{mm}$ , com $\theta \approx 0^\circ$ :

h = \frac{4\sigma\cos\theta}{\gamma\,d} = \frac{4 \times 0{,}0728 \times 1}{9810 \times 0{,}001} = \frac{0{,}2912}{9{,}81} \approx 0{,}0297\ \mathrm{m}

Quase $3\ \mathrm{cm}$ — num tubo de $1\ \mathrm{mm}$ . Repetindo com $d = 10\ \mathrm{mm}$ , a altura cai para $3\ \mathrm{mm}$ ; com $d = 25\ \mathrm{mm}$ , para $1{,}2\ \mathrm{mm}$ . O efeito é inversamente proporcional ao diâmetro, e some depressa.

06 Pressão, escalas de medida e carga de pressão

A ideia. Estática dos fluidos é o estudo do fluido em repouso: velocidade nula em todos os pontos e, por consequência, tensão de cisalhamento nula. Sem cisalhamento sobra uma única força de superfície — a pressão, sempre normal à superfície. Toda esta unidade é a consequência disso.

Pressão só existe em fluido

O equivalente da pressão num sólido chama-se tensão normal. A palavra “pressão” reserva-se a fluidos, e a razão é a do parágrafo de abertura: num fluido em repouso, a força normal é a única que sobra.

As duas escalas, e a soma que as liga

Pressão é sempre medida em relação a alguma referência, e há duas em uso:

\boxed{\;p_{abs} = p_{atm} + p_{ef}\;}

absoluta — conta do vácuo (zero absoluto) para cima. Nunca é negativa;
efetiva — conta da atmosfera local. Pode ser negativa, e aí se diz que há vácuo parcial (a pressão está abaixo da atmosférica).

Carga de pressão: pressão medida em metros

Divida uma pressão pelo peso específico e o resultado tem dimensão de comprimento:

h = \frac{p}{\gamma}

Esse $h$ é a carga de pressão — a altura da coluna daquele fluido que a pressão $p$ consegue sustentar. É por isso que existem unidades como $\mathrm{mmHg}$ e $\mathrm{mca}$ (metro de coluna de água): elas são pressões escritas como altura.

Exemplo rápido — pressão no fundo de um recipiente

Um recipiente de base $0{,}80\ \mathrm{m} \times 0{,}50\ \mathrm{m}$ e altura $0{,}60\ \mathrm{m}$ está cheio de óleo com $d = 0{,}90$ . Com $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ , qual a pressão sobre a base?

Primeiro o peso específico, pela densidade relativa:

\rho = 0{,}90 \times 1000 = 900\ \mathrm{kg/m^3} \qquad \gamma = \rho\,g = 900 \times 9{,}81 = 8829\ \mathrm{N/m^3}

A pressão depende só da altura (é o que a próxima seção vai formalizar):

p = \gamma\,h = 8829 \times 0{,}60 = 5297{,}4\ \mathrm{N/m^2}

As arestas da base não entraram na conta — e não é esquecimento. A pressão no fundo não depende da área nem do formato do recipiente, só da coluna de fluido acima. É a pegadinha padrão deste enunciado.

07 Lei de Stevin e lei de Pascal

A ideia. Duas leis que parecem próximas e dizem coisas diferentes — e a prova gosta exatamente dessa confusão. Stevin governa a variação da pressão na vertical; Pascal governa a transmissão da pressão para todos os pontos. Uma explica por que a pressão cresce com a profundidade; a outra, por que um macaco hidráulico levanta um carro.

Lei de Stevin

A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico pela diferença de cotas.

\boxed{\;p_N - p_M = \gamma\,\Delta h\;}

E, no caso mais comum — superfície livre aberta para a atmosfera, ponto a uma profundidade $h$ :

p = \gamma\,h \qquad\text{(efetiva)} \qquad\qquad p = p_0 + \gamma\,h \qquad\text{(com } p_0 \text{ na superfície)}

Lei de Pascal

A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.

A aplicação prática é a prensa hidráulica: dois êmbolos de áreas diferentes ligados pelo mesmo fluido. A pressão é a mesma nos dois, então

p_1 = p_2 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}\;}

08 Manômetros e a equação manométrica

A ideia. Aqui a estática deixa de ser conceito e passa a valer 2 pontos de prova. A equação manométrica é uma aplicação repetida de Stevin, feita com um método mecânico: caminhar pelo tubo de um ponto ao outro, somando quando desce e subtraindo quando sobe. Quem faz isso com disciplina não erra; quem tenta “ver” a resposta erra o sinal.

Os instrumentos, e para que serve cada um

barômetro — mede a pressão atmosférica. O de mercúrio, de Torricelli (1643): ao nível do mar a coluna sobe $760\ \mathrm{mmHg}$ ;
manômetro metálico (Bourdon) — mede pela deformação de um tubo metálico. Indica $p_{int} - p_{ext}$ , ou seja, pressão efetiva;
piezômetro — tubo de vidro simples ligado ao reservatório; lê-se a carga de pressão direto na altura da coluna, $p = \gamma h$ ;
manômetro em U — resolve as três limitações do piezômetro;
manômetro diferencial — em U mas com os dois ramos ligados a reservatórios; mede $p_A - p_B$ quando nenhuma das duas pressões é conhecida.

A equação manométrica: o método de caminhar

Exemplo rápido — a coluna equivalente

Um manômetro em U liga dois líquidos que se encontram no mesmo nível. De um lado, fluido com $\gamma_1 = 6000\ \mathrm{N/m^3}$ e coluna $h_1$ ; do outro, $\gamma_2 = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ e $h_2 = 5{,}0\ \mathrm{m}$ . Qual $h_1$ ?

No nível de encontro as pressões são iguais:

\gamma_1 h_1 = \gamma_2 h_2 \qquad\Longrightarrow\qquad h_1 = \frac{10\,000 \times 5{,}0}{6000} = 8{,}33\ \mathrm{m}

Leitura física: o fluido mais leve precisa de uma coluna mais alta para fazer a mesma pressão. É por isso que se usa mercúrio como fluido manométrico — para a coluna caber no instrumento.

Exemplo rápido — achar a densidade de um óleo (prova de 2023.2)

Um manômetro indica $64\ \mathrm{kPa}$ num sistema com três fluidos: água ( $h = 50\ \mathrm{cm}$ ), óleo ( $h = 80\ \mathrm{cm}$ ) e mercúrio ( $h = 46\ \mathrm{cm}$ ). Com $\gamma_{\text{água}} = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ , qual a densidade relativa do óleo?

Igualando as pressões nos dois lados do nível de referência:

p_{man} + \gamma_{\text{água}}\,h_{\text{água}} = \gamma_{\text{óleo}}\,h_{\text{óleo}} + \gamma_{Hg}\,h_{Hg}

Escrevendo os pesos específicos como $d \cdot \gamma_{\text{água}}$ e isolando:

d_{\text{óleo}} = \frac{64 \times 10^3 + 10\,000 \times 0{,}50 - 13{,}6 \times 10\,000 \times 0{,}46}{10\,000 \times 0{,}80} = 0{,}805

Confira se o resultado faz sentido: $d < 1$ , como tem de ser para um óleo — ele flutua na água. Se der $d > 1$ num óleo, há erro de sinal no caminho.

09 Força em superfície plana submersa e centro de pressão

A ideia. A pressão cresce com a profundidade, então a força sobre uma comporta não está distribuída por igual: aperta mais embaixo. Essa unidade responde a duas perguntas separadas — quanto é a força resultante e onde ela age. A primeira resposta é surpreendentemente simples; a segunda é a que derruba prova, porque o ponto de aplicação não é o centro de gravidade.

Quanto: a força resultante

Integrando a pressão sobre a área e reconhecendo a definição de centroide, chega-se a um resultado curto:

F = \int p\,dA = \gamma \operatorname{sen}\theta \int y\,dA = \gamma \operatorname{sen}\theta\,\bar{y}\,A

E como $\bar{h} = \bar{y}\operatorname{sen}\theta$ :

\boxed{\;F = \gamma\,\bar{h}\,A = \bar{p}\,A\;}

Onde: o centro de pressão

O CP é o ponto onde a resultante deveria ser aplicada para produzir o mesmo momento que a distribuição real. Igualando os momentos:

F\,y_{CP} = \gamma \operatorname{sen}\theta \int y^2\,dA = \gamma \operatorname{sen}\theta\,I_0 \qquad\Longrightarrow\qquad y_{CP} = \frac{I_0}{\bar{y}\,A}

Aplicando o teorema de Steiner, $I_0 = I_{CG} + \bar{y}^2 A$ :

\boxed{\;y_{CP} = \bar{y} + \frac{I_{CG}}{\bar{y}\,A}\;}

Exemplo rápido — comporta retangular vertical

Uma comporta retangular de $b = 2\ \mathrm{m}$ de largura e $h = 3\ \mathrm{m}$ de altura é vertical, com o topo na superfície livre da água ( $\gamma = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ ). Ache $F$ e a profundidade do CP.

A força. O CG está no meio da placa, então $\bar{h} = 1{,}5\ \mathrm{m}$ e $A = 6\ \mathrm{m^2}$ :

F = \gamma\,\bar{h}\,A = 10\,000 \times 1{,}5 \times 6 = 90\,000\ \mathrm{N} = 90\ \mathrm{kN}

O centro de pressão. A placa é vertical, então $\bar{y} = \bar{h} = 1{,}5\ \mathrm{m}$ , e

I_{CG} = \frac{b\,h^3}{12} = \frac{2 \times 27}{12} = 4{,}5\ \mathrm{m^4}

y_{CP} = \bar{y} + \frac{I_{CG}}{\bar{y}\,A} = 1{,}5 + \frac{4{,}5}{1{,}5 \times 6} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2{,}0\ \mathrm{m}

O CP está a $2\ \mathrm{m}$ de profundidade: abaixo do CG (que está a $1{,}5\ \mathrm{m}$ ), como tinha de ser. E note o resultado clássico: numa placa retangular com o topo na superfície, o CP fica a dois terços da altura ( $2/3 \times 3 = 2\ \mathrm{m}$ ).

10 Força em superfície curva submersa

A ideia. Numa superfície curva a pressão continua sempre normal à parede — mas a normal muda de direção ponto a ponto. Somar vetores que giram não dá para fazer com uma fórmula única, então o método é outro: decompor em duas direções e tratar cada componente com o que já se sabe. A horizontal cai na seção anterior; a vertical vira um problema de peso de volume.

A componente horizontal: projete e esqueça a curva

\boxed{\;F_H = \gamma\,\bar{h}\,A_{proj}\;}

É a mesma fórmula da superfície plana, aplicada à projeção da superfície curva num plano vertical.

A componente vertical: é peso de líquido

\boxed{\;F_V = \gamma\,V\;}

onde $V$ é o volume de líquido entre a superfície curva e a superfície livre.

A resultante

F_R = \sqrt{F_H^2 + F_V^2} \qquad\qquad \tan\alpha = \frac{F_V}{F_H}

onde $\alpha$ é o ângulo da resultante com a horizontal.

Exemplo rápido — comporta em quarto de círculo

Uma comporta é um quarto de cilindro de raio $R = 2\ \mathrm{m}$ e largura $b = 3\ \mathrm{m}$ , com água ( $\gamma = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ ) apoiada nela e a superfície livre no topo da comporta.

Horizontal. A projeção vertical é um retângulo $2\ \mathrm{m} \times 3\ \mathrm{m}$ , com CG a $\bar{h} = 1\ \mathrm{m}$ :

F_H = \gamma\,\bar{h}\,A_{proj} = 10\,000 \times 1 \times (2 \times 3) = 60\,000\ \mathrm{N} = 60\ \mathrm{kN}

Vertical. O volume de líquido acima da superfície curva é o quarto de círculo vezes a largura:

V = \frac{\pi R^2}{4}\,b = \frac{\pi \times 4}{4} \times 3 = 3\pi \approx 9{,}42\ \mathrm{m^3}

F_V = \gamma\,V = 10\,000 \times 9{,}42 = 94\,200\ \mathrm{N} \approx 94{,}2\ \mathrm{kN}

Resultante:

F_R = \sqrt{60^2 + 94{,}2^2} \approx 111{,}7\ \mathrm{kN} \qquad \tan\alpha = \frac{94{,}2}{60} \Rightarrow \alpha \approx 57{,}5^\circ

11 Empuxo e equilíbrio de corpos submersos

A ideia. Empuxo não é uma força nova: é o resultado líquido das pressões que o fluido faz na superfície do corpo. Como a pressão cresce com a profundidade, o empurrão de baixo vence o de cima, e sobra uma força para cima. O princípio de Arquimedes é essa conta já resolvida — e ela depende só do volume deslocado, não do que há dentro do corpo.

O princípio de Arquimedes

\boxed{\;E = \gamma_f\,V_{des}\;}

Todo corpo imerso num fluido sofre uma força vertical para cima igual ao peso do fluido deslocado.

As três situações

Comparando empuxo com peso, para um corpo totalmente imerso:

$E > G$ (isto é, $\gamma_f > \gamma_c$ ) → o corpo sobe e passa a flutuar;
$E = G$ ( $\gamma_f = \gamma_c$ ) → equilíbrio indiferente: fica onde for colocado;
$E < G$ ( $\gamma_f < \gamma_c$ ) → o corpo afunda.

Peso aparente

Um corpo pendurado numa balança dentro do fluido “pesa” menos:

G_{ap} = G - E

É a leitura da balança, e é uma das formas favoritas de o enunciado dar o empuxo sem dizer o nome dele.

Exemplo rápido — o bloco que flutua

Um bloco de madeira de $0{,}50\ \mathrm{m^3}$ e $d_c = 0{,}70$ flutua em água ( $\gamma_f = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ ). Que volume fica submerso, e qual o empuxo?

Pela condição de flutuação:

\frac{V_{des}}{V_c} = \frac{d_c}{d_f} = \frac{0{,}70}{1{,}0} = 0{,}70 \qquad\Longrightarrow\qquad V_{des} = 0{,}70 \times 0{,}50 = 0{,}35\ \mathrm{m^3}

E = \gamma_f\,V_{des} = 10\,000 \times 0{,}35 = 3500\ \mathrm{N}

Conferência: o peso do bloco é $G = \gamma_c V_c = 7000 \times 0{,}50 = 3500\ \mathrm{N}$ . Igual ao empuxo, como o equilíbrio exige.

Estabilidade: onde agem as duas forças

O peso age no centro de gravidade ( $CG$ ) do corpo; o empuxo age no centro de carena ( $C$ ), que é o centroide da parte submersa. Quando o corpo inclina, a parte submersa muda de forma e $C$ se desloca — o $CG$ não.

12 Tipos e regimes de escoamento; número de Reynolds

A ideia. Sai o repouso, entra o movimento. Antes de escrever qualquer equação para um fluido escoando é preciso classificar o escoamento, porque as hipóteses que você pode usar depois dependem dessa classificação. E o classificador mais importante da cadeira é um número adimensional que compara duas forças: Reynolds.

As classificações que o enunciado usa

Trajetória e linha de corrente

trajetória — o caminho percorrido por uma partícula ao longo do tempo;
linha de corrente — a linha tangente aos vetores velocidade de várias partículas, num mesmo instante.

Laminar e turbulento: o experimento de Reynolds

Injetando corante num tubo de vidro com água escoando:

em velocidade baixa, o filete de corante segue reto, sem se misturar — as partículas escoam em camadas paralelas. É o laminar;
aumentando a velocidade, o filete começa a oscilar e depois se dissolve por toda a seção. É o turbulento, com movimento errático e mistura intensa.

\boxed{\;Re = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} = \frac{v\,D}{\nu}\;}

13 Vazão volumétrica, vazão mássica e velocidade média

A ideia. Vazão é a grandeza que amarra a cadeira inteira: ela aparece na continuidade, em Bernoulli, no cálculo de perda de carga e na potência da bomba. E a definição de velocidade média é o que permite tratar um perfil de velocidades complicado como se fosse um número só.

As três vazões

\boxed{\;Q = v\,A\;} \qquad\qquad Q_m = \rho\,Q = \rho\,v\,A \qquad\qquad G = \gamma\,Q

Velocidade média: a definição que salva a conta

A velocidade não é a mesma em todos os pontos da seção: por causa da aderência, ela é zero na parede e máxima no centro. A velocidade média é definida para que a vazão dê certo:

v = \frac{1}{A}\int_A v_{\text{local}}\,dA \qquad\Longleftrightarrow\qquad Q = \int_A v_{\text{local}}\,dA = v\,A

Exemplo rápido — vazão num tubo

Água escoa a $3\ \mathrm{m/s}$ num tubo de $100\ \mathrm{mm}$ de diâmetro. Ache $Q$ em $\mathrm{L/s}$ e $Q_m$ .

A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}100)^2}{4} = 7{,}854 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}

Q = v\,A = 3 \times 7{,}854 \times 10^{-3} = 2{,}356 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3/s} = 23{,}6\ \mathrm{L/s}

Q_m = \rho\,Q = 1000 \times 2{,}356 \times 10^{-2} = 23{,}6\ \mathrm{kg/s}

Coincidência útil: para água, o número em $\mathrm{L/s}$ é igual ao número em $\mathrm{kg/s}$ , porque $\rho = 1\ \mathrm{kg/L}$ . Serve de conferência rápida.

14 Equação da continuidade para regime permanente

A ideia. É a conservação da massa escrita para um escoamento. A frase é banal — o que entra tem de sair —, mas a consequência não é: se o tubo estreita, o fluido acelera. É esse aumento de velocidade que, na próxima unidade, vai fazer a pressão cair (Bernoulli) e explicar o funcionamento de um Venturi.

A forma geral e a que se usa

Em regime permanente, a massa que entra por unidade de tempo iguala a que sai:

\rho_1\,v_1\,A_1 = \rho_2\,v_2\,A_2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad Q_{m1} = Q_{m2}

Para fluido incompressível ( $\rho_1 = \rho_2$ ), o $\rho$ cancela:

\boxed{\;v_1\,A_1 = v_2\,A_2 = Q = \text{constante}\;}

Exemplo rápido — a redução de diâmetro

Água escoa por um tubo que reduz de $D_1 = 100\ \mathrm{mm}$ para $D_2 = 50\ \mathrm{mm}$ . Se $v_1 = 2\ \mathrm{m/s}$ , qual $v_2$ ?

Pela razão dos quadrados dos diâmetros:

v_2 = v_1\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 2 \times \left(\frac{100}{50}\right)^2 = 2 \times 4 = 8\ \mathrm{m/s}

Conferência pela vazão, que é o teste de sanidade:

Q_1 = 2 \times \frac{\pi (0{,}1)^2}{4} = 1{,}571 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3/s} \qquad Q_2 = 8 \times \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = 1{,}571 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^3/s}

Iguais, como tinham de ser.

15 Equação de Bernoulli, carga total e o tubo de Venturi

A ideia. Bernoulli é a conservação de energia escrita em metros. Cada termo é uma “carga” — uma altura equivalente — e a soma das três é constante ao longo do escoamento de um fluido ideal. A força da equação está em quê ela permite: sabendo a geometria (pela continuidade), você descobre a pressão sem saber nada sobre a força que empurra o fluido.

A equação

\boxed{\;z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} \;=\; z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} \;=\; H\;}

Por que “todos os termos em metros”

Dividir a energia pelo peso do fluido transforma joules em metros:

\frac{\text{energia}}{\text{peso}} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{N}} = \frac{\mathrm{N \cdot m}}{\mathrm{N}} = \mathrm{m}

O tubo de Venturi

É a aplicação clássica, e cai em prova em toda variação possível. Um estrangulamento na tubulação: pela continuidade a velocidade aumenta na garganta; por Bernoulli, se a carga cinética cresce e a cota não muda, a carga de pressão tem de cair.

\frac{p_1 - p_2}{\gamma} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g}

Medindo o desnível num manômetro diferencial ligado entre (1) e (2), obtém-se a vazão — é assim que um Venturi funciona como medidor.

Exemplo rápido — Venturi com manômetro de mercúrio (prova de 2023.2)

Água ( $\gamma = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ ) escoa por um Venturi com $A_1 = 20\ \mathrm{cm^2}$ e garganta $A_2 = 10\ \mathrm{cm^2}$ . A vazão é $Q = 5{,}8\ \mathrm{L/s}$ e o manômetro é de mercúrio ( $\gamma_{Hg} = 136\,000\ \mathrm{N/m^3}$ ). Qual o desnível $h$ ?

Velocidades, pela continuidade:

v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{5{,}8 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-4}} = 2{,}9\ \mathrm{m/s} \qquad v_2 = \frac{5{,}8 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-4}} = 5{,}8\ \mathrm{m/s}

Bernoulli com $z_1 = z_2$ , para achar a diferença de pressão:

\frac{p_1 - p_2}{\gamma} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2g} = \frac{5{,}8^2 - 2{,}9^2}{2 \times 10} = \frac{33{,}64 - 8{,}41}{20} = 1{,}2615\ \mathrm{m}

p_1 - p_2 = 10\,000 \times 1{,}2615 = 12\,615\ \mathrm{Pa}

Manometria para converter em desnível — o mercúrio sobe de um lado e a água desce do outro:

p_1 - p_2 = h\,(\gamma_{Hg} - \gamma_{\text{água}}) = h \times 126\,000

h = \frac{12\,615}{126\,000} = 0{,}100\ \mathrm{m} = 10{,}0\ \mathrm{cm}

Note a estrutura: continuidade → Bernoulli → manometria. É a espinha da questão de 2 pontos desta unidade, e as três seções anteriores entram todas.

16 Equação da energia com máquina: bombas e turbinas

A ideia. Bernoulli puro só serve a um mundo sem atrito e sem máquinas. A equação da energia real acrescenta dois termos: o que a máquina entrega ou retira, e o que o atrito dissipa. Com esses dois termos a equação deixa de ser exercício e passa a dimensionar bomba de verdade — que é o que a prova pede quando fala em “potência requerida”.

A equação completa

\boxed{\;z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + H_M \;=\; z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + H_{p_{1,2}}\;}

Lê-se: a carga em (1), mais o que a máquina põe, é a carga em (2) mais o que o atrito comeu.

Potência: três versões da mesma fórmula

A potência útil, transferida ao fluido:

N_{\text{útil}} = \gamma\,Q\,H_M

Máquina real tem perdas internas, e aí entra o rendimento:

\boxed{\;N_{\text{bomba}} = \frac{\gamma\,Q\,H_B}{\eta}\;} \qquad\qquad N_{\text{turbina}} = \eta\,\gamma\,Q\,H_T

Exemplo rápido — dimensionar a bomba

Uma bomba eleva água ( $\gamma = 10\,000\ \mathrm{N/m^3}$ ) de um reservatório para outro $20\ \mathrm{m}$ acima, com $Q = 10\ \mathrm{L/s}$ . A perda de carga total é $H_p = 4\ \mathrm{m}$ e o rendimento é $\eta = 0{,}75$ . Qual a potência da bomba, em CV?

A carga da bomba. Tomando (1) e (2) nas duas superfícies livres, onde $v \approx 0$ e $p = 0$ :

z_1 + H_B = z_2 + H_p \qquad\Longrightarrow\qquad H_B = (z_2 - z_1) + H_p = 20 + 4 = 24\ \mathrm{m}

A potência:

N = \frac{\gamma\,Q\,H_B}{\eta} = \frac{10\,000 \times 10 \times 10^{-3} \times 24}{0{,}75} = 3200\ \mathrm{W}

N = \frac{3200}{735{,}5} = 4{,}35\ \mathrm{CV}

Leitura: dos $24\ \mathrm{m}$ de carga, $20$ são o desnível que precisava ser vencido e $4$ foram desperdiçados no atrito. Se a tubulação fosse mais larga, a perda cairia e a bomba seria menor — é esse o compromisso de todo projeto hidráulico.

17 Perda de carga distribuída: Darcy-Weisbach e o diagrama de Moody

A ideia. O termo $H_p$ da seção anterior apareceu como um número dado. Aqui ele é calculado. A perda de carga tem duas origens: o atrito ao longo do tubo reto (distribuída) e as singularidades como curvas e válvulas (localizada, próxima seção). A distribuída é governada por uma fórmula única, e a dificuldade toda está em achar um coeficiente: o fator de atrito.

A fórmula universal

\boxed{\;H_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}\;}

Como achar $f$

A fórmula de Hazen-Williams

Em hidráulica de água a fórmula empírica de Hazen-Williams aparece com frequência (é a preferida em projeto de redes):

H_f = 10{,}65\,\frac{Q^{1,85}}{C^{1,85}\,D^{4,87}}\,L

com $C$ o coeficiente de Hazen-Williams (depende do material: $\approx 130$ para PVC, $\approx 100$ para ferro fundido usado). Só vale para água em regime turbulento — não é universal como Darcy.

Exemplo rápido — perda num trecho reto

Água ( $\nu = 10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$ ) escoa a $2\ \mathrm{m/s}$ por $500\ \mathrm{m}$ de tubo de $100\ \mathrm{mm}$ , com $f = 0{,}02$ . Qual a perda de carga?

H_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} = 0{,}02 \times \frac{500}{0{,}100} \times \frac{2^2}{2 \times 10}

H_f = 0{,}02 \times 5000 \times 0{,}2 = 20\ \mathrm{m}

Vinte metros de coluna de água perdidos só em atrito — é mais que o desnível de muitas instalações, e mostra por que a perda de carga não é um detalhe do projeto: é o projeto.

Conferindo o regime: $Re = 2 \times 0{,}1/10^{-6} = 2 \times 10^5$ , turbulento, coerente com $f$ dado em vez de calculado.

18 Perdas de carga localizadas e comprimento equivalente

A ideia. Cada curva, válvula, registro ou mudança de seção obriga o fluido a mudar de direção ou de velocidade bruscamente, e isso gera turbilhonamento — energia que vira calor. Numa instalação curta e cheia de conexões, essas perdas “pontuais” podem passar a distribuída. Há dois métodos para contabilizá-las, e a prova pede saber os dois.

Método 1 — o coeficiente $K$

\boxed{\;H_L = K\,\frac{v^2}{2g}\;}

Cada peça tem seu $K$ , tabelado. Some as perdas de todas:

H_L = \left(\sum K_i\right)\frac{v^2}{2g}

Valores de K que aparecem em enunciado

peça	$K$ aproximado
curva de 90° (joelho)	$0{,}9$
curva de 45°	$0{,}4$
registro de gaveta aberto	$0{,}2$
registro de globo aberto	$10$
válvula de pé com crivo	$1{,}75$
entrada de borda (reservatório → tubo)	$0{,}5$
saída de tubo (tubo → reservatório)	$1{,}0$

O registro de globo com $K = 10$ é a razão de ele ser usado para controlar vazão, e o de gaveta, com $K = 0{,}2$ , para apenas abrir e fechar.

Método 2 — o comprimento equivalente

Trocar cada peça por um trecho de tubo reto que perderia o mesmo:

L_{eq} = K\,\frac{D}{f}

Aí a perda total sai de uma única aplicação de Darcy, com o comprimento somado:

\boxed{\;H_{p_{total}} = f\,\frac{L_{real} + \sum L_{eq}}{D}\,\frac{v^2}{2g}\;}

A perda total, e quando desprezar as localizadas

H_{p_{total}} = H_f + H_L

Exemplo rápido — os dois métodos dando o mesmo

Tubo de $D = 100\ \mathrm{mm}$ , $f = 0{,}02$ , $v = 2\ \mathrm{m/s}$ , com dois joelhos de 90° ( $K = 0{,}9$ cada).

Por $K$ :

H_L = \left(\sum K\right)\frac{v^2}{2g} = 1{,}8 \times \frac{4}{20} = 0{,}36\ \mathrm{m}

Por comprimento equivalente:

L_{eq} = K\,\frac{D}{f} = 0{,}9 \times \frac{0{,}100}{0{,}02} = 4{,}5\ \mathrm{m} \text{ por joelho} \;\Rightarrow\; 9{,}0\ \mathrm{m}

H_L = f\,\frac{\sum L_{eq}}{D}\,\frac{v^2}{2g} = 0{,}02 \times \frac{9{,}0}{0{,}100} \times 0{,}2 = 0{,}36\ \mathrm{m}

Idênticos, como tinham de ser — os métodos são a mesma conta reorganizada. E a leitura prática é boa: cada joelho de 90° custa 4,5 m de tubo reto.

19 Equação da quantidade de movimento para regime permanente

A ideia. Continuidade é massa, Bernoulli é energia — falta a segunda lei de Newton escrita para um escoamento. Ela responde à pergunta que as outras duas não respondem: qual força o fluido faz na estrutura? É o que dimensiona o bloco de ancoragem de uma curva, a força num jato contra uma pá e o esforço num redutor de tubulação.

A equação

Para regime permanente, uma entrada e uma saída:

\boxed{\;\vec{F}_R = Q_m\,(\vec{v}_2 - \vec{v}_1) = \rho\,Q\,(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)\;}

Em componentes, que é como se usa:

F_{Rx} = \rho\,Q\,(v_{2x} - v_{1x}) \qquad\qquad F_{Ry} = \rho\,Q\,(v_{2y} - v_{1y})

O que entra em $\vec{F}_R$

A resultante inclui todas as forças externas ao volume de controle:

\vec{F}_R = \vec{F}_{p_1} + \vec{F}_{p_2} + \vec{G} + \vec{F}_{est}

$\vec{F}_{p} = p\,A$ — forças de pressão nas seções de entrada e saída (use pressão efetiva);
$\vec{G}$ — peso do fluido no volume de controle;
$\vec{F}_{est}$ — a força que a estrutura faz no fluido. É a incógnita.

Exemplo rápido — jato horizontal contra placa plana

Um jato de água ( $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ) de $A = 10\ \mathrm{cm^2}$ e $v = 20\ \mathrm{m/s}$ atinge perpendicularmente uma placa fixa, espalhando-se lateralmente. Qual a força sobre a placa?

Q = v\,A = 20 \times 10 \times 10^{-4} = 0{,}02\ \mathrm{m^3/s} \qquad Q_m = \rho\,Q = 20\ \mathrm{kg/s}

No eixo $x$ (direção do jato), a saída não tem componente nessa direção ( $v_{2x} = 0$ ):

F_{Rx} = \rho\,Q\,(0 - 20) = -400\ \mathrm{N}

A placa faz $400\ \mathrm{N}$ contra o jato; logo o jato empurra a placa com $400\ \mathrm{N}$ no sentido do escoamento.

Um caso que vale reconhecer: para jato contra placa plana, $F = \rho Q v = \rho A v^2$ . Se a placa fosse uma concha que inverte o jato, a força seria o dobro.

20 Análise dimensional, números adimensionais e o teorema dos π

A ideia. Alguns problemas de fluidos têm variáveis demais para resolver analiticamente e caro demais para testar em tamanho real. A análise dimensional é a ferramenta que reduz o número de variáveis antes de qualquer experimento: em vez de estudar sete grandezas separadas, estuda-se um punhado de grupos adimensionais. É o que permite ensaiar um modelo pequeno e extrapolar para a obra.

Dimensões das grandezas usuais

A tabela que resolve qualquer equação dimensional

[v] = LT^{-1} \qquad [a] = LT^{-2} \qquad [F] = MLT^{-2} \qquad [\rho] = ML^{-3}

[p] = [\tau] = ML^{-1}T^{-2} \qquad [\mu] = ML^{-1}T^{-1} \qquad [\nu] = L^{2}T^{-1} \qquad [Q] = L^{3}T^{-1}

[\gamma] = ML^{-2}T^{-2} \qquad [\text{energia}] = ML^{2}T^{-2} \qquad [\text{potência}] = ML^{2}T^{-3}

Toda equação dimensional se resolve com essa tabela e a regra de que os dois lados de uma equação física têm as mesmas dimensões (homogeneidade dimensional).

O teorema dos $\pi$ de Buckingham

Um problema com $n$ variáveis, envolvendo $k$ dimensões primárias, pode ser reescrito com $n - k$ grupos adimensionais independentes.

Os adimensionais que têm nome

Cada um compara a inércia com uma força diferente

Re = \frac{\rho v D}{\mu} \;\text{(inércia / viscosa)} \qquad Fr = \frac{v}{\sqrt{g\,L}} \;\text{(inércia / gravidade)}

Eu = \frac{p}{\rho v^2} \;\text{(pressão / inércia)} \qquad Ma = \frac{v}{c} \;\text{(inércia / elástica)} \qquad We = \frac{\rho v^2 L}{\sigma} \;\text{(inércia / tensão superficial)}

Qual domina o problema decide qual deve ser igualado no ensaio de modelo:

escoamento em tubulação, submerso → Reynolds;
escoamento com superfície livre (canal, vertedouro, navio) → Froude;
escoamento com alta velocidade de gás → Mach;
gotas, bolhas, jatos finos → Weber.

21 Semelhança e teoria dos modelos

A ideia. Ninguém constrói uma barragem para descobrir se ela funciona. Constrói-se um modelo reduzido, ensaia-se, e transfere-se o resultado para o protótipo. A teoria dos modelos é o conjunto de regras que garante que essa transferência é legítima — e a regra central é: os adimensionais relevantes têm de ser iguais nos dois.

Os três níveis de semelhança

A condição de projeto

\boxed{\;\pi_{i,m} = \pi_{i,p}\;}

para cada adimensional relevante. Na prática, iguala-se o que domina o fenômeno:

Re_m = Re_p \qquad\text{(escoamento confinado, viscosidade dominante)}

Fr_m = Fr_p \qquad\text{(superfície livre, gravidade dominante)}

Exemplo rápido — modelo de vertedouro 1:25

Um vertedouro é ensaiado em escala $1{:}25$ ( $\lambda = 1/25$ ). No modelo mediu-se $Q_m = 60\ \mathrm{L/s}$ . Qual a vazão do protótipo?

Superfície livre → Froude:

\frac{Q_m}{Q_p} = \lambda^{5/2} = \left(\frac{1}{25}\right)^{5/2} = \frac{1}{3125}

Q_p = 60 \times 3125 = 187\,500\ \mathrm{L/s} = 187{,}5\ \mathrm{m^3/s}

E o tempo: um evento que no modelo durou $10\ \mathrm{s}$ corresponde a $10 \times \sqrt{25} = 50\ \mathrm{s}$ na obra. O modelo é mais rápido que a realidade — é por isso que ensaio de maré em modelo reduzido comprime dias em horas.

22 Análise diferencial: Navier-Stokes e aplicações

A ideia. Até aqui a cadeira usou volumes de controle finitos: entra em (1), sai em (2), e o que acontece no meio não importa. A análise diferencial faz o oposto — escreve as leis para um elemento infinitesimal e obtém o campo de velocidades ponto a ponto. O preço é uma equação diferencial parcial não linear; o ganho é a descrição completa do escoamento.

A derivada material

A aceleração de uma partícula de fluido tem duas parcelas — e essa distinção é o coração da análise diferencial:

\frac{D\vec{v}}{Dt} = \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{local}} + \underbrace{(\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}}_{\text{convectiva}}

A continuidade em forma diferencial

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{v}) = 0 \qquad\xrightarrow{\ \text{incompressível}\ }\qquad \boxed{\;\nabla \cdot \vec{v} = 0\;}

Ou seja $\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} + \dfrac{\partial w}{\partial z} = 0$ — é este o teste que a prova pede para verificar se um campo dado é fisicamente possível.

A equação de Navier-Stokes

Para fluido newtoniano e incompressível com $\mu$ constante:

\boxed{\;\rho\frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla p + \mu\nabla^2\vec{v} + \rho\vec{g}\;}

A aplicação clássica: escoamento entre placas

Para escoamento laminar, permanente e unidirecional entre duas placas paralelas, quase todos os termos morrem e sobra uma equação ordinária simples:

\frac{d^2u}{dy^2} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}

Integrando duas vezes com $u = 0$ nas paredes (aderência), obtém-se o perfil parabólico — e, dele, o resultado de Hagen-Poiseuille que a seção de perda de carga usou:

v = \frac{v_{max}}{2} \qquad\qquad f = \frac{64}{Re}

23 Os três modos de transferência de calor

A ideia. A cadeira muda de assunto, mas não de estrutura: transporte de calor obedece à mesma lógica do transporte de quantidade de movimento — um fluxo proporcional a um gradiente. Calor é energia em trânsito por diferença de temperatura, e há exatamente três mecanismos para ele viajar. Identificar qual está em jogo é o primeiro passo de qualquer questão desta unidade.

Condução

Transferência dentro de um sólido ou de um fluido estacionário, por contato direto — a energia passa de molécula a molécula, sem que a matéria se desloque.

q''_x = -k\,\frac{\partial T}{\partial x} \qquad\qquad q_x = -k\,A\,\frac{\partial T}{\partial x}

Esta é a lei de Fourier, e a próxima seção a desenvolve.

Convecção

Transferência entre uma superfície e um fluido em movimento. Aqui a matéria se desloca e carrega energia com ela.

\boxed{\;q = h\,A\,(T_s - T_\infty)\;}

com $T_s$ a temperatura da superfície e $T_\infty$ a do fluido longe dela (lei do resfriamento de Newton).

Radiação

Transferência por ondas eletromagnéticas, emitidas por qualquer corpo com temperatura acima do zero absoluto. Não precisa de meio material — é assim que o calor do Sol chega à Terra.

q = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{viz}^4)

24 Lei de Fourier, condutividade e resistência térmica

A ideia. A lei de Fourier é a lei de Newton da viscosidade com outros nomes: fluxo proporcional a gradiente. E há um ganho enorme escondido nela — se o regime é permanente e o perfil é linear, a condução vira um circuito elétrico, com “resistências térmicas” que se somam em série e em paralelo exatamente como resistores. Essa analogia é a ferramenta mais poderosa desta unidade.

A lei de Fourier e o caso linear

q = -k\,A\,\frac{dT}{dx}

Em regime permanente, numa parede plana de espessura $L$ com faces a $T_1$ e $T_2$ , o perfil de temperatura é linear e a derivada vira razão:

\boxed{\;q = k\,A\,\frac{T_1 - T_2}{L}\;}

A analogia elétrica

Reescrevendo a lei de Fourier no formato “corrente = tensão / resistência”:

q = \frac{\Delta T}{R_t} \qquad\text{com}\qquad \boxed{\;R_t = \frac{L}{k\,A}\;}

O dicionário da analogia

térmico	elétrico
fluxo de calor $q$	corrente $i$
diferença de temperatura $\Delta T$	tensão $v$
resistência térmica $R_t = L/(kA)$	resistência $R$

E as regras de associação são as mesmas:

\text{série: } R_{eq} = \sum R_i \qquad\qquad \text{paralelo: } \frac{1}{R_{eq}} = \sum \frac{1}{R_i}

Quem já fez Circuitos Elétricos 1 não precisa aprender nada de novo aqui — é o mesmo cálculo com outras unidades.

A resistência de convecção

A convecção também vira resistência, e é isso que permite montar o circuito completo da parede:

q = h\,A\,\Delta T = \frac{\Delta T}{R_{conv}} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;R_{conv} = \frac{1}{h\,A}\;}

Exemplo rápido — parede com convecção nas duas faces

Uma parede de $L = 0{,}20\ \mathrm{m}$ , $k = 0{,}70\ \mathrm{W/(mK)}$ e $A = 10\ \mathrm{m^2}$ separa ar interno a $20\ ^\circ\mathrm{C}$ ( $h_i = 8\ \mathrm{W/(m^2K)}$ ) do externo a $35\ ^\circ\mathrm{C}$ ( $h_e = 20\ \mathrm{W/(m^2K)}$ ). Qual o fluxo de calor?

Três resistências em série:

R_{conv,e} = \frac{1}{h_e A} = \frac{1}{20 \times 10} = 0{,}005\ \mathrm{K/W}

R_{cond} = \frac{L}{k A} = \frac{0{,}20}{0{,}70 \times 10} = 0{,}0286\ \mathrm{K/W}

R_{conv,i} = \frac{1}{h_i A} = \frac{1}{8 \times 10} = 0{,}0125\ \mathrm{K/W}

R_{eq} = 0{,}005 + 0{,}0286 + 0{,}0125 = 0{,}0461\ \mathrm{K/W}

q = \frac{\Delta T}{R_{eq}} = \frac{35 - 20}{0{,}0461} = 325\ \mathrm{W}

O calor entra na casa (de fora para dentro), porque o exterior está mais quente. E note qual resistência domina: a condução da parede, com 62 % do total — engrossar a parede ou usar material de $k$ menor é o que reduz a carga térmica.

25 Condução em paredes compostas e em tubulações

A ideia. Com o dicionário elétrico da seção anterior, resolver uma parede de três camadas é somar resistências. O caso do tubo é o único que exige cuidado extra: ali a área cresce com o raio, o perfil de temperatura deixa de ser linear e a resistência ganha um logaritmo. É a fórmula que a prova de 2º EE cobra com mais frequência nesta unidade.

Parede composta: resistências em série

q = \frac{T_1 - T_{n+1}}{\sum R_i} = \frac{\Delta T_{total}}{\dfrac{L_1}{k_1 A} + \dfrac{L_2}{k_2 A} + \dfrac{L_3}{k_3 A} + \ldots}

Tubo cilíndrico: onde entra o logaritmo

Na parede plana a área é constante; no tubo, $A = 2\pi r L$ cresce com o raio. Integrando a lei de Fourier com essa área variável:

q = \frac{2\pi k L\,(T_1 - T_2)}{\ln(r_2/r_1)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\;R_{tubo} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}\;}

Exemplo rápido — tubo de vapor com isolamento

Um tubo de aço ( $k_1 = 50\ \mathrm{W/(mK)}$ ) de $r_1 = 5\ \mathrm{cm}$ e $r_2 = 5{,}5\ \mathrm{cm}$ é isolado com lã de rocha ( $k_2 = 0{,}05\ \mathrm{W/(mK)}$ ) até $r_3 = 10{,}5\ \mathrm{cm}$ . Para $L = 10\ \mathrm{m}$ , com face interna a $200\ ^\circ\mathrm{C}$ e externa a $30\ ^\circ\mathrm{C}$ , qual o fluxo?

R_{aço} = \frac{\ln(5{,}5/5)}{2\pi \times 50 \times 10} = \frac{0{,}0953}{3141{,}6} = 3{,}03 \times 10^{-5}\ \mathrm{K/W}

R_{isol} = \frac{\ln(10{,}5/5{,}5)}{2\pi \times 0{,}05 \times 10} = \frac{0{,}6466}{3{,}1416} = 0{,}2058\ \mathrm{K/W}

q = \frac{200 - 30}{3{,}03 \times 10^{-5} + 0{,}2058} = \frac{170}{0{,}2058} = 826\ \mathrm{W}

A resistência do aço é 6800 vezes menor que a do isolante — e é por isso que, num problema com isolamento, desprezar a resistência do metal é aproximação legítima. O isolante é quem manda.

26 Condução em esferas e o raio crítico de isolamento

A ideia. O tubo trouxe o logaritmo porque a área cresce com o raio. Na esfera a área cresce com o raio ao quadrado, e a resistência ganha uma forma ainda diferente. E, nos dois casos curvos, aparece um efeito que não existe na parede plana: acrescentar isolante pode aumentar a perda de calor. O limite entre uma coisa e outra é o raio crítico.

A resistência de uma casca esférica

Na esfera, $A = 4\pi r^2$ . Integrando Fourier com essa área:

q = -k\,(4\pi r^2)\,\frac{dT}{dr} \qquad\Longrightarrow\qquad q\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2} = -4\pi k\int_{T_1}^{T_2} dT

q\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = 4\pi k\,(T_1 - T_2)

\boxed{\;R_{esfera} = \frac{\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}}{4\pi k}\;}

As três geometrias, lado a lado

geometria	área	resistência
parede plana	$A$ constante	$\dfrac{L}{k\,A}$
casca cilíndrica	$2\pi r L$	$\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}$
casca esférica	$4\pi r^2$	$\dfrac{1/r_1 - 1/r_2}{4\pi k}$

Note que a resistência esférica não tem $L$ : a esfera não tem comprimento, e a fórmula já dá $\mathrm{K/W}$ direto. Trocar a fórmula do tubo pela da esfera (ou vice-versa) é o erro mais comum desta seção.

Convecção na face externa

A convecção sempre usa a área da face onde ela acontece:

R_{conv} = \frac{1}{h_e\,A_{ext}} \qquad\text{com}\qquad A_{ext} = \begin{cases} 2\pi r_3 L & \text{(cilindro)}\\[4pt] 4\pi r_3^2 & \text{(esfera)} \end{cases}

Camadas e convecção entram todas em série:

q = \frac{T_1 - T_\infty}{R_1 + R_2 + \ldots + R_{conv}}

O raio crítico de isolamento

Aqui está o efeito que não existe na parede plana. Acrescentar isolante faz duas coisas opostas:

aumenta a resistência de condução (mais material a atravessar);
diminui a resistência de convecção, porque a área externa fica maior.

Enquanto o segundo efeito vence, mais isolante significa mais perda de calor. O raio em que os dois se equilibram — em que a resistência total é mínima e o fluxo é máximo — é o raio crítico. Derivando $R_{total}$ em relação a $r$ e igualando a zero:

\boxed{\;r_c = \frac{k_{iso}}{h_e}\;\text{(cilindro)} \qquad\qquad r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e}\;\text{(esfera)}\;}

Exemplo rápido — esfera com duas camadas e convecção

Uma esfera de material A a $T_1 = 350\ \mathrm{K}$ , de raio $r_1 = 5\ \mathrm{cm}$ , é revestida por B ( $k_B = 4{,}0\ \mathrm{W/(mK)}$ ) até $r_2 = 8\ \mathrm{cm}$ e por isolante ( $k_{iso} = 0{,}7\ \mathrm{W/(mK)}$ ) até $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ . Fora, ar a $T_\infty = 298\ \mathrm{K}$ com $h_e = 6{,}2\ \mathrm{W/(m^2K)}$ .

Raio crítico:

r_c = \frac{2 \times 0{,}7}{6{,}2} = 0{,}2258\ \mathrm{m} = 22{,}6\ \mathrm{cm}

Como $r_3 = 10\ \mathrm{cm} < r_c$ , o isolamento está aumentando a perda de calor. Diagnóstico que a conta seguinte confirma.

As resistências:

R_B = \frac{1/0{,}05 - 1/0{,}08}{4\pi \times 4} = \frac{7{,}5}{50{,}27} = 0{,}1492\ \mathrm{K/W}

R_{iso} = \frac{1/0{,}08 - 1/0{,}10}{4\pi \times 0{,}7} = \frac{2{,}5}{8{,}80} = 0{,}2842\ \mathrm{K/W}

R_{conv} = \frac{1}{6{,}2 \times 4\pi (0{,}10)^2} = \frac{1}{0{,}779} = 1{,}2835\ \mathrm{K/W}

R_T = 0{,}1492 + 0{,}2842 + 1{,}2835 = 1{,}7169\ \mathrm{K/W} \qquad q = \frac{350 - 298}{1{,}7169} = 30{,}3\ \mathrm{W}

As temperaturas nas interfaces, uma resistência por vez:

T_2 = T_1 - q\,R_B = 350 - 30{,}3 \times 0{,}1492 = 345{,}5\ \mathrm{K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 345{,}5 - 30{,}3 \times 0{,}2842 = 336{,}9\ \mathrm{K}

Repare que a convecção carrega $75\ \%$ da resistência total: é o ar externo, e não o isolante, que está segurando o calor. Coerente com o diagnóstico do raio crítico.

27 Condução com geração de calor e as condições de contorno

A ideia. Tudo até aqui supôs que o calor só atravessa o material. Se o material produz calor — resistência elétrica dissipando, reação química, decaimento nuclear —, o perfil de temperatura deixa de ser reto e vira parábola. E, para resolver a equação diferencial que aparece, é preciso dizer o que acontece nas fronteiras: são as condições de contorno, que a prova cobra pelo nome.

A equação, e por que a parábola

O balanço de energia num elemento de parede plana, em regime permanente (sem acúmulo) e com geração, é

\underbrace{\frac{d^2T}{dx^2}}_{\text{condução}} + \underbrace{\frac{\dot q}{k}}_{\text{geração}} = 0

Integrando duas vezes:

\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot q}{k}\,x + C_1 \qquad\qquad T(x) = -\frac{\dot q}{2k}\,x^2 + C_1 x + C_2

\boxed{\;T(x)\ \text{é uma parábola};\qquad q''(x) = -k\,\frac{dT}{dx} = \dot q\,x - k\,C_1\ \text{é uma reta}\;}

Parede simétrica: o caso resolvido

Para uma parede de semiespessura $L$ (portanto de $-L$ a $+L$ ), refrigerada igualmente nas duas faces, a simetria dá $C_1 = 0$ e $T(\pm L) = T_s$ :

T(x) = T_s + \frac{\dot q\,L^2}{2k}\left(1 - \frac{x^2}{L^2}\right)

T_0 = T(0) = T_s + \frac{\dot q\,L^2}{2k} \qquad\qquad q''(L) = \dot q\,L

As três condições de contorno

Resolver a equação diferencial exige duas informações nas fronteiras. Há três tipos, e cada um tem nome próprio:

1ª — Dirichlet (primeiro tipo): temperatura prescrita.

T(0,t) = T_s

A superfície é mantida a uma temperatura conhecida. É o caso de uma face em contato com um fluido em mudança de fase (água fervendo, gelo derretendo), que impõe a sua temperatura.

2ª — Neumann (segundo tipo): fluxo prescrito.

-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0} = q''_s

O que se conhece é a taxa de calor na superfície, não a temperatura. Caso particular importantíssimo: superfície adiabática (isolada), em que $q''_s = 0$ e portanto $\partial T/\partial x = 0$ — a mesma condição que a simetria dá no plano central.

3ª — Robin (terceiro tipo, ou mista): convecção na superfície.

-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0} = h\,\big[T_\infty - T(0,t)\big]

O calor que chega por condução à superfície é o que sai por convecção dela. Nem a temperatura nem o fluxo são dados: dá-se $h$ e $T_\infty$ , e a superfície encontra a própria temperatura.

Como decorar sem trocar os nomes

Pela ordem da derivada que a condição fixa:

tipo	nome	fixa	exemplo
1º	Dirichlet	$T$ (a função)	face a $100\ ^\circ\mathrm{C}$
2º	Neumann	$dT/dx$ (a derivada)	face isolada, $q'' = 0$
3º	Robin / mista	combinação de $T$ e $dT/dx$	face trocando com ar a $h$ e $T_\infty$

Dirichlet vem primeiro no alfabeto e é a mais simples; Robin é “mista” porque mistura as duas anteriores.

Exemplo rápido — condutividade a partir do perfil

Uma parede plana de área $5\ \mathrm{m^2}$ e espessura $20\ \mathrm{cm}$ tem a face esquerda a $100\ ^\circ\mathrm{C}$ e o centro a $30\ ^\circ\mathrm{C}$ . A taxa de calor é $10\,000\ \mathrm{W}$ , sem geração nem acúmulo, com perfil linear. Qual o $k$ ?

Sem geração, o perfil é reto e o mesmo $q$ atravessa tudo — então basta usar meia parede:

q = k\,A\,\frac{\Delta T}{\Delta x} \qquad\Longrightarrow\qquad k = \frac{q\,\Delta x}{A\,\Delta T} = \frac{10\,000 \times 0{,}10}{5 \times 70} = 2{,}86\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

A armadilha é usar $\Delta x = 0{,}20\ \mathrm{m}$ com $\Delta T = 70\ \mathrm{K}$ : a temperatura de $30\ ^\circ\mathrm{C}$ é do meio, logo a espessura correspondente é $0{,}10\ \mathrm{m}$ .

28 Convecção: natural, forçada e o número de Nusselt

A ideia. A lei do resfriamento de Newton, $q = hA\Delta T$ , esconde toda a dificuldade dentro do $h$ — que não é propriedade do fluido, e sim resultado do escoamento. Achar $h$ é o problema central da convecção, e o caminho é sempre o mesmo: calcular adimensionais e usar uma correlação. O adimensional que entrega o $h$ é o de Nusselt.

Os dois tipos de convecção

Natural (ou livre). O movimento do fluido nasce da própria diferença de temperatura: o fluido aquecido fica menos denso e sobe, o frio desce. Não há nenhum dispositivo mecânico. É o ar subindo de um radiador, a água circulando numa panela antes de ferver.

Forçada. O fluido é impulsionado por um agente externo — ventilador, bomba, compressor, o vento. O escoamento não depende da diferença de temperatura.

Por que a forçada troca muito mais calor

Porque a resistência à troca está na camada limite junto à parede, onde o fluido está quase parado e o calor só passa por condução. Quanto mais rápido o escoamento, mais fina essa camada e maior o $h$ :

situação	$h$ típico $[\mathrm{W/(m^2K)}]$
gás, convecção natural	$2$ a $25$
gás, convecção forçada	$25$ a $250$
líquido, convecção forçada	$100$ a $20\,000$
ebulição / condensação	$2500$ a $100\,000$

Soprar a sopa é trocar natural por forçada — e ganhar uma ordem de grandeza.

O número de Nusselt

\boxed{\;Nu = \frac{h\,L}{k}\;}

O que ele compara: a troca de calor por convecção contra a troca por condução através da mesma camada de fluido.

$Nu = 1$ → só há condução: o fluido está parado (é o limite da condução pura);
$Nu \gg 1$ → a convecção domina, e tanto mais quanto maior o $Nu$ .

Os adimensionais que alimentam a correlação

Re = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} \qquad Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu\,c_p}{k} \qquad Gr = \frac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2}

Reynolds — inércia contra viscosidade; diz se o escoamento é laminar ou turbulento;
Prandtl — difusividade de quantidade de movimento contra a de calor; diz qual camada limite é mais espessa, a de velocidade ou a térmica;
Grashof — empuxo (sustentação térmica) contra viscosidade; é o “Reynolds da convecção natural”, já que ali não há velocidade imposta para se usar.

E o roteiro é sempre este:

\underbrace{Nu = f(Re,\,Pr)}_{\text{convecção forçada}} \qquad\qquad \underbrace{Nu = f(Gr,\,Pr)}_{\text{convecção natural}} \qquad\Longrightarrow\qquad h = \frac{Nu\,k}{L} \qquad\Longrightarrow\qquad q = h\,A\,\Delta T

Exemplo rápido — de Nusselt até o calor

Ar escoa sobre uma placa de $L = 0{,}5\ \mathrm{m}$ e área $2\ \mathrm{m^2}$ , e uma correlação dá $Nu = 250$ . Para o ar, $k = 0{,}026\ \mathrm{W/(mK)}$ . A placa está a $80\ ^\circ\mathrm{C}$ e o ar a $20\ ^\circ\mathrm{C}$ .

h = \frac{Nu\,k}{L} = \frac{250 \times 0{,}026}{0{,}5} = 13\ \mathrm{W/(m^2K)}

q = h\,A\,(T_s - T_\infty) = 13 \times 2 \times 60 = 1560\ \mathrm{W}

O $\Delta T$ pode ficar em Celsius: em convecção só a diferença entra, e ela é a mesma nas duas escalas. Diferente da radiação, onde o kelvin é obrigatório.

29 Fundamentos do transporte de massa

A ideia. O último assunto da cadeira fecha o círculo que o nome dela sempre anunciou: são três fenômenos de transporte com a mesma estrutura matemática. Quantidade de movimento (Newton), calor (Fourier) e agora massa (Fick) — em todos, um fluxo é proporcional a um gradiente, com uma propriedade do meio como constante. Quem enxerga a analogia aprende esta unidade em minutos.

A lei de Fick

\boxed{\;J_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}\;}

A massa da espécie $A$ migra da região de maior para a de menor concentração — daí o sinal negativo, exatamente como em Fourier.

A analogia que unifica a cadeira

transporte	lei	fluxo	gradiente	propriedade	unidade
quantidade de movimento	Newton	$\tau$	$dv/dy$	$\nu = \mu/\rho$	$\mathrm{m^2/s}$
calor	Fourier	$q''$	$dT/dx$	$\alpha = k/(\rho c_p)$	$\mathrm{m^2/s}$
massa	Fick	$J_A$	$dC_A/dx$	$D_{AB}$	$\mathrm{m^2/s}$

As três difusividades têm a mesma unidade — $\mathrm{m^2/s}$ — e é isso que permite formar adimensionais comparando-as:

Pr = \frac{\nu}{\alpha} \;\text{(Prandtl)} \qquad Sc = \frac{\nu}{D_{AB}} \;\text{(Schmidt)} \qquad Le = \frac{\alpha}{D_{AB}} \;\text{(Lewis)}

Se a prova pedir “explique a analogia entre os fenômenos de transporte”, esta tabela é a resposta.

Difusão e convecção mássica

Como no calor, há dois mecanismos:

difusão — migração molecular por gradiente de concentração, governada por Fick. É o análogo da condução;
convecção mássica — transporte pelo movimento do fluido:

N_A = h_m\,A\,(C_{A,s} - C_{A,\infty})

que é a lei do resfriamento de Newton com concentração no lugar de temperatura.

Exemplo rápido — difusão numa membrana

Oxigênio difunde por uma membrana de $2\ \mathrm{mm}$ de espessura e área $0{,}5\ \mathrm{m^2}$ , com $D_{AB} = 1{,}8 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$ . As concentrações nas faces são $0{,}025$ e $0{,}005\ \mathrm{kg/m^3}$ . Qual a taxa de transferência?

Perfil linear em regime permanente, como na parede plana:

J_A = D_{AB}\,\frac{\Delta C_A}{L} = 1{,}8 \times 10^{-5} \times \frac{0{,}025 - 0{,}005}{2 \times 10^{-3}} = 1{,}8 \times 10^{-4}\ \mathrm{kg/(m^2 s)}

N_A = J_A\,A = 1{,}8 \times 10^{-4} \times 0{,}5 = 9{,}0 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg/s}

Compare com a seção anterior: é exatamente a conta da parede plana, trocando $k$ por $D_{AB}$ e $\Delta T$ por $\Delta C_A$ . A analogia não é retórica — é operacional.

30 Fluxo difusivo, convectivo e absoluto

A ideia. Numa mistura que escoa, uma espécie se move por dois motivos ao mesmo tempo: porque há gradiente de concentração (difusão) e porque o fluido inteiro está indo para algum lado (convecção). A questão típica de 2º EE dá a concentração total, as frações molares nas duas pontas e a velocidade, e pede os três fluxos para as duas espécies. É contabilidade, não dificuldade — desde que a ordem dos passos seja fixa.

Os três fluxos

Difusivo — é Fick, escrito em base molar:

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}

Convectivo — a espécie é simplesmente carregada pelo escoamento:

N''_A = C_A\,v

Absoluto — a soma, porque os dois transportes acontecem ao mesmo tempo:

\boxed{\;N''_{A,abs} = J''_A + C_A\,v\;}

Concentração a partir da pressão parcial

Quando a mistura é de gases ideais, a concentração molar sai da equação de estado, e a fração molar vale também para as pressões:

C = \frac{P}{R\,T} \qquad\qquad C_A = \frac{p_A}{R\,T} = \frac{x_A\,P}{R\,T}

E a massa que atravessa uma área $A$ num tempo $t$ é o fluxo molar convertido por massa molar:

m = J''_A\,A\,t\,\mathcal{M}_A

Exemplo rápido — os três fluxos na saída de um tubo

Mistura de $A$ e $B$ num tubo de $L = 2{,}0\ \mathrm{m}$ , com $C = 200\ \mathrm{mol/m^3}$ constante, escoando a $v = 4{,}0\ \mathrm{m/s}$ , com $D_{AB} = 5{,}0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ . Na entrada, $70\ \%$ em mol é de $A$ ; na saída, $60\ \%$ em mol é de $B$ .

Passo 1 — completar as frações.

x_{A1} = 0{,}70 \Rightarrow x_{B1} = 0{,}30 \qquad x_{B2} = 0{,}60 \Rightarrow x_{A2} = 0{,}40

Passo 2 — concentrações.

C_{A1} = 140,\quad C_{A2} = 80,\quad C_{B1} = 60,\quad C_{B2} = 120 \qquad [\mathrm{mol/m^3}]

Passo 3 — gradientes (perfil linear).

\frac{dC_A}{dx} = \frac{80 - 140}{2{,}0} = -30 \qquad \frac{dC_B}{dx} = \frac{120 - 60}{2{,}0} = +30 \qquad [\mathrm{mol/m^4}]

Passo 4 — os três fluxos, na saída.

J''_A = -5{,}0\times10^{-2}\,(-30) = +1{,}5 \qquad J''_B = -5{,}0\times10^{-2}\,(+30) = -1{,}5

N''_A = C_{A2}\,v = 80 \times 4 = 320 \qquad N''_B = C_{B2}\,v = 120 \times 4 = 480

N''_{A,abs} = 1{,}5 + 320 = 321{,}5 \qquad N''_{B,abs} = -1{,}5 + 480 = 478{,}5

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ . Note as duas conferências: $J''_A = -J''_B$ ✔ e o convectivo é centenas de vezes maior que o difusivo, porque a velocidade de $4\ \mathrm{m/s}$ domina — o escoamento carrega muito mais do que a difusão espalha.

Fenômenos de Transporte

01 O que é um fluido: aderência, cisalhamento e a lei de Newton da viscosidade

Sólido para, fluido não

Aderência: a condição de contorno de toda a cadeira

Tensão de cisalhamento

A lei de Newton da viscosidade

02 Massa específica, peso específico, densidade relativa e volume específico

A ponte entre ρ\rhoρ e γ\gammaγ

Densidade relativa: o número sem unidade

Compressível ou incompressível

03 Viscosidade dinâmica e cinemática

A ponte entre as duas

Como a temperatura age — e por que líquido e gás são opostos

04 Fluidos newtonianos e não newtonianos

Newtoniano: a reta pela origem

Não newtoniano: a viscosidade aparente muda

05 Tensão superficial e capilaridade

A tensão superficial é força por comprimento, não por área

Molhamento: o ângulo de contato decide tudo

Capilaridade: a lei de Jurin

A gota, a bolha e o jato

06 Pressão, escalas de medida e carga de pressão

Pressão só existe em fluido

As duas escalas, e a soma que as liga

Carga de pressão: pressão medida em metros

07 Lei de Stevin e lei de Pascal

Lei de Stevin

Lei de Pascal

08 Manômetros e a equação manométrica

Os instrumentos, e para que serve cada um

A equação manométrica: o método de caminhar

09 Força em superfície plana submersa e centro de pressão

Quanto: a força resultante

Onde: o centro de pressão

10 Força em superfície curva submersa

A componente horizontal: projete e esqueça a curva

A componente vertical: é peso de líquido

A resultante

11 Empuxo e equilíbrio de corpos submersos

O princípio de Arquimedes

As três situações

Peso aparente

Estabilidade: onde agem as duas forças

12 Tipos e regimes de escoamento; número de Reynolds

As classificações que o enunciado usa

Trajetória e linha de corrente

Laminar e turbulento: o experimento de Reynolds

13 Vazão volumétrica, vazão mássica e velocidade média

As três vazões

Velocidade média: a definição que salva a conta

14 Equação da continuidade para regime permanente

A forma geral e a que se usa

15 Equação de Bernoulli, carga total e o tubo de Venturi

A equação

Por que “todos os termos em metros”

O tubo de Venturi

16 Equação da energia com máquina: bombas e turbinas

A equação completa

Potência: três versões da mesma fórmula

17 Perda de carga distribuída: Darcy-Weisbach e o diagrama de Moody

A fórmula universal

Como achar fff

A fórmula de Hazen-Williams

18 Perdas de carga localizadas e comprimento equivalente

Método 1 — o coeficiente KKK

Método 2 — o comprimento equivalente

A perda total, e quando desprezar as localizadas

19 Equação da quantidade de movimento para regime permanente

A equação

O que entra em F⃗R\vec{F}_RFR​

20 Análise dimensional, números adimensionais e o teorema dos π

Dimensões das grandezas usuais

O teorema dos π\piπ de Buckingham

Os adimensionais que têm nome

21 Semelhança e teoria dos modelos

Os três níveis de semelhança

A condição de projeto

22 Análise diferencial: Navier-Stokes e aplicações

A derivada material

A continuidade em forma diferencial

A ponte entre $\rho$ e $\gamma$

Como achar $f$

Método 1 — o coeficiente $K$

O que entra em $\vec{F}_R$

O teorema dos $\pi$ de Buckingham