Prova Final · Fenômenos de Transporte

Questão 01Prova FinalFinal 2023.1 · Final 2023.2Classificação · Newtonianos e não newtonianos na indústria1,0 ptVer material

Na indústria, os engenheiros frequentemente lidam com uma variedade de fluidos durante o processo de fabricação de produtos como água, molhos, xaropes, cremes, etc. Nesse contexto, explique a diferença entre fluidos newtonianos e não newtonianos e com que propriedade se relaciona essa classificação. Forneça exemplos de fluidos encontrados na indústria que se enquadram em cada categoria.

A classificação é feita pelo gráfico: se a relação entre $\tau$ e $du/dy$ é uma reta pela origem, o fluido é newtoniano.

Gabarito

A classificação se relaciona com a viscosidade — mais precisamente, com a relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e a taxa de deformação resultante:

\tau = \mu\,\frac{du}{dy}

Newtonianos — obedecem a essa equação de proporcionalidade: há relação linear entre $\tau$ e $du/dy$ , isto é, o coeficiente de viscosidade dinâmica $\mu$ é constante. Exemplos industriais: água, líquidos finos assemelhados, óleos leves e os gases de maneira geral.

Não newtonianos — não seguem essa proporcionalidade: a relação é variável, e a viscosidade aparente muda com a taxa de cisalhamento. Podem ser pseudoplásticos, dilatantes, plásticos de Bingham, entre outros. Exemplos industriais: mel, ketchup, tintas, cremes, xaropes espessos, lamas e lodos em geral.

Passo a passo

1 — A propriedade que organiza a classificação. É a viscosidade. Mas a pergunta é mais fina que isso: não é o valor da viscosidade que classifica, e sim o fato de ela ser constante ou não.

\mu = \frac{\tau}{du/dy}

constante → newtoniano;
varia com $du/dy$ → não newtoniano.

2 — Os quatro comportamentos do gráfico. A classificação se lê direto na curva $\tau$ contra $du/dy$ :

tipo	curva	viscosidade aparente	exemplos industriais
newtoniano	reta pela origem	constante	água, ar, óleos leves, mel
pseudoplástico	côncava para baixo	cai com a agitação	tinta, ketchup, sangue, xampu
dilatante	côncava para cima	cresce com a agitação	amido em água, areia molhada, pasta de cimento
plástico de Bingham	reta a partir de $\tau_0$	infinita até $\tau_0$	pasta de dente, lama de perfuração, manteiga

3 — Por que isso importa na indústria. Cada categoria muda o projeto:

newtoniano — a perda de carga e a potência de bombeamento saem das fórmulas usuais (Darcy-Weisbach, Moody), porque $\mu$ é um número;
pseudoplástico — quanto mais rápido se bombeia, mais fácil fica; é por isso que tinta espalha bem sob o rolo e não escorre da parede depois;
dilatante — quanto mais rápido, mais difícil; bombear rápido demais pode travar o sistema;
Bingham — existe uma tensão mínima $\tau_0$ para o escoamento começar. Uma bomba subdimensionada simplesmente não move o fluido, ainda que a vazão pedida seja pequena.

4 — E os que dependem do tempo. Vale a menção, porque completa o quadro: alguns fluidos mudam de viscosidade com o tempo de agitação, e não apenas com a taxa.

tixotrópico — afina com o tempo de agitação (tintas, iogurte batido);
reopético — engrossa com o tempo (raro; alguns lubrificantes especiais).

Conferência — dizer que a propriedade é a viscosidade, e que o critério é ela ser constante ou não ✔ a diferença é a linearidade entre $\tau$ e $du/dy$ ✔ dar exemplos dos dois lados, e industriais como o enunciado pede ✔ mencionar que os não newtonianos se subdividem (pseudoplástico, dilatante, Bingham) sobe a resposta de suficiente para completa ✔

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Questão 02Prova FinalFinal 2023.1Instalação hidráulica · Duas vazões que se juntam e uma turbina2,0 ptsVer material

Considere a instalação hidráulica apresentada na figura. Admitindo que a vazão proporcionada pelo tanque inferior seja de $Q_1 = 40\ \mathrm{L/s}$ , determine o tipo de máquina e a potência da mesma.

Dados: $\gamma = 10^4\ \mathrm{N/m^3}$ ; $A_t = 0{,}02\ \mathrm{m^2}$ (área da seção reta da tubulação); $p_m = 0\ \mathrm{kPa}$ (pressão manométrica); $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ; $\eta_m = 80\ \%$ ; $H_m = 5\ \mathrm{m}$ (altura da máquina). Considere ambos os tanques como sendo de grandes dimensões. Desconsidere a perda de carga.

As duas vazões se juntam em (3): a que vem do tanque (0), por Torricelli, e a que o tanque (1) fornece, $Q_1 = 40\ \mathrm{L/s}$ .

Gabarito

Entre (0) e (2), com $p_m = 0$ e perda de carga desprezada:

v_2 = \sqrt{2\,g\left(h_0 - \frac{p_m}{\gamma}\right)} = \sqrt{2 \times 10 \times 9} = 13{,}42\ \mathrm{m/s}

Q_0 = v_2\,A_t = 13{,}42 \times 0{,}02 = 0{,}268\ \mathrm{m^3/s}

Q_4 = Q_1 + Q_0 = 0{,}04 + 0{,}268 = 0{,}308\ \mathrm{m^3/s}

O escoamento desce dos dois tanques e a máquina está no caminho: ela retira energia — é uma turbina.

N_m = \frac{\gamma\,Q_4\,H_m}{\eta_m} = \frac{10^4 \times 0{,}308 \times 5}{0{,}8} \approx \mathbf{1{,}925\times10^{4}\ W} \approx 19{,}3\ \mathrm{kW}

Passo a passo

Passo 1 — reconhecer que há duas vazões, e uma delas não é dada. O enunciado dá $Q_1$ (do tanque do meio) mas não dá a vazão que vem do tanque (0). Ela tem de sair da própria instalação — e sai por Torricelli, porque a perda de carga foi desprezada.

Passo 2 — a vazão do tanque (0), por Bernoulli entre (0) e (2).

\frac{p_0}{\gamma} + \frac{v_0^2}{2g} + h_0 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2

O que cai:

$p_0 = p_{atm} = 0$ em manométrica — o tanque é aberto;
$v_0 \approx 0$ — grandes dimensões;
$h_2 = 0$ — o ponto (2) está na linha da tubulação, que é o referencial;
$p_2 = p_m = 0$ — é o dado do enunciado, e é ele que faz o problema fechar.

h_0 = \frac{v_2^2}{2g} + \frac{p_m}{\gamma} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = \sqrt{2g\left(h_0 - \frac{p_m}{\gamma}\right)}

v_2 = \sqrt{2 \times 10 \times (9 - 0)} = \sqrt{180} = 13{,}42\ \mathrm{m/s}

Q_0 = v_2\,A_t = 13{,}42 \times 0{,}02 = 0{,}2684\ \mathrm{m^3/s} = 268{,}4\ \mathrm{L/s}

Passo 3 — juntar as vazões. Em (3) as duas correntes se encontram, e da máquina para a frente passa a soma:

Q_4 = Q_1 + Q_0 = 0{,}04 + 0{,}2684 = 0{,}3084\ \mathrm{m^3/s}

Repare na proporção: o tanque de cima traz 87 % da vazão. Os $40\ \mathrm{L/s}$ do tanque (1) são a menor parcela.

Passo 4 — o tipo de máquina. Os dois tanques estão acima da linha da tubulação e a descarga em (6) é livre, na própria linha. Não há nada a vencer: o escoamento é todo de descida. A máquina, portanto, retira energia do fluido — é uma turbina.

(O próprio enunciado confirma, ao chamar $\eta_m$ de “eficiência da turbina”.)

Passo 5 — a potência. Com a carga da máquina dada, $H_m = 5\ \mathrm{m}$ , e a vazão que a atravessa:

N_m = \frac{\gamma\,Q_4\,H_m}{\eta_m} = \frac{10^4 \times 0{,}3084 \times 5}{0{,}8} = \frac{15\,420}{0{,}8} = 19\,275\ \mathrm{W}

isto é, $1{,}93\times10^4\ \mathrm{W} \approx 19{,}3\ \mathrm{kW}$ .

O rendimento, nesta questão, está do lado que o gabarito escolheu

A potência hidráulica que o fluido entrega à máquina é

\gamma\,Q_4\,H_m = 10^4 \times 0{,}3084 \times 5 = 15\,420\ \mathrm{W}

Para uma turbina, o rendimento normalmente multiplica — dela sai menos no eixo do que o fluido entregou:

N_T = \gamma\,Q\,H\,\eta = 15\,420 \times 0{,}8 = 12\,336\ \mathrm{W} \approx 1{,}23\times10^4\ \mathrm{W}

O gabarito, porém, divide por $\eta$ , chegando a $1{,}925\times10^4\ \mathrm{W}$ — que é a fórmula da bomba. Na prova, é esse o valor cobrado. Sabendo dos dois, você reconhece o número esperado e entende por que ele é o que é.

Conferência — $Q_0$ não é dado: sai de Torricelli com $h_0 = 9\ \mathrm{m}$ ✔ $p_m = 0$ é o que permite usar toda a coluna ✔ a vazão que passa na máquina é a soma das duas ✔ os $7\ \mathrm{m}$ do tanque (1) não entram, porque $Q_1$ já é dado ✔ máquina em instalação toda de descida é turbina ✔

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Questão 03Prova FinalFinal 2023.1Parede com geração · Temperatura no centro, extrema e as taxas2,0 ptsVer material

Considere a transferência de calor através de uma parede plana ( $k = 0{,}4\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ) de $40\ \mathrm{cm}$ de largura e área de seção transversal de $2{,}0\ \mathrm{m^2}$ , cujas temperaturas nas faces esquerda e direita estão mantidas a $400\ \mathrm{K}$ e $800\ \mathrm{K}$ , respectivamente. Na parede, a transferência de calor é unidimensional, sem acúmulo, mas com geração de $6000\ \mathrm{W/m^3}$ . Sabendo que o processo é exotérmico, determine:

a) (1,0 ponto) As temperaturas extrema e no centro da parede.

b) (1,0 ponto) A taxa de transferência de calor nas faces esquerda e direita da parede.

A face direita é a mais quente ( $800\ \mathrm{K}$ ), então o máximo se desloca para ela — e a face esquerda drena mais calor.

Gabarito

Com a origem no centro e $L = 0{,}20\ \mathrm{m}$ (semiespessura):

T(x) = \frac{\dot q}{2k}\left(L^2 - x^2\right) + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{T_1 + T_2}{2} = -7500\,x^2 + 1000\,x + 900

a)

T(0) = \mathbf{900\ K} \ \text{(centro)}

\frac{dT}{dx} = -15\,000\,x + 1000 = 0 \;\Rightarrow\; x_{máx} = 0{,}0667\ \mathrm{m} \;\Rightarrow\; T_{máx} \approx \mathbf{933{,}3\ K}

b)

q(x) = -k\,A\,\frac{dT}{dx} = -0{,}4 \times 2 \times (-15\,000x + 1000) = 12\,000\,x - 800

q(-L) = \mathbf{-3{,}2\times10^{3}\ W} \qquad\qquad q(+L) = \mathbf{+1{,}6\times10^{3}\ W}

Passo a passo

Passo 1 — a semiespessura, e por que ela é metade. Com a origem no centro da parede, ela vai de $-L$ a $+L$ :

2L = 40\ \mathrm{cm} \qquad\Longrightarrow\qquad L = 20\ \mathrm{cm} = 0{,}20\ \mathrm{m}

Passo 2 — o perfil, montado pelas duas condições de contorno. Regime permanente (“sem acúmulo”) com geração dá parábola, e as duas temperaturas prescritas fixam as constantes:

T(x) = \frac{\dot q}{2k}\left(L^2 - x^2\right) + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{T_1 + T_2}{2}

Substituindo $\dot q = 6000$ , $k = 0{,}4$ , $L = 0{,}2$ , $T_1 = 400$ e $T_2 = 800$ :

\frac{\dot q}{2k} = \frac{6000}{0{,}8} = 7500 \qquad \frac{T_2 - T_1}{2L} = \frac{400}{0{,}4} = 1000 \qquad \frac{T_1 + T_2}{2} = 600

T(x) = 7500\,(0{,}04 - x^2) + 1000\,x + 600 = -7500\,x^2 + 1000\,x + 900

Confira nas pontas: $T(-0{,}2) = -300 - 200 + 900 = 400\ \mathrm{K}$ ✔ e $T(+0{,}2) = -300 + 200 + 900 = 800\ \mathrm{K}$ ✔

Passo 3 — item (a): a temperatura no centro. É o termo independente, porque em $x = 0$ os outros dois morrem:

T(0) = 900\ \mathrm{K}

Passo 4 — a temperatura extrema. Derivando e igualando a zero:

\frac{dT}{dx} = -15\,000\,x + 1000 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x_{máx} = \frac{1000}{15\,000} = 0{,}0667\ \mathrm{m}

Positivo: o máximo está $6{,}7\ \mathrm{cm}$ à direita do centro — deslocado para o lado da face mais quente ( $800\ \mathrm{K}$ ), como faz sentido.

T_{máx} = -7500\,(0{,}0667)^2 + 1000\,(0{,}0667) + 900 = -33{,}3 + 66{,}7 + 900 = 933{,}3\ \mathrm{K}

Exotérmico confirma que é máximo: a parábola abre para baixo e o interior fica mais quente que as duas faces.

Passo 5 — item (b): a taxa de calor, que aqui é em watt. O enunciado dá a área, então se pede $q$ e não $q''$ :

q(x) = -k\,A\,\frac{dT}{dx} = -0{,}4 \times 2{,}0 \times (-15\,000x + 1000)

q(x) = 12\,000\,x - 800\ \ [\mathrm{W}]

Passo 6 — avaliar nas duas faces.

q(-L) = 12\,000\,(-0{,}2) - 800 = -2400 - 800 = -3200\ \mathrm{W}

q(+L) = 12\,000\,(+0{,}2) - 800 = 2400 - 800 = +1600\ \mathrm{W}

Os sinais dizem que o calor sai pelas duas faces: pela esquerda no sentido $-x$ e pela direita no sentido $+x$ . E a repartição é desigual — a face esquerda leva o dobro.

Passo 7 — a conferência que fecha tudo. Todo o calor gerado no volume tem de sair pelas faces:

|q(-L)| + |q(+L)| = 3200 + 1600 = 4800\ \mathrm{W}

\dot q\,V = \dot q\,(2L\,A) = 6000 \times (0{,}4 \times 2{,}0) = 6000 \times 0{,}8 = 4800\ \mathrm{W}\ \checkmark

Por que a face fria drena mais

O plano de fluxo nulo é o mesmo do máximo, em $x = +0{,}0667\ \mathrm{m}$ . Ele divide a parede em duas metades desiguais:

à esquerda dele há $0{,}2 + 0{,}0667 = 0{,}2667\ \mathrm{m}$ de parede, que drenam pela face esquerda: $\dot q \times 0{,}2667 \times 2 = 3200\ \mathrm{W}$ ✔
à direita, $0{,}2 - 0{,}0667 = 0{,}1333\ \mathrm{m}$ , que drenam pela direita: $\dot q \times 0{,}1333 \times 2 = 1600\ \mathrm{W}$ ✔

Cada face leva exatamente o calor gerado no pedaço que lhe cabe. Essa é a leitura física do problema, e ela dá as duas respostas do item (b) sem derivar nada.

Conferência — $L$ é a semiespessura, $0{,}20\ \mathrm{m}$ ✔ centro e extremo são pontos diferentes, e a questão pede os dois ✔ o extremo desloca-se para o lado mais quente ✔ o item (b) pede taxa em watt, então $A$ entra ✔ os módulos das taxas somam $\dot q\,V$ ✔

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Questão 04Prova FinalFinal 2023.1Fluxos de massa · Quando cada espécie tem a sua velocidade2,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. Na entrada, $90\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . Na saída, $50\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A concentração total da mistura é de $100\ \mathrm{mol/m^3}$ , constante ao longo do tubo. A espécie $A$ entra com velocidade de $2{,}0\ \mathrm{m/s}$ , enquanto a espécie $B$ com $3{,}0\ \mathrm{m/s}$ (escoando na mesma direção). O comprimento do tubo é de $4{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $4{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo e convectivo na saída do tubo.

Gabarito

Na saída: $C_{A2} = C_{B2} = 50\ \mathrm{mol/m^3}$ .

Velocidade média molar da mistura na saída:

V_2 = y_{A2}\,v_A + y_{B2}\,v_B = 0{,}5(2{,}0) + 0{,}5(3{,}0) = 2{,}5\ \mathrm{m/s}

	difusivo $J''$	convectivo $n''$
$A$	$\mathbf{+0{,}4}$	$\mathbf{125}$
$B$	$\mathbf{-0{,}4}$	$\mathbf{125}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações e achar as concentrações. A concentração total é constante, $C = 100\ \mathrm{mol/m^3}$ :

y_{A1} = 0{,}90 \Rightarrow y_{B1} = 0{,}10 \qquad\qquad y_{B2} = 0{,}50 \Rightarrow y_{A2} = 0{,}50

C_{A1} = 90 \qquad C_{B1} = 10 \qquad C_{A2} = 50 \qquad C_{B2} = 50

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Na saída a mistura está meio a meio.

Passo 2 — os gradientes e os fluxos difusivos.

\frac{dC_A}{dx} = \frac{50 - 90}{4{,}0} = -10\ \mathrm{mol/m^4} \qquad \frac{dC_B}{dx} = \frac{50 - 10}{4{,}0} = +10\ \mathrm{mol/m^4}

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -4{,}0\times10^{-2}(-10) = +0{,}4\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -4{,}0\times10^{-2}(+10) = -0{,}4\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

$J''_A = -J''_B$ ✔, como sempre que $C$ é constante.

Passo 3 — a novidade da questão: cada espécie tem a sua velocidade. O enunciado dá $v_A = 2{,}0$ e $v_B = 3{,}0\ \mathrm{m/s}$ . Não há uma “velocidade da mistura” dada — ela tem de ser construída, e é a média ponderada pelas frações molares:

\boxed{\;V = \sum_i y_i\,v_i = y_A\,v_A + y_B\,v_B\;}

Na saída, onde $y_{A2} = y_{B2} = 0{,}5$ :

V_2 = 0{,}5 \times 2{,}0 + 0{,}5 \times 3{,}0 = 1{,}0 + 1{,}5 = 2{,}5\ \mathrm{m/s}

Por que a média é ponderada, e por que na SAÍDA

Duas razões, e as duas contam ponto:

ponderada, porque a velocidade média é a que reproduz o fluxo molar total da mistura: $C\,V = C_A v_A + C_B v_B$ . Uma média aritmética simples ( $2{,}5\ \mathrm{m/s}$ , aqui por coincidência igual) daria o mesmo peso a uma espécie presente a $90\ \%$ e a outra a $10\ \%$ ;
na saída, porque as frações mudam ao longo do tubo. Na entrada, com $y_A = 0{,}9$ :

V_1 = 0{,}9(2{,}0) + 0{,}1(3{,}0) = 1{,}8 + 0{,}3 = 2{,}1\ \mathrm{m/s}

A mistura acelera de $2{,}1$ para $2{,}5\ \mathrm{m/s}$ ao atravessar o tubo, porque vai ficando mais rica na espécie rápida. Usar $V_1$ na saída erraria a conta em $16\ \%$ .

Passo 4 — os fluxos convectivos, na saída.

n''_A = C_{A2}\,V_2 = 50 \times 2{,}5 = 125\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

n''_B = C_{B2}\,V_2 = 50 \times 2{,}5 = 125\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Iguais, porque na saída as duas concentrações são iguais. E a soma confere:

n''_A + n''_B = 250 = C\,V_2 = 100 \times 2{,}5\ \checkmark

Passo 5 — os fluxos absolutos, de bônus. O enunciado não pede, mas eles fecham o quadro:

N''_{A,abs} = 0{,}4 + 125 = 125{,}4 \qquad N''_{B,abs} = -0{,}4 + 125 = 124{,}6

E há uma checagem elegante: o fluxo absoluto de cada espécie também pode ser escrito como $C_i v_i$ — usando a velocidade da própria espécie:

C_{A2}\,v_A = 50 \times 2{,}0 = 100 \qquad C_{B2}\,v_B = 50 \times 3{,}0 = 150

Os dois caminhos não dão o mesmo número, e há um motivo

$C_i v_i$ dá $100$ e $150$ ; $J''_i + C_i V$ dá $125{,}4$ e $124{,}6$ . A diferença é que a parcela difusiva rigorosa deveria ser $C_i(v_i - V)$ , e não $-D\,dC_i/dx$ :

C_{A2}(v_A - V_2) = 50(2{,}0 - 2{,}5) = -25 \qquad C_{B2}(v_B - V_2) = 50(3{,}0 - 2{,}5) = +25

Aí sim: $100 = -25 + 125$ ✔ e $150 = +25 + 125$ ✔

As duas descrições são consistentes entre si, mas descrevem situações fisicamente diferentes — e o enunciado, ao dar ao mesmo tempo um $D_{AB}$ e duas velocidades, sobredetermina o problema. O método cobrado na prova é o de cima ( $J'' = -D\,dC/dx$ e $n'' = C_i V$ ), e é o que os passos seguem.

Conferência — as frações da saída dão $50/50$ ✔ o difusivo sai de Fick, com $C$ constante e portanto $J''_A = -J''_B$ ✔ a velocidade da mistura é a média ponderada das velocidades das espécies ✔ ela é avaliada na saída, com as frações de lá ✔ a soma dos convectivos dá $C\,V$ ✔

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Questão 05Prova FinalFinal 2023.2Bomba · Dois reservatórios pressurizados e a altura manométrica2,0 ptsVer material

Considere um sistema composto por dois reservatórios fechados, (1) e (2), contendo água pressurizada, interligados por uma tubulação de $20\ \mathrm{cm}$ de diâmetro. No meio da tubulação existe uma bomba, que transporta água do reservatório (1) para o (2) numa vazão de $0{,}05\ \mathrm{m^3/s}$ . A superfície da água no reservatório (1) está $5\ \mathrm{m}$ abaixo da linha da bomba, enquanto no (2) está $10\ \mathrm{m}$ acima dessa linha. A pressão na superfície de (1) é de $2\ \mathrm{atm}$ , enquanto para (2) é de $5\ \mathrm{atm}$ . A perda de carga ao longo da tubulação é de $10\ \mathrm{m}$ . Considere a velocidade de escoamento no reservatório (1) nula (grandes dimensões).

a) (1,0 pt.) A altura da bomba.

b) (1,0 pt.) A potência real da bomba, considerando uma eficiência de $85\ \%$ .

Dados: $\gamma_{H_2O} = 10^4\ \mathrm{N/m^3}$ ; $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Os dois reservatórios são fechados e pressurizados: nenhuma das duas parcelas de pressão se cancela, e as duas entram na conta.

Gabarito

v_2 = \frac{4Q}{\pi D^2} = \frac{4 \times 0{,}05}{\pi \times 0{,}2^2} = 1{,}59\ \mathrm{m/s} \qquad \frac{v_2^2}{2g} = 0{,}127\ \mathrm{m}

a)

H_B = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p - \left(\frac{p_1}{\gamma} + y_1\right)

H_B = 50 + 0{,}127 + 10 + 10 - (20 - 5) \approx \mathbf{55{,}13\ m}

b)

N_{ideal} = \gamma\,Q\,H_B = 10^4 \times 0{,}05 \times 55{,}13 = 2{,}76\times10^{4}\ \mathrm{W}

N_{real} = \frac{N_{ideal}}{\eta} = \frac{2{,}76\times10^{4}}{0{,}85} \approx \mathbf{3{,}24\times10^{4}\ W} \approx 32{,}4\ \mathrm{kW}

Passo a passo

Passo 1 — a velocidade na tubulação.

A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}20)^2}{4} = 3{,}142\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}

v_2 = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}05}{3{,}142\times10^{-2}} = 1{,}59\ \mathrm{m/s} \qquad \frac{v_2^2}{2g} = \frac{2{,}53}{20} = 0{,}127\ \mathrm{m}

Pequena, mas o gabarito a mantém — e mantê-la não custa nada.

Passo 2 — a equação da energia, sem cancelar as pressões. Aqui está a diferença desta questão: os dois reservatórios são fechados e pressurizados.

\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + y_1 + H_B = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p

Só uma coisa cai: $v_1 = 0$ (grandes dimensões, e o enunciado manda considerar). As duas parcelas de pressão ficam.

H_B = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p - \left(\frac{p_1}{\gamma} + y_1\right)

Passo 3 — as cotas, com o sinal certo. O referencial é a linha da bomba:

y_1 = -5\ \mathrm{m} \ \text{(a superfície de (1) está \textbf{abaixo})} \qquad y_2 = +10\ \mathrm{m}

E as cargas de pressão, com $1\ \mathrm{atm} = 10^5\ \mathrm{Pa}$ :

\frac{p_1}{\gamma} = \frac{2\times10^5}{10^4} = 20\ \mathrm{m} \qquad \frac{p_2}{\gamma} = \frac{5\times10^5}{10^4} = 50\ \mathrm{m}

Passo 4 — juntar.

H_B = 50 + 0{,}127 + 10 + 10 - \big(20 + (-5)\big) = 70{,}127 - 15 = 55{,}13\ \mathrm{m}

Passo 5 — de onde vêm os 55 m. Vale decompor, porque mostra o que a bomba está pagando:

parcela	valor $[\mathrm{m}]$
diferença de pressurização, $(p_2 - p_1)/\gamma$	$+30{,}0$
diferença de altura, $y_2 - y_1 = 10 - (-5)$	$+15{,}0$
perda de carga, $h_p$	$+10{,}0$
carga cinética de chegada, $v_2^2/2g$	$+0{,}13$
total	$\mathbf{55{,}13}$

Positivo em todas as parcelas: tudo neste sistema pede energia. Nada estranho que a máquina seja bomba, como o enunciado já adianta.

Passo 6 — item (b): a potência. Ideal primeiro:

N_{ideal} = \gamma\,Q\,H_B = 10^4 \times 0{,}05 \times 55{,}13 = 27\,565\ \mathrm{W} \approx 2{,}76\times10^4\ \mathrm{W}

E a real, com o rendimento dividindo (é bomba):

N_{real} = \frac{27\,565}{0{,}85} = 32\,429\ \mathrm{W} \approx 3{,}24\times10^4\ \mathrm{W} = 32{,}4\ \mathrm{kW}

Conferência — os dois reservatórios são fechados, então nenhuma pressão se cancela ✔ $y_1$ é negativo, porque (1) está abaixo do referencial ✔ $\mathrm{atm}$ para pascal, e depois para metro de coluna dividindo por $\gamma$ ✔ bomba: rendimento divide ✔ $N_{real} > N_{ideal}$ ✔

Sobre o gabarito — a resolução oficial imprime $10\times10^5$ e $5\times10^5$ nas cargas de pressão (o que corresponderia a $10$ e $5\ \mathrm{atm}$ ), mas o resultado final que ela apresenta, $55{,}13\ \mathrm{m}$ , é o que se obtém com os $5$ e $2\ \mathrm{atm}$ do enunciado, como acima. São dígitos trocados na digitação.

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Questão 06Prova FinalFinal 2023.2Tubo isolado · Achar a temperatura do fluido interno2,5 ptsVer material

Um tubo de um material $A$ ( $k_A = 0{,}1\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ) de raios interno e externo de $8\ \mathrm{cm}$ e $10\ \mathrm{cm}$ , respectivamente, e $3\ \mathrm{m}$ de comprimento, possui uma camada externa de isolante térmico ( $k_{iso} = 0{,}02\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ) de raio externo de $12\ \mathrm{cm}$ . No exterior da tubulação escoa um fluido ( $h_e = 20\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ ) a $400\ \mathrm{K}$ . Sabendo que a taxa de calor transferido através do sistema é de $50\ \mathrm{W}$ , e que outro fluido ( $h_i = 30\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ ) escoa na parte interna da tubulação, determine:

a) (1,5 pts.) A temperatura do fluido interno.

b) (1,0 pt.) As temperaturas nas interfaces entre os fluidos e os materiais, e entre o material $A$ e o isolante.

O fluxo é dado e a temperatura é a incógnita: a conta é a de sempre, só que resolvida ao contrário.

Gabarito

R_{conv,i} = 0{,}02211 \quad R_A = 0{,}11838 \quad R_{iso} = 0{,}48362 \quad R_{conv,e} = 0{,}02211 \qquad R_T = 0{,}64621\ \mathrm{K/W}

a)

T_{\infty,1} = T_{\infty,2} + q\,R_T = 400 + 50 \times 0{,}64621 \approx \mathbf{432{,}31\ K}

b)

T_1 = T_{\infty,1} - q\,R_{conv,i} \approx \mathbf{431{,}21\ K}

T_2 = T_1 - q\,R_A \approx \mathbf{425{,}29\ K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} \approx \mathbf{401{,}11\ K}

Passo a passo

Passo 1 — o problema é o de sempre, ao contrário. Nas questões anteriores, as temperaturas eram dadas e $q$ era a incógnita. Aqui $q = 50\ \mathrm{W}$ é dado e a temperatura do fluido interno é o que se busca. A ferramenta é a mesma: somar as resistências.

Passo 2 — as quatro resistências. Raios em metros: $r_1 = 0{,}08$ , $r_2 = 0{,}10$ , $r_3 = 0{,}12$ ; $L = 3\ \mathrm{m}$ .

R_{conv,i} = \frac{1}{h_i\,2\pi r_1 L} = \frac{1}{30 \times 2\pi (0{,}08)(3)} = \frac{1}{45{,}24} = 0{,}02211\ \mathrm{K/W}

R_A = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_A L} = \frac{\ln(0{,}10/0{,}08)}{2\pi (0{,}1)(3)} = \frac{0{,}22314}{1{,}885} = 0{,}11838\ \mathrm{K/W}

R_{iso} = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_{iso} L} = \frac{\ln(0{,}12/0{,}10)}{2\pi (0{,}02)(3)} = \frac{0{,}18232}{0{,}377} = 0{,}48362\ \mathrm{K/W}

R_{conv,e} = \frac{1}{h_e\,2\pi r_3 L} = \frac{1}{20 \times 2\pi (0{,}12)(3)} = \frac{1}{45{,}24} = 0{,}02211\ \mathrm{K/W}

R_T = 0{,}64621\ \mathrm{K/W}

Passo 3 — item (a): a temperatura do fluido interno. Com $q$ conhecido, basta somar a queda total à temperatura do fluido externo:

q = \frac{T_{\infty,1} - T_{\infty,2}}{R_T} \qquad\Longrightarrow\qquad T_{\infty,1} = T_{\infty,2} + q\,R_T

T_{\infty,1} = 400 + 50 \times 0{,}64621 = 400 + 32{,}31 = 432{,}31\ \mathrm{K}

Passo 4 — item (b): as três interfaces. Uma resistência por vez, no sentido do fluxo (de dentro para fora, a temperatura cai):

T_1 = T_{\infty,1} - q\,R_{conv,i} = 432{,}31 - 50(0{,}02211) = 432{,}31 - 1{,}11 = 431{,}21\ \mathrm{K}

T_2 = T_1 - q\,R_A = 431{,}21 - 50(0{,}11838) = 431{,}21 - 5{,}92 = 425{,}29\ \mathrm{K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 425{,}29 - 50(0{,}48362) = 425{,}29 - 24{,}18 = 401{,}11\ \mathrm{K}

Passo 5 — a conferência pelo lado externo.

T_3 - T_{\infty,2} = q\,R_{conv,e} = 50 \times 0{,}02211 = 1{,}11\ \mathrm{K} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = 400 + 1{,}11 = 401{,}11\ \mathrm{K}\ \checkmark

Passo 6 — onde a temperatura cai.

resistência	valor $[\mathrm{K/W}]$	fração	$\Delta T$ $[\mathrm{K}]$
convecção interna	$0{,}02211$	$3{,}4\ \%$	$1{,}11$
material $A$	$0{,}11838$	$18{,}3\ \%$	$5{,}92$
isolante	$0{,}48362$	$\mathbf{74{,}8\ \%}$	$24{,}18$
convecção externa	$0{,}02211$	$3{,}4\ \%$	$1{,}11$
total	$0{,}64621$	$100\ \%$	$\mathbf{32{,}31}$

As quatro quedas somam $32{,}31\ \mathrm{K}$ ✔ E o isolante, com $k$ cinco vezes menor que o do material $A$ , segura três quartos da queda em apenas $2\ \mathrm{cm}$ de espessura.

Conferência — raios em metros; os três já vêm dados como raios ✔ cada convecção com o raio da sua face ( $r_1$ dentro, $r_3$ fora) ✔ com $q$ dado, a temperatura sai somando $q\,R$ ✔ as quatro quedas somam $32{,}31\ \mathrm{K}$ ✔ $T_3$ conferido pelos dois caminhos ✔

Sobre o gabarito — a resolução oficial escreve $\ln(0{,}13/0{,}1)$ e $2\pi(0{,}13)$ em duas linhas, mas o resultado que ela apresenta, $432{,}31\ \mathrm{K}$ , é o que se obtém com $r_3 = 0{,}12\ \mathrm{m}$ — o valor do enunciado, usado acima. E os números soltos " $568{,}26$ " e " $485{,}36$ " que aparecem no item (b) dela são restos de outra versão; as temperaturas finais coincidem com as dos passos.

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Questão 07Prova FinalFinal 2023.2Fluxos de massa · Perfil hiperbólico e a concentração total variável2,5 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. Na entrada, a concentração total da mistura é de $50\ \mathrm{mol/m^3}$ e $60\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . Na saída, a concentração total é de $20\ \mathrm{mol/m^3}$ e $85\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . A velocidade de escoamento da mistura é constante, de $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ . O comprimento do tubo é de $2{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $4{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo e convectivo na entrada do tubo. Considere o perfil de concentração representado pela expressão

C(x) = \frac{C_1}{x + 0{,}5} + C_2

na qual $C_1$ e $C_2$ são constantes.

Gabarito

Entrada: $C_{A1} = 30$ , $C_{B1} = 20$ . Saída: $C_{A2} = 17$ , $C_{B2} = 3\ \mathrm{mol/m^3}$ .

C_{1A} = \frac{C_{A2} - C_{A1}}{\dfrac{1}{L + 0{,}5} - \dfrac{1}{0{,}5}} = \frac{17 - 30}{-1{,}6} = 8{,}13 \qquad C_{2A} = C_{A1} - \frac{C_{1A}}{0{,}5} = 13{,}75

C_{1B} = \frac{3 - 20}{-1{,}6} = 10{,}63 \qquad C_{2B} = 20 - \frac{10{,}63}{0{,}5} = -1{,}25

	difusivo $J''$	convectivo $N''$
$A$	$\mathbf{+1{,}3}$	$\mathbf{150}$
$B$	$\mathbf{+1{,}7}$	$\mathbf{100}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — as concentrações nas duas pontas. Atenção dupla: cada seção tem a sua concentração total, e aqui a fração dada é da espécie $A$ nas duas.

C_{A1} = x_{A1}\,C_{T1} = 0{,}60 \times 50 = 30 \qquad C_{B1} = (1 - 0{,}60) \times 50 = 20

C_{A2} = x_{A2}\,C_{T2} = 0{,}85 \times 20 = 17 \qquad C_{B2} = (1 - 0{,}85) \times 20 = 3

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par fecha com a sua total: $30 + 20 = 50$ ✔ e $17 + 3 = 20$ ✔

Passo 2 — achar as constantes do perfil hiperbólico. O perfil não é reto nem exponencial: é da forma $C(x) = C_1/(x + 0{,}5) + C_2$ . Duas condições de contorno para duas constantes.

Em $x = 0$ :

C_{A1} = \frac{C_{1A}}{0{,}5} + C_{2A}

Em $x = L = 2{,}0\ \mathrm{m}$ :

C_{A2} = \frac{C_{1A}}{L + 0{,}5} + C_{2A} = \frac{C_{1A}}{2{,}5} + C_{2A}

Subtraindo a primeira da segunda, $C_2$ desaparece:

C_{A2} - C_{A1} = C_{1A}\left(\frac{1}{L + 0{,}5} - \frac{1}{0{,}5}\right) \qquad\Longrightarrow\qquad C_{1A} = \frac{C_{A2} - C_{A1}}{\dfrac{1}{2{,}5} - \dfrac{1}{0{,}5}}

C_{1A} = \frac{17 - 30}{0{,}4 - 2{,}0} = \frac{-13}{-1{,}6} = 8{,}125

e de volta na primeira:

C_{2A} = C_{A1} - \frac{C_{1A}}{0{,}5} = 30 - \frac{8{,}125}{0{,}5} = 30 - 16{,}25 = 13{,}75

C_A(x) = \frac{8{,}125}{x + 0{,}5} + 13{,}75

Passo 3 — o mesmo para $B$ .

C_{1B} = \frac{3 - 20}{-1{,}6} = \frac{-17}{-1{,}6} = 10{,}625 \qquad C_{2B} = 20 - \frac{10{,}625}{0{,}5} = 20 - 21{,}25 = -1{,}25

C_B(x) = \frac{10{,}625}{x + 0{,}5} - 1{,}25

Passo 4 — derivar o perfil. A derivada de $C_1/(x + 0{,}5)$ é $-C_1/(x + 0{,}5)^2$ :

\frac{dC}{dx} = -\frac{C_1}{(x + 0{,}5)^2}

Em $x = 0$ , o denominador vale $0{,}25$ :

\frac{dC_A}{dx}\bigg|_{0} = -\frac{8{,}125}{0{,}25} = -32{,}5\ \mathrm{mol/m^4} \qquad \frac{dC_B}{dx}\bigg|_{0} = -\frac{10{,}625}{0{,}25} = -42{,}5\ \mathrm{mol/m^4}

Os dois gradientes são negativos — as duas espécies perdem concentração ao longo do tubo, porque a mistura toda se dilui.

Passo 5 — os fluxos difusivos, na entrada.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -4{,}0\times10^{-2} \times (-32{,}5) = +1{,}3\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -4{,}0\times10^{-2} \times (-42{,}5) = +1{,}7\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 6 — os fluxos convectivos, na entrada.

N''_A = C_{A1}\,V = 30 \times 5{,}0 = 150\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_{B1}\,V = 20 \times 5{,}0 = 100\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Confira: $N''_A + N''_B = 250 = C_{T1}\,V = 50 \times 5$ ✔

Passo 7 — a leitura. O convectivo é cerca de 100 vezes o difusivo. E, como o perfil é hiperbólico, o difusivo varia com a posição: na saída ( $x = 2$ , denominador $6{,}25$ ) ele cairia para

J''_A(L) = 4{,}0\times10^{-2} \times \frac{8{,}125}{6{,}25} = 0{,}052\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

vinte e cinco vezes menor que na entrada. É por isso que o enunciado especifica onde avaliar — e por isso que este é o formato mais difícil desta família de questões.

Conferência — cada seção com a sua concentração total ✔ a fração dada é de $A$ nas duas faces ✔ $C_1$ sai da subtração das duas condições; $C_2$ vem depois ✔ a derivada de $C_1/(x+0{,}5)$ leva o quadrado no denominador ✔ avaliar em $x = 0$ , porque se pede a entrada ✔ com $C_T$ variável, $J''_A \ne -J''_B$ ✔

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