2º EE · Fenômenos de Transporte

Questão 012º EE2018.1 · 2ª chamadaResistência térmica · Parede plana em série e em paralelo1,0 ptVer material

O que é a resistência à condução em uma parede plana? Como ela se comporta para um sistema de parede plana em série? E para um sistema de parede plana em paralelo?

Gabarito

Resistência à condução é a razão entre a diferença de temperatura que impulsiona o calor e a taxa de calor que passa — a oposição que o material faz à passagem do calor:

R_{cond} = \frac{\Delta T}{q} = \frac{L}{k\,A}

Em série (camadas uma atrás da outra, atravessadas pelo mesmo $q$ ): as resistências somam.

R_{eq} = R_1 + R_2 + \ldots + R_n

Em paralelo (caminhos alternativos entre as mesmas duas temperaturas): somam-se os inversos.

\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots + \frac{1}{R_n}

É a mesma álgebra dos resistores elétricos, com $\Delta T$ no papel da tensão e $q$ no da corrente.

Passo a passo

1 — De onde a resistência vem. Parte-se da lei de Fourier em regime permanente, perfil linear, área constante:

q = k\,A\,\frac{T_1 - T_2}{L} \qquad\Longrightarrow\qquad T_1 - T_2 = q\,\underbrace{\frac{L}{k\,A}}_{R_{cond}}

Comparando com a lei de Ohm:

\underbrace{\Delta V = i\,R}_{\text{elétrico}} \qquad\longleftrightarrow\qquad \underbrace{\Delta T = q\,R_{cond}}_{\text{térmico}}

O que é cada símbolo

térmico	elétrico	papel
$\Delta T$ $[\mathrm{K}]$	$\Delta V$	o que impulsiona
$q$ $[\mathrm{W}]$	$i$	o que flui
$R = L/(kA)$ $[\mathrm{K/W}]$	$R$	o que resiste

2 — Em série: as camadas somam. Camadas empilhadas, uma atrás da outra. Em regime permanente o mesmo $q$ atravessa todas — nada se acumula em nenhuma delas. Então cada camada consome uma parcela do $\Delta T$ total:

\Delta T_{total} = q\,R_1 + q\,R_2 + \ldots = q\,(R_1 + R_2 + \ldots)

q = \frac{\Delta T_{total}}{\sum R_i} \qquad\text{com}\qquad \sum R_i = \frac{L_1}{k_1 A} + \frac{L_2}{k_2 A} + \ldots

Duas consequências que valem ponto:

a maior queda de temperatura ocorre na maior resistência. É por isso que, num sistema com isolante, quase todo o $\Delta T$ cai no isolante — e por isso desprezar a resistência do metal é aproximação legítima;
achado $q$ , a temperatura em qualquer interface sai de uma camada só: $T_2 = T_1 - q R_1$ .

3 — Em paralelo: os caminhos dividem o calor. Materiais lado a lado, entre as mesmas duas temperaturas, cada um levando parte do calor:

q_{total} = q_1 + q_2 + \ldots = \Delta T\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots\right)

\frac{1}{R_{eq}} = \sum \frac{1}{R_i} \qquad\Longrightarrow\qquad R_{eq} = \frac{1}{\sum 1/R_i}

Aqui o que é comum é o $\Delta T$ ; o que se reparte é o $q$ .

Conferência — a definição precisa ser a razão $\Delta T/q$ , não só a fórmula ✔ em série soma direto, em paralelo soma o inverso ✔ dizer que em série o $q$ é comum e em paralelo o $\Delta T$ é comum fecha a resposta ✔

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Questão 022º EE2018.1 · 2ª chamadaTransporte de massa · Fluxo difusivo e densidade de fluxo difusivo1,0 ptVer material

Explique o que é fluxo difusivo e densidade de fluxo difusivo. Em que condições pode haver o fluxo difusivo de massa?

Gabarito

Densidade de fluxo difusivo ( $J''_A$ ) é a quantidade da espécie $A$ que atravessa uma unidade de área por unidade de tempo, por difusão molecular — em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ ou $\mathrm{kg/(m^2 \cdot s)}$ . É o que a lei de Fick dá:

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}

Fluxo difusivo ( $J_A$ ) é a quantidade total por unidade de tempo, isto é, a densidade multiplicada pela área atravessada — em $\mathrm{mol/s}$ ou $\mathrm{kg/s}$ :

J_A = J''_A\,A

Condição para existir: é preciso haver gradiente de concentração da espécie, $dC_A/dx \ne 0$ . Sem diferença de concentração entre dois pontos do meio, não há difusão — o meio está em equilíbrio.

Passo a passo

1 — A distinção é a mesma que em calor. A disciplina usa o mesmo par de grandezas nos três transportes, e a diferença é sempre a área:

grandeza	calor	massa	o que é
densidade de fluxo	$q''$ $[\mathrm{W/m^2}]$	$J''_A$ $[\mathrm{mol/(m^2 s)}]$	por unidade de área
fluxo (taxa)	$q$ $[\mathrm{W}]$	$J_A$ $[\mathrm{mol/s}]$	total, já multiplicado pela área

q = q''\,A \qquad\qquad J_A = J''_A\,A

2 — A lei de Fick, e o que cada termo faz.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}

$D_{AB}$ — coeficiente de difusão binária de $A$ em $B$ , em $\mathrm{m^2/s}$ . É propriedade do par de espécies e do meio, e cresce com a temperatura;
$dC_A/dx$ — o gradiente de concentração. É o motor do processo;
o sinal negativo — a massa vai do mais concentrado para o menos concentrado, isto é, no sentido contrário ao gradiente. Idêntico ao sinal de Fourier.

3 — A condição de existência, que é o que a questão realmente cobra. A resposta é direta: só há fluxo difusivo se houver gradiente de concentração.

\frac{dC_A}{dx} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad J''_A = 0

Vale detalhar as condições em que isso se dá:

é preciso ser uma mistura (ao menos duas espécies) — numa substância pura não há concentração de " $A$ " a variar;
é preciso não estar em equilíbrio: enquanto a concentração for diferente de um ponto a outro, há difusão, e ela só cessa quando a mistura fica homogênea;
o processo não exige movimento do fluido. A difusão é molecular e ocorre em meio parado — é justamente o que a distingue da convecção mássica.

Conferência — a diferença entre fluxo e densidade de fluxo é a área, com as unidades corretas ✔ Fick com o sinal negativo e a explicação dele ✔ a condição é gradiente de concentração, e a difusão não exige escoamento ✔

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Questão 032º EE2018.1 · 2ª chamadaTransporte de massa · Fluxo convectivo e a velocidade média da mistura0,5 ptsVer material

O que acontece com o fluxo convectivo de dois componentes em uma mistura, em relação à velocidade média da mistura?

Gabarito

Os dois fluxos convectivos são arrastados pela mesma velocidade média $v$ da mistura, logo apontam para o mesmo lado e são proporcionais apenas à concentração de cada espécie:

N''_A = C_A\,v \qquad\qquad N''_B = C_B\,v

Somados, dão o fluxo convectivo da mistura inteira:

N''_A + N''_B = (C_A + C_B)\,v = C\,v

Ou seja: o transporte convectivo não separa as espécies — ele carrega as duas juntas, na proporção em que estão presentes. Quem separa é a difusão, que atua em sentidos opostos para $A$ e $B$ .

Passo a passo

1 — O que é o fluxo convectivo. É o transporte que existe só porque a mistura escoa. Cada espécie é levada com a velocidade média da mistura:

N''_i = C_i\,v

Não há gradiente envolvido, nem coeficiente de difusão: é a concentração multiplicada pela velocidade.

2 — A consequência que a questão quer. Como a velocidade é comum, os dois fluxos convectivos:

têm o mesmo sentido — o do escoamento;
estão na razão das concentrações:

\frac{N''_A}{N''_B} = \frac{C_A}{C_B} = \frac{x_A}{x_B}

e somam exatamente o transporte da mistura como um todo, $C\,v$ .

Em outras palavras, a convecção transporta a mistura sem alterar a sua composição. Se numa seção a mistura é 70 % de $A$ , a convecção leva adiante 70 % de $A$ .

3 — O contraste com a difusão, que é o outro lado da resposta. Com concentração total constante,

J''_A = -J''_B

A difusão manda $A$ para um lado e $B$ para o outro — ela separa. Já a convecção manda os dois para o mesmo lado — ela não separa.

4 — E o fluxo absoluto reúne os dois.

N''_{A,abs} = \underbrace{J''_A}_{\text{difusivo}} + \underbrace{C_A\,v}_{\text{convectivo}}

Conferência — os dois fluxos convectivos usam a mesma velocidade e vão no mesmo sentido ✔ a soma dá $Cv$ ✔ o contraste com $J''_A = -J''_B$ é o que mostra que se entendeu a diferença entre os dois mecanismos ✔

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Questão 042º EE2018.1 · 2ª chamadaParede composta · Todas as temperaturas a partir do fluxo dado2,0 ptsVer material

Considere a parede composta apresentada na figura, com um fluido escoando apenas na lateral direita da parede. Determine todas as temperaturas nas faces, inclusive as internas, da parede.

Dados: $T_\infty = 20\ ^\circ\mathrm{C}$ ; $h_\infty = 10\ \mathrm{W/(m^2 \cdot {}^\circ C)}$ ; $k_1 = 15\ \mathrm{W/(m \cdot {}^\circ C)}$ ; $k_2 = 60\ \mathrm{W/(m \cdot {}^\circ C)}$ ; $q'' = 0{,}86\ \mathrm{kW/m^2}$ .

Não há convecção do lado esquerdo: o fluxo $q''$ é dado e entra direto na face. É por isso que a conta começa pela direita.

Gabarito

T_D = T_\infty + \frac{q''}{h_\infty} = 20 + \frac{860}{10} = \mathbf{106\ ^\circ C}

T_C = T_D + q''\,\frac{L_1}{k_1} = 106 + 860\,\frac{0{,}02}{15} = \mathbf{107{,}15\ ^\circ C}

T_B = T_C + q''\,\frac{L_2}{k_2} = 107{,}15 + 860\,\frac{0{,}01}{60} = \mathbf{107{,}29\ ^\circ C}

T_A = T_B + q''\,\frac{L_1}{k_1} = 107{,}29 + 1{,}15 = \mathbf{108{,}44\ ^\circ C}

Passo a passo

Passo 1 — por que começar pela direita. Só existe um ponto de temperatura conhecida: o fluido, a $20\ ^\circ\mathrm{C}$ . Como a densidade de fluxo é dada, a conta caminha da direita para a esquerda, uma resistência por vez.

E há uma simplificação decisiva: em regime permanente, sem geração, a mesma densidade de fluxo atravessa as três camadas e a convecção. Não é preciso montar a resistência total.

q'' = 0{,}86\ \mathrm{kW/m^2} = 860\ \mathrm{W/m^2}

Passo 2 — a face direita, pela convecção. O calor que chega à face $D$ por condução sai dela por convecção para o fluido:

q'' = h_\infty\,(T_D - T_\infty) \qquad\Longrightarrow\qquad T_D = T_\infty + \frac{q''}{h_\infty}

T_D = 20 + \frac{860}{10} = 20 + 86 = 106\ ^\circ\mathrm{C}

Repare no tamanho do salto: $86\ ^\circ\mathrm{C}$ só na convecção. Com $h_\infty = 10$ , a resistência convectiva é $R''_{conv} = 1/10 = 0{,}1\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}$ — muito maior que qualquer uma das camadas.

Passo 3 — atravessar a camada 1 da direita.

R''_{1} = \frac{L_1}{k_1} = \frac{0{,}02}{15} = 1{,}333\times10^{-3}\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}

T_C = T_D + q''\,R''_{1} = 106 + 860 \times 1{,}333\times10^{-3} = 106 + 1{,}147 = 107{,}15\ ^\circ\mathrm{C}

O sinal é soma porque estamos caminhando contra o fluxo de calor: indo para dentro, a temperatura sobe.

Passo 4 — atravessar a camada 2 (a central).

R''_{2} = \frac{L_2}{k_2} = \frac{0{,}01}{60} = 1{,}667\times10^{-4}\ \mathrm{m^2\,^\circ C/W}

T_B = T_C + 860 \times 1{,}667\times10^{-4} = 107{,}15 + 0{,}143 = 107{,}29\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 5 — atravessar a camada 1 da esquerda. É idêntica à do Passo 3:

T_A = T_B + 1{,}147 = 107{,}29 + 1{,}15 = 108{,}44\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 6 — a leitura do resultado. Repartindo o $\Delta T$ total de $88{,}44\ ^\circ\mathrm{C}$ :

trecho	$R''$ $[\mathrm{m^2\,^\circ C/W}]$	$\Delta T$	fração
camada 1 (esquerda)	$1{,}33\times10^{-3}$	$1{,}15$	$1{,}3\ \%$
camada 2 (central)	$1{,}67\times10^{-4}$	$0{,}14$	$0{,}2\ \%$
camada 1 (direita)	$1{,}33\times10^{-3}$	$1{,}15$	$1{,}3\ \%$
convecção	$1{,}00\times10^{-1}$	$86{,}00$	$\mathbf{97{,}2\ \%}$

Conferência — as espessuras têm de ir de cm para m ✔ $0{,}86\ \mathrm{kW/m^2}$ são $860\ \mathrm{W/m^2}$ ✔ a mesma $q''$ vale em todos os trechos, então nem é preciso somar resistências ✔ as temperaturas crescem da direita para a esquerda, porque o calor vai da esquerda para a direita ✔ as duas camadas de material 1 têm o mesmo $\Delta T$ , o que serve de checagem ✔

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Questão 052º EE2018.1 · 2ª chamadaTubo cilíndrico · Aço com amianto, convecção nas duas faces2,5 ptsVer material

Um tubo liso de aço carbono ( $k_{aço} = 60{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ) com diâmetro interno de $5{,}25\ \mathrm{cm}$ , espessura de $0{,}78\ \mathrm{cm}$ e $1{,}0\ \mathrm{m}$ de comprimento é recoberto com uma camada de papel corrugado de amianto ( $k_{amianto} = 0{,}078\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ) com $2{,}0\ \mathrm{cm}$ de espessura. A temperatura do vapor de água ( $h_{vapor} = 1500\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ ) no lado interno do tubo é de $150\ ^\circ\mathrm{C}$ e o ar ( $h_{ar} = 5\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ ) no lado externo é de $25\ ^\circ\mathrm{C}$ . Determine:

a) (1,5 pts.) O fluxo de calor através da parede.

b) (1,0 pt.) A temperatura no lado externo do amianto.

Quatro resistências em série: convecção do vapor, condução no aço, condução no amianto e convecção no ar.

Gabarito

a)

R_T = R_{conv,i} + R_{aço} + R_{amianto} + R_{conv,e} = 0{,}00404 + 0{,}000684 + 0{,}9438 + 0{,}5891

R_T = 1{,}5376\ ^\circ\mathrm{C/W} \qquad q = \frac{150 - 25}{1{,}5376} \approx \mathbf{81{,}3\ W}

b)

T_4 = T_\infty + q\,R_{conv,e} = 25 + 81{,}3 \times 0{,}5891 \approx \mathbf{72{,}9\ ^\circ C}

Passo a passo

Passo 1 — os três raios, que é onde a questão derruba. O enunciado dá diâmetro interno e espessuras:

r_1 = \frac{5{,}25}{2} = 2{,}625\ \mathrm{cm} = 0{,}02625\ \mathrm{m}

r_2 = r_1 + 0{,}78\ \mathrm{cm} = 3{,}405\ \mathrm{cm} = 0{,}03405\ \mathrm{m}

r_3 = r_2 + 2{,}0\ \mathrm{cm} = 5{,}405\ \mathrm{cm} = 0{,}05405\ \mathrm{m}

Usar $5{,}25\ \mathrm{cm}$ como raio dobra tudo e a resposta vai embora.

Passo 2 — a convecção interna. Área da face interna: $A_1 = 2\pi r_1 L$ .

R_{conv,i} = \frac{1}{h_{vapor}\,2\pi r_1 L} = \frac{1}{1500 \cdot 2\pi (0{,}02625)(1{,}0)} = \frac{1}{247{,}4} = 4{,}04\times10^{-3}\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 3 — a condução no aço.

R_{aço} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_{aço} L} = \frac{\ln(3{,}405/2{,}625)}{2\pi (60{,}5)(1{,}0)} = \frac{0{,}2601}{380{,}1} = 6{,}84\times10^{-4}\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 4 — a condução no amianto.

R_{amianto} = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_{am} L} = \frac{\ln(5{,}405/3{,}405)}{2\pi (0{,}078)(1{,}0)} = \frac{0{,}4630}{0{,}4901} = 0{,}9448\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 5 — a convecção externa. Aqui a área é a do raio externo, $A_3 = 2\pi r_3 L$ :

R_{conv,e} = \frac{1}{h_{ar}\,2\pi r_3 L} = \frac{1}{5 \cdot 2\pi (0{,}05405)(1{,}0)} = \frac{1}{1{,}698} = 0{,}5891\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 6 — o total e o fluxo.

R_T = 0{,}00404 + 0{,}000684 + 0{,}9448 + 0{,}5891 = 1{,}5386\ ^\circ\mathrm{C/W}

q = \frac{T_{vapor} - T_{ar}}{R_T} = \frac{150 - 25}{1{,}5386} = 81{,}2\ \mathrm{W}

Passo 7 — a temperatura externa do amianto (item b). É o ponto de onde o calor sai por convecção para o ar. Caminhando do ar para dentro, só se atravessa $R_{conv,e}$ :

q = \frac{T_4 - T_{ar}}{R_{conv,e}} \qquad\Longrightarrow\qquad T_4 = 25 + 81{,}2 \times 0{,}5891 = 25 + 47{,}8 = 72{,}8\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 8 — a conferência pelas frações.

resistência	valor $[^\circ\mathrm{C/W}]$	fração	$\Delta T$
convecção do vapor	$0{,}00404$	$0{,}3\ \%$	$0{,}3\ ^\circ\mathrm{C}$
condução no aço	$0{,}000684$	$0{,}04\ \%$	$0{,}06\ ^\circ\mathrm{C}$
condução no amianto	$0{,}9448$	$\mathbf{61{,}4\ \%}$	$76{,}7\ ^\circ\mathrm{C}$
convecção do ar	$0{,}5891$	$\mathbf{38{,}3\ \%}$	$47{,}8\ ^\circ\mathrm{C}$

Conferência — diâmetro interno vira raio dividindo por 2, e as espessuras somam raio a raio ✔ cada convecção com o raio da sua face ✔ a maior queda de temperatura tem de estar no amianto ✔ $T_4$ tem de ficar entre $25$ e $150\ ^\circ\mathrm{C}$ , mais perto do ar do que do vapor ✔

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Questão 062º EE2018.1 · 2ª chamadaFluxos de massa · Uma espécie escoa, a outra está parada2,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. Na entrada, a concentração total da mistura é de $20\ \mathrm{mol/m^3}$ e $80\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . Na saída, a concentração total da mistura é de $5\ \mathrm{mol/m^3}$ e $90\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A espécie $A$ escoa com velocidade de $3{,}0\ \mathrm{m/s}$ , enquanto que $B$ está estacionária. O comprimento do tubo é de $4{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $8{,}0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo, as densidades de fluxo convectivo e as densidades de fluxo absoluto no meio do tubo. Admita regime permanente com perfil linear de concentração ao longo do tubo, para ambas as espécies.

Atenção: a concentração total cai de $20$ para $5\ \mathrm{mol/m^3}$ — ela não é constante, e por isso os dois fluxos difusivos aqui não são opostos.

Gabarito

No meio do tubo ( $x = 2{,}0\ \mathrm{m}$ ): $C_A = 8{,}25$ e $C_B = 4{,}25\ \mathrm{mol/m^3}$ .

	difusivo $J''$	convectivo $N''$	absoluto
$A$	$+0{,}31$	$24{,}75$	$\mathbf{25{,}06}$
$B$	$-0{,}01$	$0$	$\mathbf{-0{,}01}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações molares nas duas pontas. O enunciado dá a fração de $A$ na entrada e a de $B$ na saída — de propósito.

x_{A1} = 0{,}80 \Rightarrow x_{B1} = 0{,}20 \qquad\qquad x_{B2} = 0{,}90 \Rightarrow x_{A2} = 0{,}10

Passo 2 — as concentrações de cada espécie nas pontas. Aqui o cuidado é usar a concentração total daquela seção, porque ela muda de uma ponta à outra.

C_{A1} = 0{,}80 \times 20 = 16 \qquad C_{B1} = 0{,}20 \times 20 = 4

C_{A2} = 0{,}10 \times 5 = 0{,}5 \qquad C_{B2} = 0{,}90 \times 5 = 4{,}5

todos em $\mathrm{mol/m^3}$ .

Passo 3 — os gradientes (perfil linear).

\frac{dC_A}{dx} = \frac{C_{A2} - C_{A1}}{L} = \frac{0{,}5 - 16}{4{,}0} = -3{,}875\ \mathrm{mol/m^4}

\frac{dC_B}{dx} = \frac{C_{B2} - C_{B1}}{L} = \frac{4{,}5 - 4}{4{,}0} = +0{,}125\ \mathrm{mol/m^4}

Passo 4 — as concentrações no meio ( $x = 2{,}0\ \mathrm{m}$ ).

C_A(2) = 16 - 3{,}875 \times 2 = 8{,}25\ \mathrm{mol/m^3}

C_B(2) = 4 + 0{,}125 \times 2 = 4{,}25\ \mathrm{mol/m^3}

Confere: $8{,}25 + 4{,}25 = 12{,}5$ , que é a média de $20$ e $5$ — coerente com os dois perfis lineares.

Passo 5 — os fluxos difusivos (Fick). O gradiente é constante, então o difusivo é o mesmo em qualquer posição:

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -0{,}08 \times (-3{,}875) = +0{,}31\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -D_{AB}\,\frac{dC_B}{dx} = -0{,}08 \times (+0{,}125) = -0{,}01\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 6 — os fluxos convectivos, com a velocidade de cada espécie. O enunciado dá velocidades diferentes: $A$ a $3{,}0\ \mathrm{m/s}$ e $B$ parada.

N''_A = C_A(2)\,v_A = 8{,}25 \times 3{,}0 = 24{,}75\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_B(2)\,v_B = 4{,}25 \times 0 = 0

O “B estacionária” existe justamente para anular este termo — é o dado que a questão põe para ver quem lê.

Passo 7 — os fluxos absolutos.

N''_{A,abs} = J''_A + N''_A = 0{,}31 + 24{,}75 = 25{,}06\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_{B,abs} = J''_B + N''_B = -0{,}01 + 0 = -0{,}01\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 8 — a leitura dos resultados. Duas coisas valem ser ditas na prova:

para $A$ , o convectivo é 80 vezes o difusivo. Com o fluido escoando a $3\ \mathrm{m/s}$ , a difusão é detalhe;
para $B$ , o único transporte é o difusivo, e ele é negativo: $B$ migra da saída para a entrada, isto é, contra o escoamento de $A$ . Faz sentido — $B$ está mais concentrado na saída ( $4{,}5$ contra $4$ ).

Conferência — a fração da saída é de $B$ , não de $A$ ✔ cada seção tem a sua concentração total ✔ o difusivo é constante ao longo do tubo, o convectivo não ✔ com a total variável, $J''_A \ne -J''_B$ ✔ $B$ parada zera só o convectivo dela, não o difusivo ✔

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Questão 072º EE2022.1Transferência de calor · Os três mecanismos, explicados1,0 ptVer material

Quais são os mecanismos de transferência de calor? Explique detalhadamente cada um deles.

Gabarito

São três: condução, convecção e radiação.

Condução — precisa de contato entre o meio condutor e a fonte térmica, e o meio deve estar parado. A energia passa de molécula a molécula, sem deslocamento de matéria.

q = -k\,A\,\frac{dT}{dx}

Convecção — também precisa de contato, mas o meio está escoando: a matéria se desloca e carrega a energia com ela.

q = h\,A\,(T_s - T_\infty)

Radiação — não precisa de meio material nem de contato com a fonte. A energia viaja como onda eletromagnética.

q = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{viz}^4)

Passo a passo

1 — Condução. Ocorre dentro de um sólido, ou num fluido estacionário. As moléculas mais quentes vibram mais e transmitem energia às vizinhas por colisão; nos metais, os elétrons livres fazem a maior parte do trabalho — e é por isso que metal conduz muito melhor que madeira.

q''_x = -k\,\frac{dT}{dx}

é a lei de Fourier;
$k$ , a condutividade térmica, em $\mathrm{W/(m\cdot K)}$ , é propriedade do material;
o sinal negativo diz que o calor vai do quente para o frio, isto é, no sentido contrário ao gradiente.

Exemplos: o cabo de uma panela esquentando, o calor atravessando a parede de uma casa, o pé sentindo o piso frio.

2 — Convecção. Ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento. É a soma de dois efeitos: condução na fina camada de fluido junto à parede, e transporte de energia pelo próprio deslocamento do fluido.

q = h\,A\,(T_s - T_\infty)

que é a lei do resfriamento de Newton. O $h$ não é propriedade do fluido: depende da geometria, da velocidade e do regime do escoamento — achá-lo é o problema difícil da convecção.

Há dois tipos:

natural (ou livre) — o movimento nasce da própria diferença de temperatura: o fluido aquecido fica menos denso e sobe. Não há dispositivo mecânico;
forçada — o fluido é impulsionado por ventilador, bomba ou vento.

A forçada troca muito mais calor, porque afina a camada limite junto à parede.

3 — Radiação. Todo corpo com temperatura acima do zero absoluto emite ondas eletromagnéticas. Não é preciso meio material: funciona no vácuo, e é assim que o calor do Sol chega à Terra.

q = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{viz}^4)

$\varepsilon$ — emissividade da superfície, entre 0 e 1 (1 é o corpo negro ideal);
$\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2 K^4)}$ — constante de Stefan-Boltzmann;
a dependência é com $T^4$ : dobrar a temperatura absoluta multiplica a emissão por 16.

A resposta em uma tabela

mecanismo	precisa de meio?	meio parado ou escoando?	lei
condução	sim	parado	Fourier, $q = -kA\,dT/dx$
convecção	sim	escoando	Newton, $q = hA\Delta T$
radiação	não	—	Stefan-Boltzmann, $q = \varepsilon\sigma A\,\Delta(T^4)$

O que a questão quer ouvir é justamente o par de colunas do meio: os dois primeiros precisam de contato, o terceiro não; e o que separa condução de convecção é o meio estar parado ou escoando.

Conferência — três mecanismos, com nome, lei e condição de existência de cada ✔ dizer que a radiação dispensa meio material é o ponto que não pode faltar ✔ a diferença entre condução e convecção é o meio estar parado ou em movimento, não a intensidade ✔

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Questão 082º EE2022.1Condução com geração · Perfil parabólico e fluxo linear1,0 ptVer material

Explique como se comporta o perfil de temperatura e o fluxo de calor, em função da posição, durante a condução unidimensional em uma parede plana, com geração ou consumo de calor, mas sem acúmulo.

No plano central a derivada é nula, logo $q'' = 0$ : metade do calor gerado sai por cada face.

Gabarito

Com geração e sem acúmulo (regime permanente), o balanço de energia dá

\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{\dot q}{k} = 0

Perfil de temperatura: parabólico (não linear). Fluxo de calor: varia linearmente com a posição — não é constante como no caso sem geração.

se há geração ( $\dot q > 0$ ), a parábola tem máximo dentro da parede e o fluxo se direciona para fora dela, pelas duas faces;
se há consumo ( $\dot q < 0$ ), a parábola tem mínimo dentro e o fluxo se direciona para dentro da parede.

Passo a passo

Passo 1 — o balanço, e a hipótese que a expressão “sem acúmulo” está dando. “Sem acúmulo” é regime permanente: nada de energia se armazena, então o que é gerado tem de sair. Numa fatia de espessura $dx$ :

\underbrace{\frac{d}{dx}\left(k\,\frac{dT}{dx}\right)}_{\text{o que entra menos o que sai}} + \underbrace{\dot q}_{\text{o que é gerado}} = 0

Com $k$ constante:

\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{\dot q}{k}

Passo 2 — integrar uma vez: o fluxo é reta.

\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot q}{k}\,x + C_1 \qquad\Longrightarrow\qquad q''(x) = -k\,\frac{dT}{dx} = \dot q\,x - k\,C_1

\boxed{\;q''(x)\ \text{é função }\textbf{linear}\text{ de } x\;}

E aqui está a diferença central com o caso já visto: sem geração, $q''$ é constante (o mesmo calor atravessa todas as seções). Com geração, o fluxo cresce à medida que se caminha para a face, porque vai recolhendo o calor gerado no caminho.

Passo 3 — integrar de novo: a temperatura é parábola.

T(x) = -\frac{\dot q}{2k}\,x^2 + C_1 x + C_2

\boxed{\;T(x)\ \text{é uma }\textbf{parábola}\;}

O coeficiente do termo quadrático é $-\dot q/(2k)$ : com $\dot q > 0$ ele é negativo, e a parábola tem concavidade para baixo — máximo interno.

Passo 4 — o caso simétrico, que fecha o raciocínio. Se as duas faces são refrigeradas igualmente, a simetria exige $dT/dx = 0$ em $x = 0$ , logo $C_1 = 0$ . Com $T(\pm L) = T_s$ :

T(x) = T_s + \frac{\dot q\,L^2}{2k}\left(1 - \frac{x^2}{L^2}\right) \qquad T_0 = T_s + \frac{\dot q\,L^2}{2k}

q''(x) = \dot q\,x \qquad\Longrightarrow\qquad q''(0) = 0 \quad\text{e}\quad q''(\pm L) = \pm\dot q\,L

Duas leituras que valem ponto:

no plano central o fluxo é nulo. Não é porque não há calor ali, é porque metade vai para cada lado — o plano central funciona como uma superfície adiabática;
o que sai por uma face, $\dot q L$ , é exatamente o calor gerado na metade que ela drena. É a conferência do problema.

Passo 5 — o caso de consumo. Com $\dot q < 0$ (reação endotérmica, evaporação interna), o coeficiente $-\dot q/(2k)$ fica positivo: a parábola abre para cima, tem mínimo interno, e o calor entra pelas duas faces em direção ao centro. O perfil e o fluxo continuam parábola e reta — só invertem o sinal.

O quadro comparativo que responde a questão

	sem geração	com geração ( $\dot q > 0$ )	com consumo ( $\dot q < 0$ )
$T(x)$	reta	parábola com máximo interno	parábola com mínimo interno
$q''(x)$	constante	reta, cresce para as faces	reta, cresce para o centro
sentido do calor	atravessa a parede	sai pelas duas faces	entra pelas duas faces
$q''$ no centro	igual ao das faces	zero	zero

Escrever esta tabela é a resposta completa — e o item que mais se esquece é o do fluxo, porque a pergunta cita os dois.

Conferência — a resposta tem de citar os dois comportamentos: parábola para $T$ e reta para $q''$ ✔ “sem acúmulo” é regime permanente, não ausência de geração ✔ dizer para onde o calor se direciona em cada caso (fora com geração, dentro com consumo) completa a resposta ✔

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Questão 092º EE2022.1Transferência de massa · Os dois mecanismos, explicados1,0 ptVer material

Quais são os mecanismos de transferência de massa? Explique detalhadamente cada um deles.

Gabarito

São dois: a difusão e a convecção.

Difusão está relacionada com uma diferença de concentração (ou de massa específica) de uma espécie entre dois pontos do meio ou da mistura. É migração molecular, e ocorre mesmo com o fluido parado.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}

Convecção está relacionada com o escoamento dessa espécie, pura ou em mistura: a espécie é carregada pelo movimento do fluido.

N''_A = C_A\,v \qquad\text{ou}\qquad N_A = h_m\,A\,(C_{A,s} - C_{A,\infty})

Passo a passo

1 — Difusão. O motor é o gradiente de concentração. As moléculas da espécie $A$ se movem aleatoriamente, e o resultado líquido desse movimento é uma migração da região de maior para a de menor concentração, até a mistura ficar homogênea.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}

Esta é a lei de Fick:

$D_{AB}$ — coeficiente de difusão binária, em $\mathrm{m^2/s}$ ; propriedade do par $A$ – $B$ e do meio, e cresce com a temperatura;
o sinal negativo — a massa vai contra o gradiente, igual em Fourier;
não exige escoamento. É o mecanismo que sobra quando o fluido está parado.

Exemplos: perfume se espalhando numa sala sem vento, corante numa água em repouso, oxigênio atravessando a parede de um alvéolo, umidade migrando por uma parede de gesso.

2 — Convecção mássica. O motor é o movimento do fluido. A espécie é levada porque a mistura inteira está indo para algum lado.

N''_A = C_A\,v

E, quando o interesse é a troca entre uma superfície e um fluido que escoa por ela, escreve-se na forma da lei de Newton:

N_A = h_m\,A\,(C_{A,s} - C_{A,\infty})

com $h_m$ o coeficiente de transferência de massa por convecção, em $\mathrm{m/s}$ . Como o $h$ do calor, ele depende da geometria e do escoamento — não é propriedade do fluido.

Também aqui há os dois tipos: natural (o movimento nasce de diferenças de densidade) e forçada (há agitador, ventilador, bomba).

A analogia com o calor é a resposta pronta

	transferência de calor	transferência de massa
meio parado	condução (Fourier)	difusão (Fick)
meio escoando	convecção ( $q = hA\Delta T$ )	convecção ( $N = h_m A\Delta C$ )
terceiro mecanismo	radiação	não existe

O ponto que a questão cobra e que se esquece: em massa há dois mecanismos, não três. Não existe “radiação de massa” — matéria não viaja como onda eletromagnética.

Conferência — dois mecanismos, com nome e lei de cada ✔ difusão pede gradiente de concentração e dispensa escoamento; convecção pede escoamento ✔ dizer que não há um terceiro mecanismo análogo à radiação mostra que a analogia foi entendida, e não decorada ✔

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Questão 102º EE2022.1Parede composta · Cinco materiais em série e em paralelo2,5 ptsVer material

Considere a parede composta apresentada na figura, com fluidos distintos escoando de cada lado.

Dados: $T_{\infty,1} = 300\ \mathrm{K}$ ; $T_{\infty,2} = 500\ \mathrm{K}$ ; $A_1 = 4{,}0\ \mathrm{m^2}$ ; $A_2 = 2{,}5\ \mathrm{m^2}$ ; $A_4 = 1{,}0\ \mathrm{m^2}$ ; $L_1 = 0{,}2\ \mathrm{m}$ ; $L_2 = 0{,}4\ \mathrm{m}$ ; $L_3 = 0{,}5\ \mathrm{m}$ ; $k_1 = 1{,}0$ ; $k_2 = 0{,}8$ ; $k_3 = 1{,}5$ ; $k_4 = 0{,}7$ ; $k_5 = 0{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $h_A = 1{,}3$ ; $h_B = 3{,}1\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ .

Determine:

a) (1,5 pts.) O fluxo de calor que passa através da parede.

b) (1,0 pt.) As temperaturas $T_1$ e $T_2$ .

As áreas de $(3)$ e de $(5)$ não são dadas: saem por diferença, $A_3 = A_1 - A_2$ e $A_5 = A_1 - A_4$ .

Gabarito

a)

R_T = R_{convA} + R_1 + R_{eq,1} + R_{eq,2} + R_{convB}

R_T = 0{,}1923 + 0{,}05 + 0{,}0941 + 0{,}2273 + 0{,}0806 = 0{,}6443\ \mathrm{K/W}

q = \frac{|T_{\infty,2} - T_{\infty,1}|}{R_T} = \frac{200}{0{,}6443} \approx \mathbf{310{,}4\ W}

fluindo do lado $B$ (500 K) para o lado $A$ (300 K).

b)

T_1 = T_{\infty,1} + q\,R_{convA} = 300 + 310{,}4 \times 0{,}1923 \approx \mathbf{359{,}7\ K}

T_2 = T_1 + q\,R_{1} = 359{,}7 + 310{,}4 \times 0{,}05 \approx \mathbf{375{,}2\ K}

Passo a passo

Passo 1 — as duas áreas que faltam. A parede tem área total $A_1 = 4{,}0\ \mathrm{m^2}$ , e cada camada dividida reparte essa área entre os seus dois materiais:

A_3 = A_1 - A_2 = 4{,}0 - 2{,}5 = 1{,}5\ \mathrm{m^2}

A_5 = A_1 - A_4 = 4{,}0 - 1{,}0 = 3{,}0\ \mathrm{m^2}

É o primeiro passo, e sem ele nada anda.

Passo 2 — montar o circuito. Lendo a figura da esquerda para a direita:

\underbrace{h_A}_{\text{convecção}} \;\to\; \underbrace{(1)}_{\text{série}} \;\to\; \underbrace{(2)\,\|\,(3)}_{\text{paralelo}} \;\to\; \underbrace{(4)\,\|\,(5)}_{\text{paralelo}} \;\to\; \underbrace{h_B}_{\text{convecção}}

Cinco blocos em série; dois deles são associações em paralelo.

Passo 3 — as duas convecções.

R_{convA} = \frac{1}{h_A\,A_1} = \frac{1}{1{,}3 \times 4} = 0{,}1923\ \mathrm{K/W}

R_{convB} = \frac{1}{h_B\,A_1} = \frac{1}{3{,}1 \times 4} = 0{,}0806\ \mathrm{K/W}

Passo 4 — as cinco conduções.

R_1 = \frac{L_1}{k_1 A_1} = \frac{0{,}2}{1{,}0 \times 4{,}0} = 0{,}05

R_2 = \frac{L_2}{k_2 A_2} = \frac{0{,}4}{0{,}8 \times 2{,}5} = 0{,}2 \qquad R_3 = \frac{L_2}{k_3 A_3} = \frac{0{,}4}{1{,}5 \times 1{,}5} = 0{,}1778

R_4 = \frac{L_3}{k_4 A_4} = \frac{0{,}5}{0{,}7 \times 1{,}0} = 0{,}7143 \qquad R_5 = \frac{L_3}{k_5 A_5} = \frac{0{,}5}{0{,}5 \times 3{,}0} = 0{,}3333

todos em $\mathrm{K/W}$ . Repare que $(2)$ e $(3)$ compartilham a mesma espessura $L_2$ , e $(4)$ e $(5)$ a mesma $L_3$ — é o que os coloca em paralelo.

Passo 5 — as duas associações em paralelo.

R_{eq,1} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{0{,}2 \times 0{,}1778}{0{,}3778} = 0{,}0941\ \mathrm{K/W}

R_{eq,2} = \frac{R_4 R_5}{R_4 + R_5} = \frac{0{,}7143 \times 0{,}3333}{1{,}0476} = 0{,}2273\ \mathrm{K/W}

Passo 6 — o total e o fluxo.

R_T = 0{,}1923 + 0{,}05 + 0{,}0941 + 0{,}2273 + 0{,}0806 = 0{,}6443\ \mathrm{K/W}

q = \frac{\Delta T}{R_T} = \frac{500 - 300}{0{,}6443} = 310{,}4\ \mathrm{W}

O sentido importa: $T_{\infty,2} = 500\ \mathrm{K}$ é maior que $T_{\infty,1} = 300\ \mathrm{K}$ , então o calor entra pelo lado B e sai pelo lado A. A parede está sendo aquecida pela direita.

Passo 7 — $T_1$ e $T_2$ , item (b). $T_1$ é a face esquerda da camada $(1)$ e $T_2$ a interface entre $(1)$ e a camada dividida. Caminhando do fluido A para dentro, contra o fluxo, a temperatura sobe:

T_1 = T_{\infty,1} + q\,R_{convA} = 300 + 310{,}4 \times 0{,}1923 = 300 + 59{,}7 = 359{,}7\ \mathrm{K}

T_2 = T_1 + q\,R_1 = 359{,}7 + 310{,}4 \times 0{,}05 = 359{,}7 + 15{,}5 = 375{,}2\ \mathrm{K}

Passo 8 — a conferência pelo peso de cada resistência.

bloco	$R$ $[\mathrm{K/W}]$	fração	$\Delta T$ $[\mathrm{K}]$
convecção A	$0{,}1923$	$29{,}8\ \%$	$59{,}7$
camada (1)	$0{,}0500$	$7{,}8\ \%$	$15{,}5$
(2) ‖ (3)	$0{,}0941$	$14{,}6\ \%$	$29{,}2$
(4) ‖ (5)	$0{,}2273$	$35{,}3\ \%$	$70{,}6$
convecção B	$0{,}0806$	$12{,}5\ \%$	$25{,}0$
total	$0{,}6443$	$100\ \%$	$\mathbf{200{,}0}$

A soma das quedas fecha em $200\ \mathrm{K}$ ✔ — é a conferência final do problema.

Conferência — $A_3$ e $A_5$ por diferença ✔ cada paralelo menor que a sua menor parcela ✔ o calor vai do lado de 500 K para o de 300 K ✔ as quedas somam o $\Delta T$ total ✔

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Questão 112º EE2022.1Esfera · Raio crítico, fluxo e temperaturas nas interfaces2,5 ptsVer material

Considere uma esfera de um material $A$ (homogênea e de temperatura constante), recoberta por uma camada de um material $B$ , recoberta novamente com uma camada de um isolante térmico. Na parte externa da esfera, um fluido escoa fazendo convecção, conforme a figura.

Dados: $T_1 = 350\ \mathrm{K}$ ; $T_\infty = 298\ \mathrm{K}$ ; $r_1 = 5\ \mathrm{cm}$ ; $r_2 = 8\ \mathrm{cm}$ ; $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ ; $k_B = 4{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $k_{iso} = 0{,}7\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $h_e = 6{,}2\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ .

Determine:

a) (0,5 pts.) O raio crítico de isolamento.

b) (1,0 pt.) O fluxo de calor através do sistema.

c) (1,0 pt.) As temperaturas na interface entre o material $B$ e o isolante térmico e na superfície externa do isolante térmico.

Três resistências em série: condução em $B$ , condução no isolante e convecção com o fluido externo. O material $A$ está a temperatura constante $T_1$ , então não entra como resistência.

Gabarito

a)

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e} = \frac{2 \times 0{,}7}{6{,}2} = \mathbf{0{,}2258\ m} = 22{,}6\ \mathrm{cm}

Como $r_3 = 10\ \mathrm{cm} < r_c$ , o isolamento está aumentando a perda de calor.

b)

R_T = R_B + R_{iso} + R_{conv} = 0{,}1492 + 0{,}2842 + 1{,}2835 = 1{,}7169\ \mathrm{K/W}

q = \frac{350 - 298}{1{,}7169} \approx \mathbf{30{,}3\ W}

c)

T_2 = T_1 - q\,R_B = 350 - 30{,}3 \times 0{,}1492 \approx \mathbf{345{,}5\ K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 345{,}5 - 30{,}3 \times 0{,}2842 \approx \mathbf{336{,}9\ K}

Passo a passo

Passo 1 — o raio crítico, item (a). Para esfera, o raio crítico é o dobro do da geometria cilíndrica:

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e} = \frac{2 \times 0{,}7}{6{,}2} = 0{,}2258\ \mathrm{m}

Passo 2 — o que o resultado significa. Como $r_3 = 0{,}10\ \mathrm{m}$ é menor que $r_c = 0{,}226\ \mathrm{m}$ , o sistema está antes do raio crítico. Nessa faixa, acrescentar isolante aumenta a perda de calor: o ganho de área externa (que facilita a convecção) vence o ganho de resistência de condução.

Dizer isso é parte da resposta — o item não pede só o número.

Passo 3 — as resistências, item (b). O material $A$ está a temperatura constante $T_1$ : ele é a fonte, e não entra como resistência. Sobram três, em série.

R_B = \frac{\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}}{4\pi k_B} = \frac{\dfrac{1}{0{,}05} - \dfrac{1}{0{,}08}}{4\pi \times 4{,}0} = \frac{20 - 12{,}5}{50{,}265} = \frac{7{,}5}{50{,}265} = 0{,}1492\ \mathrm{K/W}

R_{iso} = \frac{\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_3}}{4\pi k_{iso}} = \frac{12{,}5 - 10}{4\pi \times 0{,}7} = \frac{2{,}5}{8{,}796} = 0{,}2842\ \mathrm{K/W}

R_{conv} = \frac{1}{h_e\,4\pi r_3^2} = \frac{1}{6{,}2 \times 4\pi (0{,}10)^2} = \frac{1}{0{,}7791} = 1{,}2835\ \mathrm{K/W}

Passo 4 — o fluxo.

R_T = 0{,}1492 + 0{,}2842 + 1{,}2835 = 1{,}7169\ \mathrm{K/W}

q = \frac{T_1 - T_\infty}{R_T} = \frac{350 - 298}{1{,}7169} = \frac{52}{1{,}7169} = 30{,}29\ \mathrm{W}

Positivo: a esfera está mais quente que o fluido, então o calor sai.

Passo 5 — as temperaturas, item (c). Uma resistência por vez, no sentido do fluxo (de dentro para fora, a temperatura cai):

T_2 = T_1 - q\,R_B = 350 - 30{,}29 \times 0{,}1492 = 350 - 4{,}52 = 345{,}5\ \mathrm{K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 345{,}5 - 30{,}29 \times 0{,}2842 = 345{,}5 - 8{,}61 = 336{,}9\ \mathrm{K}

Passo 6 — a conferência que fecha tudo. Do lado externo, o calor sai por convecção:

T_3 - T_\infty = q\,R_{conv} = 30{,}29 \times 1{,}2835 = 38{,}9\ \mathrm{K} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = 298 + 38{,}9 = 336{,}9\ \mathrm{K}\ \checkmark

Chega-se ao mesmo $T_3$ pelos dois caminhos — é a checagem final.

E as três quedas somam o $\Delta T$ total:

resistência	valor $[\mathrm{K/W}]$	fração	$\Delta T$ $[\mathrm{K}]$
condução em $B$	$0{,}1492$	$8{,}7\ \%$	$4{,}5$
condução no isolante	$0{,}2842$	$16{,}6\ \%$	$8{,}6$
convecção externa	$1{,}2835$	$\mathbf{74{,}8\ \%}$	$38{,}9$
total	$1{,}7169$	$100\ \%$	$\mathbf{52{,}0}$

Conferência — raio crítico de esfera leva o 2 no numerador ✔ a resistência esférica não tem $L$ ✔ a convecção usa $4\pi r_3^2$ ✔ as quedas somam $52\ \mathrm{K}$ ✔ o material $A$ não entra como resistência, porque a temperatura dele é dada ✔

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Questão 122º EE2022.1Fluxos de massa · Os três fluxos na saída do tubo2,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. A concentração total da mistura é mantida constante, igual a $200\ \mathrm{mol/m^3}$ . Na entrada, $70\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ , e na saída, $60\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A mistura escoa com velocidade de $4{,}0\ \mathrm{m/s}$ . O comprimento do tubo é de $2{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $5{,}0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo, as densidades de fluxo convectivo e as densidades de fluxo absoluto na saída do tubo. Admita o regime permanente de escoamento com perfil linear de concentração ao longo do tubo, para ambas as espécies.

Aqui a concentração total é constante — e isso garante a conferência $J''_A = -J''_B$ , que na versão de 2018.1 não valia.

Gabarito

Na saída: $C_{A2} = 80$ e $C_{B2} = 120\ \mathrm{mol/m^3}$ .

	difusivo $J''$	convectivo $N''$	absoluto
$A$	$+1{,}5$	$320$	$\mathbf{321{,}5}$
$B$	$-1{,}5$	$480$	$\mathbf{478{,}5}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações molares. O enunciado dá $x_A$ na entrada e $x_B$ na saída, de propósito:

x_{A1} = 0{,}70 \Rightarrow x_{B1} = 0{,}30 \qquad\qquad x_{B2} = 0{,}60 \Rightarrow x_{A2} = 0{,}40

Passo 2 — as concentrações nas duas pontas. Como $C = 200\ \mathrm{mol/m^3}$ é constante, ela é a mesma nas duas seções:

C_{A1} = 0{,}70 \times 200 = 140 \qquad C_{A2} = 0{,}40 \times 200 = 80

C_{B1} = 0{,}30 \times 200 = 60 \qquad C_{B2} = 0{,}60 \times 200 = 120

todos em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par soma $200$ ✔

Passo 3 — os gradientes (perfil linear).

\frac{dC_A}{dx} = \frac{80 - 140}{2{,}0} = -30\ \mathrm{mol/m^4} \qquad \frac{dC_B}{dx} = \frac{120 - 60}{2{,}0} = +30\ \mathrm{mol/m^4}

Opostos, porque a soma é constante. É de onde vem a conferência do próximo passo.

Passo 4 — os fluxos difusivos. Por Fick, com o gradiente constante o difusivo é o mesmo em qualquer posição do tubo:

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -5{,}0\times10^{-2} \times (-30) = +1{,}5\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -D_{AB}\,\frac{dC_B}{dx} = -5{,}0\times10^{-2} \times (+30) = -1{,}5\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_A = -J''_B \ \checkmark

$A$ difunde no sentido do escoamento (está mais concentrado na entrada); $B$ difunde contra o escoamento (está mais concentrado na saída).

Passo 5 — os fluxos convectivos, na saída. As duas espécies são arrastadas pela mesma velocidade da mistura, então basta multiplicar a concentração local:

N''_A = C_{A2}\,v = 80 \times 4{,}0 = 320\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_{B2}\,v = 120 \times 4{,}0 = 480\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 6 — os fluxos absolutos.

N''_{A,abs} = J''_A + N''_A = 1{,}5 + 320 = 321{,}5\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_{B,abs} = J''_B + N''_B = -1{,}5 + 480 = 478{,}5\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 7 — a leitura. O convectivo é mais de 200 vezes o difusivo: com a mistura a $4\ \mathrm{m/s}$ , a difusão é uma correção de menos de $0{,}5\ \%$ . E a soma dos absolutos,

321{,}5 + 478{,}5 = 800 = C\,v

confirma que os difusivos, sendo opostos, não alteram o transporte total da mistura — só redistribuem as espécies dentro dela.

Conferência — a fração da saída é de $B$ ✔ os difusivos saem opostos, porque $C$ é constante ✔ o convectivo usa a concentração da saída ✔ os absolutos somam $C\,v$ ✔

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Questão 132º EE2023.1Adimensionais · Reynolds e Nusselt, equações e significado1,0 ptVer material

Em uma análise dimensional, a grandeza adimensional (ou número adimensional) é um número desprovido de qualquer unidade física que o defina, sendo, portanto, um número puro. Os números adimensionais são descritos como produtos ou quocientes de quantidades cujas unidades se cancelam e, dependendo do seu valor, estes números têm algum significado físico que caracteriza determinadas propriedades para alguns sistemas. Assim, por exemplo, o número de Grashof é um número adimensional usado na mecânica dos fluidos, representando a relação entre a sustentação de um fluido e a sua viscosidade.

Nesse sentido, defina os números adimensionais de Reynolds e Nusselt, com suas equações características e a relação entre grandezas que eles possuem.

Gabarito

Reynolds:

Re = \frac{\rho\,v\,D}{\mu}

relaciona as forças de inércia com as de viscosidade, onde $\rho$ é a massa específica $[\mathrm{kg/m^3}]$ , $v$ a velocidade do fluido $[\mathrm{m/s}]$ , $D$ o comprimento característico (ou o diâmetro, no escoamento em tubo) $[\mathrm{m}]$ e $\mu$ a viscosidade dinâmica $[\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}}]$ .

Nusselt:

Nu = \frac{h\,L}{k}

relaciona a troca de calor por convecção com a troca de calor por condução, onde $h$ é o coeficiente de transferência de calor por convecção $[\mathrm{W\,K^{-1}m^{-2}}]$ , $k$ é o coeficiente de transferência de calor por condução (condutividade térmica) $[\mathrm{W\,K^{-1}m^{-1}}]$ e $L$ é a espessura do material condutor $[\mathrm{m}]$ .

Passo a passo

1 — Reynolds: inércia contra viscosidade.

Re = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} = \frac{v\,D}{\nu}

O numerador mede a tendência do fluido a seguir em frente (inércia); o denominador, a tendência a ser freado pelo atrito interno (viscosidade). O quociente diz qual vence:

$Re$ baixo — a viscosidade domina, o escoamento é laminar e organizado;
$Re$ alto — a inércia domina, as perturbações crescem e o escoamento é turbulento.

Em tubo, as faixas de referência são $Re < 2000$ laminar, $Re > 4000$ turbulento, e a transição no meio.

2 — Nusselt: convecção contra condução.

Nu = \frac{h\,L}{k}

A leitura mais direta vem de escrever os dois transportes na mesma camada de fluido de espessura $L$ :

\underbrace{q''_{conv} = h\,\Delta T}_{\text{com o fluido escoando}} \qquad\qquad \underbrace{q''_{cond} = \frac{k}{L}\,\Delta T}_{\text{com o fluido parado}}

Nu = \frac{q''_{conv}}{q''_{cond}} = \frac{h\,\Delta T}{(k/L)\,\Delta T} = \frac{h\,L}{k}

$Nu = 1$ — não há ganho: o fluido está efetivamente parado, e a troca é só condução;
$Nu \gg 1$ — a convecção domina, tanto mais quanto maior o número. É o caso de qualquer escoamento real.

3 — Por que Nusselt é o adimensional útil. Porque é ele que entrega o $h$ , que é a incógnita difícil da convecção. O roteiro é sempre:

\underbrace{Nu = f(Re,\,Pr)}_{\text{convecção forçada}} \qquad \underbrace{Nu = f(Gr,\,Pr)}_{\text{convecção natural}} \;\Longrightarrow\; h = \frac{Nu\,k}{L} \;\Longrightarrow\; q = h\,A\,\Delta T

E é aí que o Reynolds do enunciado se encaixa: ele é a entrada da correlação na convecção forçada, e o Grashof citado pela questão faz o mesmo papel na convecção natural — onde não há velocidade imposta, e o motor é o empuxo térmico.

Conferência — os dois pedem equação, significado físico e unidade de cada símbolo ✔ Reynolds é inércia sobre viscosidade; Nusselt é convecção sobre condução ✔ o $k$ de Nusselt é do fluido ✔

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Questão 142º EE2023.1Convecção · Natural e forçada, e por que uma troca mais1,0 ptVer material

Os processos de convecção na transferência de calor são importantes, pois descrevem o funcionamento de diversos equipamentos, como os trocadores de calor. A convecção desempenha um papel importante nesse processo. Nesse sentido, identifique e explique os principais tipos de convecção.

Gabarito

São as convecções natural e forçada.

Natural (ou livre) — ocorre devido a diferenças de densidade causadas por variações de temperatura, sem a necessidade de dispositivos mecânicos, tais como ventiladores, bombas, etc.

Forçada — o fluido é impulsionado por esses equipamentos mecânicos (ventilador, bomba, compressor) ou por um agente externo como o vento.

Nas duas vale a lei do resfriamento de Newton, $q = h\,A\,(T_s - T_\infty)$ ; o que muda é o valor de $h$ , muito maior na forçada.

Passo a passo

1 — Convecção natural (ou livre). O movimento do fluido nasce da própria troca de calor. O fluido junto à superfície quente se aquece, fica menos denso, e o empuxo o faz subir; fluido mais frio desce para ocupar o lugar, e a circulação se mantém sozinha.

não há nenhum equipamento movendo o fluido;
a velocidade não é dada no problema: ela é consequência do aquecimento;
por isso, na correlação, o Reynolds é substituído pelo número de Grashof, que compara o empuxo térmico com a viscosidade:

Gr = \frac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2} \qquad\Longrightarrow\qquad Nu = f(Gr,\,Pr)

Exemplos: o ar subindo de um radiador, a água circulando numa panela antes de ferver, a brisa marítima, o ar quente que sobe do asfalto.

2 — Convecção forçada. O fluido é impulsionado por um agente externo — ventilador, bomba, compressor, vento. O escoamento existe independentemente da diferença de temperatura.

Nu = f(Re,\,Pr)

Exemplos: radiador de carro com ventoinha, trocador de calor com bomba de circulação, secador de cabelo, resfriamento de processador com cooler.

3 — Por que a forçada troca muito mais calor. A resistência à troca está na camada limite junto à parede, onde o fluido está praticamente parado e o calor só passa por condução. Quanto mais rápido o escoamento, mais fina essa camada — e menor a resistência.

q = h\,A\,(T_s - T_\infty)

situação	$h$ típico $[\mathrm{W/(m^2 K)}]$
gás, convecção natural	$2$ a $25$
gás, convecção forçada	$25$ a $250$
líquido, convecção natural	$50$ a $1000$
líquido, convecção forçada	$100$ a $20\,000$
ebulição / condensação	$2500$ a $100\,000$

Uma ordem de grandeza de diferença entre natural e forçada, para o mesmo fluido. É por isso que soprar a sopa esfria mais rápido: troca-se natural por forçada.

Conferência — dois tipos principais, com o critério que os separa: existe ou não um dispositivo mecânico ✔ dizer que na natural o motor é a diferença de densidade causada pela temperatura ✔ apontar que o que muda na conta é o valor de $h$ , e não a fórmula, fecha a resposta ✔

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Questão 152º EE2023.1 · 2023.2Condições de contorno · Dirichlet, Neumann e Robin1,0 ptVer material

As equações relacionadas com o fenômeno de transferência de calor costumam ser diferenciais e, para se poder resolvê-las, costuma-se lançar mão do que se chama de condições de contorno. Defina o que são condições de contorno e quais os três tipos de condição de contorno existentes, com os seus parâmetros.

Gabarito

Condições de contorno são as informações nas fronteiras do domínio que precisam ser conhecidas para que a equação diferencial tenha solução única. As três mais comuns são:

1º tipo — Dirichlet. A superfície do corpo é mantida a uma temperatura fixa:

T_s = T(x,t) = T(0,t)

2º tipo — Neumann. O que é mantido constante é a taxa de calor por condução na superfície:

q_s = q(x,t) = q(0,t) \qquad\text{isto é}\qquad -k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0} = q''_s

3º tipo — Robin (ou mista). Ocorre troca de calor por condução e convecção ao mesmo tempo:

q_{\text{condução}} = q_{\text{convecção}} \qquad\text{isto é}\qquad -k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0} = h\,\big[T_\infty - T(0,t)\big]

Passo a passo

1 — Por que elas são necessárias. A equação da condução é diferencial de segunda ordem no espaço:

\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\dot q}{k} = \frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial T}{\partial t}

Integrar duas vezes em $x$ produz duas constantes de integração. Elas não saem da equação — saem de duas informações nas fronteiras. Sem elas, a solução é uma família de perfis, e não um perfil.

(E se o problema for transiente, é preciso também uma condição inicial, que diz o campo de temperatura em $t = 0$ . Condição inicial e condição de contorno são coisas diferentes: uma no tempo, as outras no espaço.)

2 — Primeiro tipo: Dirichlet. Fixa o valor da função na fronteira.

T(0,t) = T_s

Onde aparece na prática: face em contato com um fluido em mudança de fase, que impõe a sua temperatura (água fervendo a $100\ ^\circ\mathrm{C}$ , gelo derretendo a $0\ ^\circ\mathrm{C}$ ); face em contato com um reservatório muito grande; superfície cuja temperatura foi medida.

3 — Segundo tipo: Neumann. Fixa a derivada na fronteira, isto é, o fluxo.

-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0} = q''_s

Onde aparece: face aquecida por uma resistência elétrica de potência conhecida; face recebendo radiação de intensidade conhecida.

E o caso particular mais importante: superfície adiabática (isolada), em que $q''_s = 0$ e portanto

\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0} = 0

É a mesma condição que a simetria dá no plano central de uma parede com geração aquecida igualmente dos dois lados.

4 — Terceiro tipo: Robin, ou mista. Não fixa nem a temperatura nem o fluxo: fixa a relação entre os dois, impondo que o calor que chega por condução é o que sai por convecção.

\underbrace{-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{0}}_{\text{condução no sólido}} = \underbrace{h\,\big[T_\infty - T(0,t)\big]}_{\text{convecção para o fluido}}

Os parâmetros dados são $h$ e $T_\infty$ ; a temperatura da superfície é resultado, não dado. É a condição mais realista, e a que aparece em praticamente todo problema de parede ou tubo com fluido escoando.

Pela ordem da derivada que cada uma fixa

tipo	nome	fixa	exemplo	parâmetro dado
1º	Dirichlet	$T$ (a função)	face a $100\ ^\circ\mathrm{C}$	$T_s$
2º	Neumann	$\partial T/\partial x$ (a derivada)	face isolada, $q'' = 0$	$q''_s$
3º	Robin / mista	combinação de $T$ e $\partial T/\partial x$	face trocando com ar	$h$ e $T_\infty$

Dirichlet vem primeiro no alfabeto e é a de ordem mais baixa; Robin é chamada de “mista” porque mistura as duas anteriores. Com essa dica não se troca os nomes.

Conferência — definir o que são (informações na fronteira para fechar a solução da equação diferencial) e depois listar as três ✔ dar o nome de cada uma, porque a questão cobra os nomes ✔ dizer os parâmetros de cada uma: $T_s$ , $q''_s$ , e o par $h$ – $T_\infty$ ✔

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Questão 162º EE2023.1 · 2023.2Transporte de massa · Difusão e convecção no suco e no chá1,0 ptVer material

A transferência de massa é um fenômeno presente em muitas situações do nosso dia a dia, desde a disseminação do aroma de um perfume até processos de dissolução de substâncias. Tomando como exemplo a preparação de uma solução de suco em água gelada, analise os processos envolvidos em três condições distintas:

(i) adicionando $1\ \mathrm{g}$ do pó do suco na água gelada sem mexer;

(ii) adicionando $2\ \mathrm{g}$ do pó do suco na água gelada sem mexer;

(iii) repetindo o mesmo processo (i), mas agitando vigorosamente a água.

Além disso, explore como a temperatura da água influencia a transferência de massa nesse contexto.

Gabarito

(i) Ocorre transferência de massa por difusão — o mecanismo mais lento, porque o fluido está parado.

(ii) O mesmo mecanismo, difusão, mas com taxa maior: a maior quantidade de pó dá uma concentração maior e, portanto, um gradiente de concentração maior.

(iii) A mistura é muito mais rápida, porque passa a ocorrer convecção — o fluido em movimento carrega o soluto.

Temperatura: se a água estiver mais quente, a difusão é mais rápida (o coeficiente $D_{AB}$ cresce com a temperatura); com a água gelada, como no enunciado, o processo é mais lento.

Passo a passo

1 — Identificar o mecanismo de cada caso. A pergunta é sempre a mesma: o fluido está parado ou em movimento?

\text{parado} \Rightarrow \text{difusão} \qquad\qquad \text{em movimento} \Rightarrow \text{convecção}

(i) e (ii) — sem mexer: fluido parado, só difusão;
(iii) — agitando: fluido em movimento, entra a convecção, que domina de imediato.

2 — Caso (i): difusão pura. A lei de Fick governa:

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}

O pó no fundo do copo cria uma região de concentração alta, e o soluto migra para onde há menos. É lento — minutos, não segundos — porque depende do movimento aleatório das moléculas.

3 — Caso (ii): o mesmo mecanismo, com taxa maior. Aqui está a sutileza que separa (i) de (ii). O mecanismo não muda — continua difusão. O que muda é o gradiente: com $2\ \mathrm{g}$ em vez de $1\ \mathrm{g}$ , a concentração junto ao pó é maior, então

\left|\frac{dC_A}{dx}\right| \text{ maior} \qquad\Longrightarrow\qquad |J''_A| \text{ maior}

Cuidado com a leitura errada: dobrar a massa não dobra a velocidade de homogeneização. O fluxo é maior, mas há também mais soluto a distribuir. O que aumenta de fato é a taxa de transferência, não necessariamente o tempo até ficar uniforme.

4 — Caso (iii): convecção. Agitar cria um campo de velocidades que carrega o soluto:

N''_A = C_A\,v

e, na forma de troca com a superfície do grão de pó,

N_A = h_m\,A\,(C_{A,s} - C_{A,\infty})

A agitação faz duas coisas: transporta o soluto já dissolvido para longe (o que mantém o gradiente alto junto ao grão) e afina a camada limite em volta dele. Por isso a diferença é de ordens de grandeza, não de porcentagem.

5 — O efeito da temperatura. O coeficiente de difusão cresce com a temperatura, porque as moléculas se movem mais rápido:

D_{AB} \uparrow \text{ com } T \qquad\Longrightarrow\qquad |J''_A| \uparrow

Consequências para o enunciado:

a água gelada dos três casos é o que torna a dissolução lenta;
se a água estivesse quente, (i) e (ii) ficariam sensivelmente mais rápidos;
há um efeito adicional: em água quente a solubilidade costuma ser maior, o que permite uma concentração de saturação mais alta junto ao grão e, com isso, um gradiente maior ainda.

O quadro que responde tudo de uma vez

caso	mecanismo	o que muda	velocidade
(i) 1 g, sem mexer	difusão	referência	lenta
(ii) 2 g, sem mexer	difusão	gradiente maior	maior taxa, ainda lenta
(iii) 1 g, agitando	convecção	há velocidade	muito rápida
água quente	difusão	$D_{AB}$ maior	mais rápida

A questão dá três situações mais a temperatura: são quatro coisas a comentar, e a que mais se esquece é a distinção entre (i) e (ii), que não é de mecanismo, e sim de gradiente.

Conferência — (i) e (ii) têm o mesmo mecanismo, e a diferença está no gradiente ✔ só (iii) muda de mecanismo ✔ a temperatura age sobre $D_{AB}$ , e a água do enunciado é gelada, o que faz de tudo isso um processo lento ✔

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Questão 172º EE2023.1Tubo isolado · Densidade de fluxo e a emissividade por radiação2,0 ptsVer material

Uma tubulação atravessa uma grande sala conduzindo água a $95\ ^\circ\mathrm{C}$ , com coeficiente de transferência de calor por convecção $h = 20\ \mathrm{W\,^\circ C^{-1}m^{-2}}$ . O tubo, de resistência térmica desprezível, está isolado com lã de rocha ( $k = 0{,}035\ \mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}$ ): o tubo interno corresponde a $r_1 = 2\ \mathrm{cm}$ e o conjunto isolado a $r_2 = 4\ \mathrm{cm}$ . Sabendo-se que a temperatura da face externa do isolamento é $22\ ^\circ\mathrm{C}$ , determinar, para $1\ \mathrm{m}$ de tubo:

a) (1,0 ponto) A taxa de transferência de calor por unidade de área transferida através da tubulação.

b) (1,0 ponto) A emissividade da superfície do isolamento, sabendo-se que metade da taxa transferida por unidade de área vai para o ambiente por radiação, e que a temperatura da face interna das paredes da sala é $5\ ^\circ\mathrm{C}$ .

Dados: $q'' = q/A = \varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_\infty^4)$ ; $\sigma = 5{,}77 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}$ .

O calor faz um caminho só até a face externa (convecção da água + condução na lã) e ali se divide entre convecção e radiação para a sala.

Gabarito

a)

R_{conv} = \frac{1}{2\pi r_1 L\,h} = 0{,}398\ ^\circ\mathrm{C/W} \qquad R_{cond} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi L\,k} = 3{,}153\ ^\circ\mathrm{C/W}

q'' = \frac{\Delta T}{R_{total}\,A_{parede}} = \frac{95 - 22}{(0{,}398 + 3{,}153) \times 2\pi(0{,}04)(1)} \approx \mathbf{81{,}8\ W/m^2}

b)

\varepsilon = \frac{q''}{2\,\sigma\,(T_s^4 - T_\infty^4)} = \frac{81{,}8}{2 \times 5{,}77\times10^{-8}\left[(295)^4 - (278)^4\right]} \approx \mathbf{0{,}443}

Passo a passo

Passo 1 — as duas resistências em série. O tubo metálico tem resistência desprezível (o enunciado diz), então sobram duas: a convecção da água na face interna e a condução na lã de rocha.

R_{conv} = \frac{1}{2\pi r_1 L\,h} = \frac{1}{2\pi (0{,}02)(1{,}0)(20)} = \frac{1}{2{,}513} = 0{,}398\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_{cond} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi L\,k} = \frac{\ln(0{,}04/0{,}02)}{2\pi (1{,}0)(0{,}035)} = \frac{0{,}6931}{0{,}2199} = 3{,}153\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_{total} = 3{,}551\ ^\circ\mathrm{C/W}

A lã responde por $89\ \%$ da resistência — é ela quem segura o calor, como se espera de um isolante.

Passo 2 — a taxa, e depois a taxa por unidade de área. A taxa total é

q = \frac{T_1 - T_2}{R_{total}} = \frac{95 - 22}{3{,}551} = 20{,}56\ \mathrm{W}

O item pede por unidade de área, e a área de referência é a da superfície externa do isolamento, por onde o calor sai:

A = 2\pi r_2 L = 2\pi (0{,}04)(1{,}0) = 0{,}2513\ \mathrm{m^2}

q'' = \frac{q}{A} = \frac{20{,}56}{0{,}2513} = 81{,}8\ \mathrm{W/m^2}

Passo 3 — item (b): metade vai por radiação. O calor que chega à face externa se reparte ali entre dois caminhos para a sala: convecção com o ar e radiação para as paredes. O enunciado diz que a metade vai por radiação:

q''_{rad} = \frac{q''}{2} = \varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_\infty^4)

Passo 4 — as temperaturas em kelvin. Aqui não há escolha: a quarta potência exige a escala absoluta.

T_s = 22 + 273 = 295\ \mathrm{K} \qquad T_\infty = 5 + 273 = 278\ \mathrm{K}

T_s^4 = 7{,}573\times10^{9} \qquad T_\infty^4 = 5{,}973\times10^{9} \qquad \Delta(T^4) = 1{,}600\times10^{9}\ \mathrm{K^4}

Passo 5 — isolar a emissividade.

\varepsilon = \frac{q''}{2\,\sigma\,(T_s^4 - T_\infty^4)} = \frac{81{,}8}{2 \times 5{,}77\times10^{-8} \times 1{,}600\times10^{9}}

\varepsilon = \frac{81{,}8}{184{,}6} = 0{,}443

Passo 6 — a conferência de plausibilidade. A emissividade tem de ficar entre 0 e 1, e $0{,}443$ fica ✔ É um valor típico de superfície cinza, coerente com lã de rocha aparente.

Conferência — o tubo metálico não entra, porque o enunciado o dispensa ✔ “por unidade de área” usa a área externa ✔ só metade de $q''$ é radiação ✔ temperatura em kelvin na quarta potência ✔ $0 \le \varepsilon \le 1$ ✔

Sobre o enunciado — o texto original fala em “diâmetro externo 4 cm” e “tubo interno de 2 cm de diâmetro”, mas o gabarito usa $r_1 = 0{,}02\ \mathrm{m}$ e $r_2 = 0{,}04\ \mathrm{m}$ — isto é, trata os $2$ e os $4\ \mathrm{cm}$ como raios. Os valores acima seguem o gabarito, porque é o que a prova cobra. Lendo-os como diâmetros ( $r_1 = 0{,}01$ , $r_2 = 0{,}02$ ), a mesma conta daria $q'' = 147{,}2\ \mathrm{W/m^2}$ e $\varepsilon = 0{,}797$ — o método é idêntico, só os raios mudam.

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Questão 182º EE2023.1Forno · Sete materiais em série e em paralelo2,0 ptsVer material

Um determinado equipamento (forno) é constituído por paredes com uma composição específica de materiais em paralelo e em série, como mostrada na figura. A parede interna do forno se encontra a $1000\ ^\circ\mathrm{C}$ e a parede externa encontra-se a $100\ ^\circ\mathrm{C}$ . Usando o diagrama da figura, monte o circuito de resistências equivalente e determine a taxa de transferência de calor por unidade de área dessa parede composta.

Os coeficientes de transferência de calor por condução de cada material:

Material	A	B	C	D	E	F	G
$k\ [\mathrm{W\,m^{-1}\,^\circ C^{-1}}]$	$0{,}100$	$0{,}040$	$0{,}010$	$0{,}060$	$0{,}030$	$0{,}040$	$0{,}020$

Quatro blocos em série: $A$ , então $B\,\|\,C\,\|\,D$ , então $E$ , então $F\,\|\,G$ .

Gabarito

Resistências por unidade de área, $R'' = L/k$ , em $\mathrm{(^\circ C \cdot m^2)/W}$ :

R_A = 0{,}3 \quad R_B = 0{,}5 \quad R_C = 2 \quad R_D = 0{,}333 \quad R_E = 1 \quad R_F = 1 \quad R_G = 2

Os dois paralelos:

R_{BCD} = \left(\frac{1}{0{,}5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{0{,}333}\right)^{-1} = 0{,}182 \qquad R_{FG} = \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right)^{-1} = 0{,}667

R_t = R_A + R_{BCD} + R_E + R_{FG} = 0{,}3 + 0{,}182 + 1 + 0{,}667 = 2{,}149

q'' = \frac{\Delta T}{R_t} = \frac{1000 - 100}{2{,}149} \approx \mathbf{418{,}8\ W/m^2}

Passo a passo

Passo 1 — ler o circuito na figura. O calor entra pela face interna (esquerda) e sai pela externa (direita). No caminho, encontra:

A \;\to\; \underbrace{B \,\|\, C \,\|\, D}_{\text{mesma espessura, 2 cm}} \;\to\; E \;\to\; \underbrace{F \,\|\, G}_{\text{mesma espessura, 4 cm}}

O critério é o de sempre: materiais que o calor atravessa um depois do outro estão em série; materiais que oferecem caminhos alternativos entre as mesmas duas temperaturas estão em paralelo. $B$ , $C$ e $D$ ocupam a mesma faixa de espessura, empilhados na altura — logo, em paralelo.

Passo 2 — as sete resistências individuais. Como o item pede a taxa por unidade de área, usa-se $R'' = L/k$ , em $\mathrm{(^\circ C\cdot m^2)/W}$ :

R_A = \frac{0{,}03}{0{,}100} = 0{,}3 \qquad R_B = \frac{0{,}02}{0{,}040} = 0{,}5 \qquad R_C = \frac{0{,}02}{0{,}010} = 2

R_D = \frac{0{,}02}{0{,}060} = 0{,}333 \qquad R_E = \frac{0{,}03}{0{,}030} = 1

R_F = \frac{0{,}04}{0{,}040} = 1 \qquad R_G = \frac{0{,}04}{0{,}020} = 2

Passo 3 — o primeiro paralelo, $B\,\|\,C\,\|\,D$ .

\frac{1}{R_{BCD}} = \frac{1}{R_B} + \frac{1}{R_C} + \frac{1}{R_D} = \frac{1}{0{,}5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{0{,}333} = 2 + 0{,}5 + 3 = 5{,}5

R_{BCD} = \frac{1}{5{,}5} = 0{,}182\ \mathrm{(^\circ C\cdot m^2)/W}

Passo 4 — o segundo paralelo, $F\,\|\,G$ .

\frac{1}{R_{FG}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 1{,}5 \qquad\Longrightarrow\qquad R_{FG} = 0{,}667\ \mathrm{(^\circ C\cdot m^2)/W}

Confira os dois: $0{,}182 < 0{,}333$ (a menor do trio) ✔ e $0{,}667 < 1$ ✔ — em paralelo, o equivalente é sempre menor que a menor parcela.

Passo 5 — a série e o resultado.

R_t = R_A + R_{BCD} + R_E + R_{FG} = 0{,}3 + 0{,}182 + 1 + 0{,}667 = 2{,}149\ \mathrm{(^\circ C\cdot m^2)/W}

q'' = \frac{\Delta T}{R_t} = \frac{1000 - 100}{2{,}149} = 418{,}8\ \mathrm{W/m^2}

Passo 6 — onde a temperatura cai.

bloco	$R''$	fração	$\Delta T\ [^\circ\mathrm{C}]$
$A$	$0{,}300$	$14{,}0\ \%$	$126$
$B\,\\|\,C\,\\|\,D$	$0{,}182$	$8{,}5\ \%$	$76$
$E$	$1{,}000$	$46{,}5\ \%$	$419$
$F\,\\|\,G$	$0{,}667$	$31{,}0\ \%$	$279$
total	$2{,}149$	$100\ \%$	$\mathbf{900}$

O material $E$ , sozinho, come quase metade dos $900\ ^\circ\mathrm{C}$ — é a maior resistência do conjunto, e é onde um projeto de forno investiria.

O paralelo do gabarito ignora as frações de área

Vale saber: combinar resistências por unidade de área em paralelo com $1/R_{eq} = \sum 1/R_i$ , como acima, supõe implicitamente que cada material ocupa a área toda — o que não é o caso, já que eles dividem a altura.

O tratamento rigoroso pondera cada ramo pela sua fração de área:

\frac{1}{R''_{eq}} = \sum \frac{f_i}{R''_i} \qquad\text{com}\qquad f_i = \frac{A_i}{A_{total}}

Com $f_B = f_D = 2/12$ , $f_C = 8/12$ e $f_F = f_G = 1/2$ :

R''_{BCD} = 0{,}857 \qquad R''_{FG} = 1{,}333 \qquad R''_t = 3{,}491 \qquad q'' = 258\ \mathrm{W/m^2}

Na prova, siga o gabarito — $418{,}8\ \mathrm{W/m^2}$ é a resposta cobrada. Mas saber que o número rigoroso é $258\ \mathrm{W/m^2}$ evita o susto de encontrar outro valor num livro e achar que errou.

Conferência — cada material com a espessura da sua coluna ✔ os dois paralelos menores que as suas menores parcelas ✔ a série soma direto ✔ as quedas de temperatura somam $900\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔

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Questão 192º EE2023.1Fick · Umidade difundindo por uma parede de gesso2,0 ptsVer material

Considere a difusão de umidade (água na forma de vapor, no ar) através de uma parede de gesso de uma casa. Na parte interna (lado esquerdo), a casa está mantida a $20\ ^\circ\mathrm{C}$ , pressão atmosférica, sendo $70\ \%$ em mol dessa pressão a umidade. A parede possui espessura de $10\ \mathrm{cm}$ . Na parte externa (lado direito), o ambiente está seco (sem umidade no ar), também com pressão atmosférica, a $40\ ^\circ\mathrm{C}$ . Considerando essa uma mistura de gases ideais, determine:

a) (1,0 ponto) A concentração molar da água no meio da espessura da parede.

b) (1,0 ponto) A massa de água que difundirá através da parede (altura $\times$ comprimento: $3{,}0\ \mathrm{m} \times 8{,}0\ \mathrm{m}$ ) durante $24\ \mathrm{h}$ .

Dados: $M_{\text{água}} = 18\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ; $R = 8{,}314\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}K^{-1}}$ ; $D_{\text{água-gesso}} = 2{,}8\times10^{-5}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}$ ; $P = 1\times10^5\ \mathrm{Pa}$ .

O lado externo está seco: a concentração de vapor ali é zero, e é isso que fixa a segunda ponta do perfil.

Gabarito

a)

p_1 = 0{,}70\,P = 7\times10^4\ \mathrm{Pa} \qquad C_1 = \frac{p_1}{R\,T_1} = \frac{7\times10^4}{8{,}314 \times 293} = 28{,}72\ \mathrm{mol/m^3}

C(x) = -287{,}21\,x + 28{,}721 \qquad\Longrightarrow\qquad C(0{,}05) \approx \mathbf{14{,}36\ mol/m^3}

b)

J'' = -D\,\frac{dC}{dx} = -2{,}8\times10^{-5} \times (-287{,}21) = 8{,}04\times10^{-3}\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

m = J''\,A\,t\,M = 8{,}04\times10^{-3} \times 24 \times 8{,}64\times10^{4} \times 0{,}018 \approx \mathbf{300\ kg}

Passo a passo

Passo 1 — a concentração na face interna, pela pressão parcial. A mistura é de gases ideais, então a fração molar vale também para as pressões:

p_1 = x_{\text{água}}\,P = 0{,}70 \times 1\times10^5 = 7\times10^4\ \mathrm{Pa}

C_1 = \frac{p_1}{R\,T_1} = \frac{7\times10^4}{8{,}314 \times (273 + 20)} = \frac{7\times10^4}{2436} = 28{,}72\ \mathrm{mol/m^3}

Passo 2 — a face externa é o dado mais fácil, e o mais fácil de perder. O ambiente externo está seco: sem umidade no ar significa pressão parcial de vapor nula, logo

p_2 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad C_2 = 0

Os $40\ ^\circ\mathrm{C}$ do lado de fora não entram na conta da concentração: com $p_2 = 0$ , qualquer temperatura dá $C_2 = 0$ . É um dado de contexto, não de cálculo.

Passo 3 — o perfil linear e o gradiente.

C(x) = \left(\frac{C_2 - C_1}{L}\right)x + C_1 = \left(\frac{0 - 28{,}721}{0{,}10}\right)x + 28{,}721

C(x) = -287{,}21\,x + 28{,}721 \qquad \frac{dC}{dx} = -287{,}21\ \mathrm{mol/m^4}

Passo 4 — item (a): o meio da parede. Com perfil linear, o meio é a média — mas vale escrever a conta:

x = \frac{L}{2} = 0{,}05\ \mathrm{m} \qquad C = -287{,}21 \times 0{,}05 + 28{,}721 = -14{,}36 + 28{,}72 = 14{,}36\ \mathrm{mol/m^3}

Exatamente metade de $C_1$ , como tinha de ser num perfil reto que termina em zero.

Passo 5 — item (b): a densidade de fluxo, por Fick.

J'' = -D\,\frac{dC}{dx} = -2{,}8\times10^{-5} \times (-287{,}21) = 8{,}04\times10^{-3}\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}

Positivo: a umidade vai de dentro para fora, como esperado (dentro há mais vapor). E, sendo o gradiente constante, esse fluxo é o mesmo em qualquer posição da parede — inclusive no meio.

Passo 6 — de fluxo molar para massa acumulada. Três multiplicações, cada uma convertendo uma coisa:

A = 3{,}0 \times 8{,}0 = 24\ \mathrm{m^2} \qquad t = 24 \times 3600 = 8{,}64\times10^{4}\ \mathrm{s} \qquad M = 18\ \mathrm{g/mol} = 0{,}018\ \mathrm{kg/mol}

m = J''\,A\,t\,M

m = 8{,}04\times10^{-3} \times 24 \times 8{,}64\times10^{4} \times 0{,}018

m = 0{,}1930 \times 8{,}64\times10^{4} \times 0{,}018 = 16\,672 \times 0{,}018 \approx 300\ \mathrm{kg}

O resultado é fisicamente absurdo, e vale saber por quê

$300\ \mathrm{kg}$ de água atravessando $24\ \mathrm{m^2}$ de gesso em um dia é impossível — seriam 300 litros. A culpa é do dado: $D = 2{,}8\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$ é a difusividade de vapor de água no ar livre, não no gesso, onde o valor real é da ordem de $10^{-9}$ a $10^{-10}\ \mathrm{m^2/s}$ — quatro a cinco ordens de grandeza menor.

Com $D = 10^{-9}$ , a mesma conta daria cerca de $10\ \mathrm{g}$ em 24 h, que é a ordem de grandeza que se mede numa casa real.

Na prova, use o dado que o enunciado deu. Mas reconhecer que a ordem de grandeza não fecha é o tipo de comentário que mostra domínio — e protege de aceitar sem pensar qualquer número que a calculadora entregar.

Conferência — a concentração vem da pressão parcial, não da total ✔ o lado seco dá $C_2 = 0$ , e os $40\ ^\circ\mathrm{C}$ não entram ✔ temperatura em kelvin ✔ no meio de um perfil linear que acaba em zero, a concentração é metade da inicial ✔ massa molar de g/mol para kg/mol ✔

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Questão 202º EE2023.2Transferência de calor · Os três mecanismos numa estufa agrícola1,0 ptVer material

Um engenheiro é designado para projetar um sistema de aquecimento para uma estufa agrícola, onde a temperatura precisa ser mantida dentro de uma faixa específica para garantir o crescimento saudável das plantas. Nesse contexto, indique quais são os mecanismos de transferência de calor existentes, e onde pode atuar cada mecanismo nesse processo de aquecimento.

Os três mecanismos atuam ao mesmo tempo, e em lugares diferentes: fora, atravessando, e dentro.

Gabarito

Existem três mecanismos, e todos aparecem no problema:

radiação — emitida pelo Sol, responsável pelo aquecimento da estufa (bem como das próprias plantas). Não precisa de meio material, e é como a energia chega do espaço até a cobertura;
condução — no material que compõe a estufa (plástico, vidro, metal da estrutura), atravessando a espessura da cobertura;
convecção — dentro da estufa, devido à variação de temperatura, que provoca mudança de densidade do ar e o faz circular. E também na face externa, do vento sobre a cobertura.

Passo a passo

1 — Radiação: como a energia chega. O Sol emite ondas eletromagnéticas que atravessam o vácuo e a atmosfera. Não é preciso meio material — este é o único dos três mecanismos que funciona no vácuo.

q = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{viz}^4)

Onde atua na estufa:

aquece a cobertura (plástico ou vidro);
atravessa parte dela e aquece o solo e as próprias plantas;
de noite, atua no sentido contrário: a estufa emite para o céu frio, e é por isso que a temperatura cai.

2 — Condução: como a energia atravessa. Dentro do material da cobertura — plástico, vidro, o metal da estrutura — o calor passa de molécula a molécula, sem que a matéria se mova.

q = -k\,A\,\frac{dT}{dx}

Onde atua: através da espessura da cobertura, e também pelo solo, que troca calor com o subsolo por condução.

3 — Convecção: como a energia se espalha por dentro. Dentro da estufa, o ar junto ao solo aquecido fica menos denso e sobe; o ar mais frio do topo desce. A circulação se sustenta sozinha — é convecção natural.

q = h\,A\,(T_s - T_\infty)

Onde atua:

dentro, distribuindo o calor do solo e das plantas para todo o volume de ar (natural);
fora, do vento sobre a cobertura (forçada) — e é por aqui que a estufa perde calor;
e se o projeto usar ventiladores ou um sistema de ar aquecido, a convecção interna passa a ser forçada.

O formato desta questão

O professor não pede a definição dos mecanismos: pede onde cada um atua num sistema real. A resposta completa tem duas partes por mecanismo:

mecanismo	onde atua na estufa
radiação	Sol → cobertura, solo e plantas; e a perda para o céu à noite
condução	através do material da cobertura e pelo solo
convecção	circulação do ar interno; vento na face externa

Responder só “são condução, convecção e radiação” perde metade dos pontos, porque a pergunta tem duas metades.

Conferência — os três mecanismos, e cada um com o lugar em que atua ✔ dizer que a radiação dispensa meio material ✔ apontar que a convecção interna é natural (nasce da diferença de densidade) e a externa é forçada ✔

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Questão 212º EE2023.2Radiação · O percentual de aumento com a quarta potência2,0 ptsVer material

Admita que radiação seja emitida por uma superfície real a $350\ \mathrm{K}$ com uma emissividade de $0{,}55$ . Em que percentual é aumentada a radiação emitida da superfície se a temperatura for aumentada para $1273\ \mathrm{K}$ ? Compare com o percentual em que se aumentou a temperatura.

Dado: $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$ .

Gabarito

q''_{350} = \varepsilon\,\sigma\,T^4 = 0{,}55 \cdot 5{,}67\times10^{-8} \cdot 350^4 = 4{,}68\times10^{2}\ \mathrm{W/m^2}

q''_{1273} = 0{,}55 \cdot 5{,}67\times10^{-8} \cdot 1273^4 = 8{,}19\times10^{4}\ \mathrm{W/m^2}

Aumento da radiação:

\frac{8{,}19\times10^{4} - 4{,}68\times10^{2}}{4{,}68\times10^{2}} \times 100\ \% \approx \mathbf{17\,400\ \%}

Aumento da temperatura:

\frac{1273 - 350}{350} \times 100\ \% \approx \mathbf{264\ \%}

A temperatura subiu $264\ \%$ ; a radiação emitida subiu $17\,400\ \%$ — cerca de 66 vezes mais, porque a emissão depende de $T^4$ .

Passo a passo

Passo 1 — a lei de Stefan-Boltzmann para superfície real. A questão pede a radiação emitida pela superfície, não a troca líquida com a vizinhança — então não há o termo $T_{viz}^4$ :

q'' = \varepsilon\,\sigma\,T^4

Passo 2 — a emissão a $350\ \mathrm{K}$ .

350^4 = (3{,}5\times10^2)^4 = 3{,}5^4 \times 10^8 = 150{,}06 \times 10^8 = 1{,}5006\times10^{10}\ \mathrm{K^4}

q''_{350} = 0{,}55 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 1{,}5006\times10^{10} = 0{,}55 \times 850{,}9 = 468\ \mathrm{W/m^2}

Passo 3 — a emissão a $1273\ \mathrm{K}$ .

1273^2 = 1{,}6205\times10^{6} \qquad 1273^4 = (1{,}6205\times10^{6})^2 = 2{,}6261\times10^{12}\ \mathrm{K^4}

q''_{1273} = 0{,}55 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 2{,}6261\times10^{12} = 0{,}55 \times 148\,900 = 81\,895\ \mathrm{W/m^2}

Ou seja, de $0{,}47\ \mathrm{kW/m^2}$ para $82\ \mathrm{kW/m^2}$ .

Passo 4 — o percentual de aumento da radiação. “Em que percentual é aumentada” pede a variação relativa, não a razão:

\frac{\Delta q''}{q''_{350}} = \frac{81\,895 - 468}{468} = \frac{81\,427}{468} = 174{,}0 \qquad\Longrightarrow\qquad 17\,400\ \%

Passo 5 — o percentual de aumento da temperatura.

\frac{1273 - 350}{350} = \frac{923}{350} = 2{,}637 \qquad\Longrightarrow\qquad 264\ \%

Passo 6 — a comparação, que é o que a questão realmente pede. Multiplicar a temperatura absoluta por $k$ multiplica a emissão por $k^4$ :

\frac{T_2}{T_1} = \frac{1273}{350} = 3{,}637 \qquad\Longrightarrow\qquad \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = 3{,}637^4 = 175

que é exatamente a razão do Passo 4 ✔ — a conferência sai de graça, e sem calcular nenhuma quarta potência grande.

\underbrace{264\ \%}_{\text{temperatura}} \qquad\text{contra}\qquad \underbrace{17\,400\ \%}_{\text{radiação}}

A conclusão a escrever: a radiação não cresce em proporção à temperatura; cresce com a quarta potência dela. Pouco mais que triplicar a temperatura absoluta multiplicou a emissão por 175.

Conferência — a temperatura já vem em kelvin, e é nela que se eleva à quarta ✔ “percentual de aumento” leva o $-1$ ✔ a razão das emissões tem de dar $(T_2/T_1)^4$ ✔ os dois percentuais pedidos são $264\ \%$ e $17\,400\ \%$ , e a comparação entre eles é a resposta ✔

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Questão 222º EE2023.2Esfera · Quando o calor entra e o fluxo sai negativo2,5 ptsVer material

Considere uma esfera de um material $A$ (de temperatura constante), recoberta por uma camada de um material $B$ , também recoberta com uma camada de um isolante térmico. Na parte externa da esfera, um fluido escoa fazendo convecção.

Dados: $T_1 = 20\ ^\circ\mathrm{C}$ ; $T_\infty = 120\ ^\circ\mathrm{C}$ ; $r_1 = 5\ \mathrm{cm}$ ; $r_2 = 8\ \mathrm{cm}$ ; $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ ; $k_B = 4{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $k_{iso} = 0{,}07\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $h_e = 2{,}0\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ .

Determine:

a) (0,5 pontos) O raio crítico de isolamento.

b) (1,0 ponto) A taxa de transferência de calor através do sistema.

c) (1,0 ponto) As temperaturas entre as interfaces ( $B$ –iso e iso–fluido).

Diferente do caso usual, aqui $T_\infty > T_1$ : o fluido aquece a esfera, e o fluxo sai negativo na convenção de dentro para fora.

Gabarito

a)

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e} = \frac{2 \times 0{,}07}{2{,}0} = \mathbf{0{,}07\ m} = 7\ \mathrm{cm}

Como $r_3 = 10\ \mathrm{cm} > r_c$ , o sistema está depois do raio crítico: acrescentar isolante reduz a troca.

b)

R_B = 0{,}15 \qquad R_{iso} = 2{,}84 \qquad R_{conv} = 3{,}98 \qquad R_T = 6{,}97\ \mathrm{K/W}

q = \frac{293 - 393}{6{,}97} = \mathbf{-14{,}35\ W}

O sinal negativo diz que o calor entra na esfera (o fluido está mais quente).

c)

T_2 = T_1 - q\,R_B = 293 + 14{,}35 \times 0{,}15 \approx \mathbf{295{,}1\ K}\ (22{,}1\ ^\circ\mathrm{C})

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 295{,}1 + 14{,}35 \times 2{,}84 \approx \mathbf{335{,}9\ K}\ (62{,}9\ ^\circ\mathrm{C})

Passo a passo

Passo 1 — o raio crítico, item (a). Para esfera:

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e} = \frac{2 \times 0{,}07}{2{,}0} = 0{,}07\ \mathrm{m} = 7\ \mathrm{cm}

E o diagnóstico: $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ é maior que $r_c = 7\ \mathrm{cm}$ , logo o sistema já passou do crítico. Nessa faixa, mais isolante diminui a troca de calor — o comportamento que a intuição espera.

Passo 2 — as três resistências, item (b). Os raios em metros: $r_1 = 0{,}05$ , $r_2 = 0{,}08$ , $r_3 = 0{,}10$ .

R_B = \frac{1/r_1 - 1/r_2}{4\pi k_B} = \frac{20 - 12{,}5}{4\pi \times 4{,}0} = \frac{7{,}5}{50{,}27} = 0{,}149\ \mathrm{K/W}

R_{iso} = \frac{1/r_2 - 1/r_3}{4\pi k_{iso}} = \frac{12{,}5 - 10}{4\pi \times 0{,}07} = \frac{2{,}5}{0{,}8796} = 2{,}842\ \mathrm{K/W}

R_{conv} = \frac{1}{h_e\,4\pi r_3^2} = \frac{1}{2{,}0 \times 4\pi \times (0{,}10)^2} = \frac{1}{0{,}2513} = 3{,}979\ \mathrm{K/W}

R_T = 0{,}149 + 2{,}842 + 3{,}979 = 6{,}970\ \mathrm{K/W}

Passo 3 — as temperaturas em kelvin, e o sinal.

T_1 = 20 + 273 = 293\ \mathrm{K} \qquad T_\infty = 120 + 273 = 393\ \mathrm{K}

q = \frac{T_1 - T_\infty}{R_T} = \frac{293 - 393}{6{,}970} = \frac{-100}{6{,}970} = -14{,}35\ \mathrm{W}

O sinal negativo é resposta, não erro

Mantida a convenção “de dentro para fora” ( $T_1 - T_\infty$ no numerador), o sinal informa o sentido:

$q > 0$ → o calor sai da esfera (a esfera está mais quente);
$q < 0$ → o calor entra na esfera (o fluido está mais quente).

Aqui $T_\infty = 393 > T_1 = 293$ , então o resultado tem de ser negativo. Escrever $|q| = 14{,}35\ \mathrm{W}$ “entrando” é igualmente correto — o que não pode é trocar o sentido sem dizer.

E note que $\Delta T$ de $100\ \mathrm{K}$ é o mesmo de $100\ ^\circ\mathrm{C}$ : em condução e convecção só a diferença entra, e ela não muda de escala. Converter para kelvin aqui é hábito, não necessidade — diferente da radiação.

Passo 4 — as temperaturas das interfaces, item (c). Uma resistência por vez, a partir de $T_1$ , mantendo o sinal de $q$ :

T_2 = T_1 - q\,R_B = 293 - (-14{,}35)(0{,}149) = 293 + 2{,}14 = 295{,}1\ \mathrm{K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 295{,}1 - (-14{,}35)(2{,}842) = 295{,}1 + 40{,}8 = 335{,}9\ \mathrm{K}

As temperaturas crescem de dentro para fora — como tem de ser, já que o calor entra de fora.

Em Celsius: $T_2 = 22{,}1\ ^\circ\mathrm{C}$ e $T_3 = 62{,}9\ ^\circ\mathrm{C}$ .

Passo 5 — a conferência pela convecção. Do lado externo:

T_3 - T_\infty = q\,R_{conv} = -14{,}35 \times 3{,}979 = -57{,}1\ \mathrm{K} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = 393 - 57{,}1 = 335{,}9\ \mathrm{K}\ \checkmark

Fecha pelos dois caminhos.

Passo 6 — onde o $\Delta T$ se concentra.

| resistência | valor $[\mathrm{K/W}]$ | fração | $|\Delta T|$ $[\mathrm{K}]$ | |---|---|---|---| | condução em $B$ | $0{,}149$ | $2{,}1\ \%$ | $2{,}1$ | | condução no isolante | $2{,}842$ | $40{,}8\ \%$ | $40{,}8$ | | convecção externa | $3{,}979$ | $\mathbf{57{,}1\ \%}$ | $57{,}1$ | | total | $6{,}970$ | $100\ \%$ | $\mathbf{100{,}0}$ |

O material $B$ é praticamente transparente ao calor ( $k_B = 4$ , cinquenta vezes o do isolante). Quem segura são o isolante e o ar externo, quase em partes iguais.

Conferência — raio crítico de esfera com o fator 2 ✔ resistência esférica sem $L$ ✔ convecção com $4\pi r_3^2$ ✔ $q$ negativo, porque o fluido é o mais quente ✔ as temperaturas crescem para fora ✔ as quedas somam $100\ \mathrm{K}$ ✔

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Questão 232º EE2023.2Membrana · Perfil exponencial de concentração2,5 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , através de uma membrana porosa. Na face esquerda, a concentração total da mistura é de $100{,}0\ \mathrm{mol/m^3}$ e $85\ \%$ (em mol) dessa mistura é da espécie $A$ . Na outra face, a concentração total é de $40{,}0\ \mathrm{mol/m^3}$ e $60\ \%$ (em mol) dessa mistura é da espécie $B$ . A espessura da membrana é de $20\ \mathrm{cm}$ e sua área lateral é de $5\ \mathrm{m^2}$ . O coeficiente de difusão binária de $A$ e $B$ na membrana é de $3{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ a taxa de transferência de massa no meio da membrana. Admita regime permanente, unidimensional na direção $x$ . O perfil de concentração de cada espécie é dado por

C(x) = C_1\,e^{C_2 x}

no qual $C_1$ e $C_2$ são constantes.

Os dois perfis são exponenciais, e a concentração total não é constante ( $100 \to 40$ ): os dois fluxos não são opostos.

Gabarito

Concentrações nas faces: $C_{EA} = 85$ , $C_{EB} = 15$ , $C_{DA} = 16$ , $C_{DB} = 24\ \mathrm{mol/m^3}$ .

Espécie $A$ :

C_{1A} = 85 \qquad C_{2A} = \frac{1}{L}\ln\!\frac{C_{DA}}{C_{EA}} = \frac{1}{0{,}2}\ln\frac{16}{85} = -8{,}35\ \mathrm{m^{-1}}

J_A(x) = -D_{AB}\,A\,\frac{dC_A}{dx} = 106{,}5\,e^{-8{,}35x} \qquad\Longrightarrow\qquad J_A(0{,}1) \approx \mathbf{46{,}2\ mol/s}

Espécie $B$ :

C_{1B} = 15 \qquad C_{2B} = \frac{1}{0{,}2}\ln\frac{24}{15} = +2{,}35\ \mathrm{m^{-1}}

J_B(x) = -5{,}29\,e^{2{,}35x} \qquad\Longrightarrow\qquad J_B(0{,}1) \approx \mathbf{-6{,}69\ mol/s}

Passo a passo

Passo 1 — as concentrações nas duas faces. Cada face tem a sua concentração total, e a fração dada é de uma espécie diferente em cada lado — as duas armadilhas de sempre.

Face esquerda ( $C_E = 100$ , $x_{EA} = 0{,}85$ ):

C_{EA} = 0{,}85 \times 100 = 85 \qquad C_{EB} = (1 - 0{,}85) \times 100 = 15

Face direita ( $C_D = 40$ , $x_{DB} = 0{,}60$ ):

C_{DB} = 0{,}60 \times 40 = 24 \qquad C_{DA} = (1 - 0{,}60) \times 40 = 16

todos em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par fecha com a sua total: $85+15 = 100$ ✔ e $16+24 = 40$ ✔

Passo 2 — achar as constantes do perfil exponencial. Duas condições de contorno para duas constantes.

Em $x = 0$ (face esquerda), $e^{0} = 1$ , então a constante $C_1$ sai de graça:

C_A(0) = C_{1A}\,e^{0} = C_{1A} = C_{EA} = 85

Em $x = L$ (face direita):

C_{DA} = C_{1A}\,e^{C_{2A}L} \qquad\Longrightarrow\qquad \ln C_{DA} = \ln C_{EA} + C_{2A}L \qquad\Longrightarrow\qquad C_{2A} = \frac{1}{L}\ln\!\frac{C_{DA}}{C_{EA}}

C_{2A} = \frac{1}{0{,}2}\ln\!\frac{16}{85} = 5 \times \ln(0{,}1882) = 5 \times (-1{,}6706) = -8{,}353\ \mathrm{m^{-1}}

C_A(x) = 85\,e^{-8{,}353x}

Negativo, como esperado: a concentração de $A$ cai ao atravessar a membrana.

Passo 3 — o mesmo para $B$ .

C_{1B} = C_{EB} = 15 \qquad C_{2B} = \frac{1}{0{,}2}\ln\!\frac{24}{15} = 5 \times \ln(1{,}6) = 5 \times 0{,}4700 = 2{,}350\ \mathrm{m^{-1}}

C_B(x) = 15\,e^{2{,}350x}

Positivo: a concentração de $B$ cresce para a direita.

Passo 4 — a taxa, com a área já dentro. O enunciado pede a taxa de transferência de massa (em $\mathrm{mol/s}$ ), não a densidade de fluxo — então a área entra na conta:

J_A(x) = -D_{AB}\,A\,\frac{dC_A}{dx}

Derivando o perfil exponencial:

\frac{dC_A}{dx} = C_{1A}\,C_{2A}\,e^{C_{2A}x} = 85 \times (-8{,}353)\,e^{-8{,}353x}

J_A(x) = -\,(3{,}0\times10^{-2})(5)(85)(-8{,}353)\,e^{-8{,}353x} = 106{,}5\,e^{-8{,}353x}

Passo 5 — avaliar no meio, $x = L/2 = 0{,}1\ \mathrm{m}$ .

J_A(0{,}1) = 106{,}5 \times e^{-0{,}8353} = 106{,}5 \times 0{,}4339 = 46{,}2\ \mathrm{mol/s}

Passo 6 — o mesmo para $B$ .

J_B(x) = -\,(3{,}0\times10^{-2})(5)(15)(2{,}350)\,e^{2{,}350x} = -5{,}29\,e^{2{,}350x}

J_B(0{,}1) = -5{,}29 \times e^{0{,}235} = -5{,}29 \times 1{,}2649 = -6{,}69\ \mathrm{mol/s}

Passo 7 — ler os sinais. $J_A > 0$ : $A$ migra da esquerda para a direita, onde há menos $A$ . $J_B < 0$ : $B$ migra da direita para a esquerda, onde há menos $B$ . Cada espécie desce o seu gradiente, em sentidos opostos.

Conferência — cada face com a sua concentração total ✔ a fração da direita é de $B$ ✔ $C_1$ é a concentração da face $x = 0$ , sem conta ✔ o perfil exponencial faz o fluxo variar com a posição, então avaliar em $x = L/2$ é obrigatório ✔ a área entra, porque se pede taxa e não densidade ✔ $C_{2A} < 0$ e $C_{2B} > 0$ ✔

Sobre o gabarito — a resolução oficial chega a $J_A(0{,}1) = 49{,}19\ \mathrm{mol/s}$ . Refazendo com os próprios números dela ( $106{,}47 \times e^{-0{,}8353}$ ), o resultado é $46{,}2$ — parece um dígito trocado na digitação ( $46{,}19 \to 49{,}19$ ). O valor de $B$ , $-6{,}70$ , confere exatamente. O método do gabarito é o mesmo dos passos acima.

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Questão 242º EE2024.2Continuidade · Tubo convergente com massa específica variávelVer material

Ar escoa num tubo convergente. A área de maior seção do tubo é $20\ \mathrm{cm^2}$ e a menor, $10\ \mathrm{cm^2}$ . A massa específica do ar na seção (1) é $0{,}12\ \mathrm{utm/m^3}$ , enquanto na seção (2) é $0{,}09\ \mathrm{utm/m^3}$ . Sendo a velocidade na seção (1) igual a $10\ \mathrm{m/s}$ , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa.

A massa específica muda de uma seção para a outra: é escoamento compressível, e $A_1 v_1 = A_2 v_2$ não vale.

Gabarito

\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2 \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = \frac{\rho_1 A_1 v_1}{\rho_2 A_2}

v_2 = \frac{0{,}12 \times 20 \times 10}{0{,}09 \times 10} = \frac{24}{0{,}9} \approx \mathbf{26{,}7\ m/s}

\dot m = \rho_1 A_1 v_1 = 0{,}12 \times 20\times10^{-4} \times 10 = \mathbf{2{,}4\times10^{-3}\ utm/s}

(equivalente a $2{,}35\times10^{-2}\ \mathrm{kg/s}$ , já que $1\ \mathrm{utm} = 9{,}81\ \mathrm{kg}$ )

Passo a passo

Passo 1 — a forma correta da continuidade. Em regime permanente, o que se conserva é a massa, não o volume:

\dot m_1 = \dot m_2 \qquad\Longrightarrow\qquad \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2

Passo 2 — isolar $v_2$ . As áreas aparecem em razão, então não precisam ser convertidas — $\mathrm{cm^2}$ se cancela com $\mathrm{cm^2}$ . O mesmo para as massas específicas.

v_2 = \frac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\frac{A_1}{A_2}\cdot v_1 = \frac{0{,}12}{0{,}09} \times \frac{20}{10} \times 10

v_2 = 1{,}3333 \times 2 \times 10 = 26{,}67\ \mathrm{m/s}

Vale ler o resultado em duas parcelas: o estreitamento da seção acelera o ar em 2 vezes, e a expansão do ar (a queda de densidade) acelera outros 1,33 — juntos, $2{,}67$ vezes.

Passo 3 — a vazão em massa. Aqui as unidades importam, porque o resultado é absoluto:

A_1 = 20\ \mathrm{cm^2} = 20 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 2{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

\dot m = \rho_1 A_1 v_1 = 0{,}12 \times 2{,}0\times10^{-3} \times 10 = 2{,}4\times10^{-3}\ \mathrm{utm/s}

A utm, que só aparece no sistema técnico

A unidade técnica de massa é a massa que, sob $1\ \mathrm{kgf}$ , acelera a $1\ \mathrm{m/s^2}$ :

1\ \mathrm{utm} = \frac{1\ \mathrm{kgf}}{1\ \mathrm{m/s^2}} = 9{,}81\ \mathrm{kg}

Então $\rho_1 = 0{,}12\ \mathrm{utm/m^3}$ é $1{,}18\ \mathrm{kg/m^3}$ — o ar em condições normais, como se esperava. E a vazão em massa em SI:

\dot m = 2{,}4\times10^{-3} \times 9{,}81 = 2{,}35\times10^{-2}\ \mathrm{kg/s} = 23{,}5\ \mathrm{g/s}

O enunciado está todo no sistema técnico, então responder em $\mathrm{utm/s}$ está correto; converter é cortesia.

Passo 4 — a conferência pela seção 2. A vazão em massa tem de ser a mesma nas duas seções:

\dot m_2 = \rho_2 A_2 v_2 = 0{,}09 \times 10\times10^{-4} \times 26{,}67 = 0{,}09 \times 10^{-3} \times 26{,}67 = 2{,}4\times10^{-3}\ \mathrm{utm/s}\ \checkmark

Fecha. Essa checagem custa uma linha e pega qualquer erro de álgebra do Passo 2.

Conferência — com $\rho$ variável, a continuidade é a mássica ✔ na razão, as áreas podem ficar em $\mathrm{cm^2}$ ; na vazão, têm de ir para $\mathrm{m^2}$ ✔ $\dot m$ calculado pelas duas seções tem de dar o mesmo ✔ $v_2 > v_1$ , porque a seção estreita e o ar se expande ✔

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Questão 252º EE2024.2Bernoulli · A interpretação física da equaçãoVer material

Qual a interpretação física da equação de Bernoulli?

Gabarito

A equação de Bernoulli é a conservação da energia mecânica aplicada a um fluido ideal (sem viscosidade), incompressível, em regime permanente, ao longo de uma mesma linha de corrente:

\frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constante} = H

Cada termo é uma energia por unidade de peso do fluido — e por isso todos têm unidade de comprimento (metro de coluna de fluido), sendo chamados de cargas:

$\dfrac{p}{\gamma}$ — carga de pressão (energia de pressão);
$\dfrac{v^2}{2g}$ — carga cinética (energia cinética);
$z$ — carga geométrica (energia potencial de posição).

A interpretação: a soma das três é constante ao longo do escoamento. O fluido pode trocar energia entre as formas — ganhar velocidade perdendo pressão, ganhar altura perdendo velocidade —, mas o total não muda, porque não há atrito para dissipar nem máquina para adicionar ou retirar.

Passo a passo

1 — De onde a equação vem. É a segunda lei de Newton (ou o teorema da energia mecânica) aplicada a uma partícula de fluido ao longo de uma linha de corrente. Dividindo tudo pelo peso do elemento, cada termo de energia vira energia por unidade de peso:

\underbrace{\frac{p}{\gamma}}_{\mathrm{m}} + \underbrace{\frac{v^2}{2g}}_{\mathrm{m}} + \underbrace{z}_{\mathrm{m}} = H

2 — O que cada termo significa fisicamente.

carga de pressão $p/\gamma$ — a altura a que o fluido subiria num tubo vertical aberto ligado ao ponto (um piezômetro). É a energia armazenada na compressão do fluido;
carga cinética $v^2/2g$ — a altura a que o fluido subiria se toda a sua velocidade fosse convertida em subida, como um jato apontado para cima. É a energia do movimento;
carga geométrica $z$ — a altura do ponto acima do plano de referência. É a energia de posição.

3 — A leitura central: as trocas. O que a equação diz é que o fluido negocia energia entre as três formas:

onde	o que acontece
estreitamento (Venturi)	a velocidade sobe, a pressão cai
alargamento	a velocidade cai, a pressão sobe
subida de tubulação	$z$ sobe, e pressão ou velocidade caem
furo num tanque (Torricelli)	a carga geométrica vira carga cinética
asa de avião	ar mais rápido em cima → pressão menor em cima → sustentação

O caso do Venturi é o mais contraintuitivo e o mais cobrado: onde o fluido corre mais rápido, a pressão é menor — o oposto do que a intuição sugere.

4 — O que muda quando as hipóteses caem. É essa comparação que mostra que a interpretação foi entendida:

\underbrace{\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1}_{H_1} + \underbrace{H_B}_{\text{bomba}} = \underbrace{\frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2}_{H_2} + \underbrace{H_T}_{\text{turbina}} + \underbrace{h_p}_{\text{perda de carga}}

com atrito (fluido real), $H$ diminui no sentido do escoamento: aparece $h_p$ , e a energia perdida vira calor;
com bomba, $H$ aumenta na máquina;
com turbina, $H$ diminui — mas como trabalho útil, não como calor.

Bernoulli é o caso particular em que os três termos extras são nulos.

Conferência — dizer que é conservação de energia por unidade de peso, e que por isso os termos dão metro ✔ nomear os três termos ✔ listar as hipóteses ✔ dar ao menos um exemplo de troca entre as formas ✔

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Questão 262º EE2024.2Torricelli · Velocidade de descarga de um tanqueVer material

O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. Considerando o fluido ideal, determinar a velocidade da água descarregada, se a seção do tubo é $10\ \mathrm{cm^2}$ .

Dado: $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

O que move a água é o desnível entre a superfície livre e a saída: $10 - 2 = 8\ \mathrm{m}$ . As cotas são medidas do chão, mas o chão não entra na conta.

Gabarito

v_2 = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 8} = \sqrt{156{,}8} \approx \mathbf{12{,}5\ m/s}

E, de passagem, a vazão:

Q = A\,v_2 = 10\times10^{-4} \times 12{,}52 = 1{,}25\times10^{-2}\ \mathrm{m^3/s} = 12{,}5\ \mathrm{L/s}

Passo a passo

Passo 1 — escolher os pontos. Ponto ① na superfície livre do tanque, ponto ② na saída do tubo. São os dois únicos lugares em que se conhece a pressão.

Passo 2 — Bernoulli, e o que cai. Fluido ideal significa sem perda de carga:

\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2

$p_1 = p_2 = p_{atm}$ — o tanque é aberto e o jato descarrega no ar. As duas parcelas de pressão se cancelam;
$v_1 \approx 0$ — o tanque é de grandes dimensões, então a superfície livre desce devagar. É exatamente isso que a expressão do enunciado autoriza.

Sobra:

z_1 - z_2 = \frac{v_2^2}{2g} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;v_2 = \sqrt{2\,g\,h}\;}

que é o teorema de Torricelli.

Passo 3 — o desnível certo, que é onde a questão derruba. As duas cotas da figura são medidas do chão: a superfície livre a $10\ \mathrm{m}$ e a saída a $2\ \mathrm{m}$ . O que importa é a diferença:

h = z_1 - z_2 = 10 - 2 = 8\ \mathrm{m}

Usar $h = 10\ \mathrm{m}$ (esquecendo que a saída está elevada) daria $v = 14{,}0\ \mathrm{m/s}$ — $12\ \%$ acima. Usar $h = 2\ \mathrm{m}$ daria $6{,}3\ \mathrm{m/s}$ .

Passo 4 — o número.

v_2 = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 8} = \sqrt{156{,}8} = 12{,}52\ \mathrm{m/s}

Passo 5 — a vazão, que a área do enunciado permite calcular. A seção de $10\ \mathrm{cm^2}$ não entra no cálculo da velocidade — Torricelli não depende dela. Ela serve para a vazão:

A = 10\ \mathrm{cm^2} = 10\times10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

Q = A\,v_2 = 1{,}0\times10^{-3} \times 12{,}52 = 1{,}25\times10^{-2}\ \mathrm{m^3/s} = 12{,}5\ \mathrm{L/s}

Conferência — $v_1 \approx 0$ vem de “grandes dimensões” ✔ as duas pressões se cancelam, porque tanque aberto e descarga livre ✔ $h$ é a diferença de cotas, $8\ \mathrm{m}$ e não $10$ ✔ a área não entra na velocidade, só na vazão ✔ $\mathrm{cm^2} \to \mathrm{m^2}$ é $10^{-4}$ ✔

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Questão 272º EE2024.2Fourier · Condutividade a partir da temperatura no centroVer material

Considere uma parede plana de área lateral $5\ \mathrm{m^2}$ e espessura $20\ \mathrm{cm}$ . A temperatura na face esquerda da parede é de $100\ ^\circ\mathrm{C}$ , enquanto que no centro dela é de $30\ ^\circ\mathrm{C}$ . A taxa de calor que passa através da parede é de $10\,000\ \mathrm{W}$ . Considerando um sistema de transferência de calor por condução, sem geração ou acúmulo de calor, determine a condutividade térmica do material da parede. Admita um perfil linear de temperaturas.

A temperatura de $30\ ^\circ\mathrm{C}$ é do centro: a espessura que corresponde à queda de $70\ ^\circ\mathrm{C}$ é $10\ \mathrm{cm}$ , não $20$ .

Gabarito

q = k\,A\,\frac{\Delta T}{\Delta x} \qquad\Longrightarrow\qquad k = \frac{q\,\Delta x}{A\,\Delta T}

k = \frac{10\,000 \times 0{,}10}{5 \times 70} = \frac{1000}{350} \approx \mathbf{2{,}86\ W/(m\cdot K)}

Passo a passo

Passo 1 — o que “sem geração ou acúmulo” garante. Duas coisas, e as duas são usadas:

sem acúmulo → regime permanente;
sem geração → o mesmo $q$ atravessa todas as seções da parede.

Juntas, com $k$ e $A$ constantes, elas obrigam $dT/dx$ a ser constante — e é daí que vem o perfil linear que o enunciado manda admitir. Ele não é hipótese extra: é consequência.

Passo 2 — a lei de Fourier em forma finita. Com o perfil reto, a derivada vira razão de diferenças:

q = -k\,A\,\frac{dT}{dx} = k\,A\,\frac{T_1 - T_2}{\Delta x}

Passo 3 — a espessura correta, que é a armadilha inteira. A segunda temperatura é do centro da parede, não da face direita. Então:

\Delta x = \frac{L}{2} = \frac{0{,}20}{2} = 0{,}10\ \mathrm{m}

k = \frac{q\,\Delta x}{A\,(T_1 - T_2)} = \frac{10\,000 \times 0{,}10}{5 \times 70} = \frac{1000}{350} = 2{,}857\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

Passo 4 — o que o perfil linear diz sobre a face direita. Como a queda é de $70\ ^\circ\mathrm{C}$ em $10\ \mathrm{cm}$ , o gradiente é

\frac{dT}{dx} = -\frac{70}{0{,}10} = -700\ ^\circ\mathrm{C/m}

e nos $10\ \mathrm{cm}$ seguintes cai outros $70\ ^\circ\mathrm{C}$ :

T_3 = 30 - 70 = -40\ ^\circ\mathrm{C}

Essa extrapolação é a conferência da hipótese: o perfil reto exige que a face direita esteja a $-40\ ^\circ\mathrm{C}$ . É uma temperatura estranha para uma parede comum, e vale dizer isso — o exercício é numérico, não realista.

E confere pela parede inteira:

q = k\,A\,\frac{100 - (-40)}{0{,}20} = 2{,}857 \times 5 \times \frac{140}{0{,}20} = 2{,}857 \times 5 \times 700 = 10\,000\ \mathrm{W}\ \checkmark

A mesma taxa, usando a espessura total com o $\Delta T$ total — como tinha de ser em série sem geração.

Conferência — $\Delta x = L/2$ , porque a segunda temperatura é a do centro ✔ $\Delta T$ em $^\circ\mathrm{C}$ ou K dá o mesmo, por ser diferença ✔ $q$ é taxa em watt, então $A$ entra ✔ refazer a conta com a espessura total e o $\Delta T$ total tem de dar o mesmo $q$ ✔

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Questão 282º EEProva · turma EMDedução · Equação de Bernoulli pela segunda lei de NewtonVer material

A partir do diagrama, aplicando a segunda lei de Newton, deduza a equação de Bernoulli para escoamento em regime permanente, incompressível e invíscido (coordenadas cartesianas), ao longo de uma linha de corrente.

O elemento é fatiado ao longo da linha de corrente: só a direção $s$ interessa, e nela agem duas pressões e a componente do peso.

Gabarito

\frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constante}

ao longo de uma mesma linha de corrente.

Passo a passo

Passo 1 — o elemento e as forças na direção do escoamento. Toma-se um elemento de fluido de área transversal $dA$ e comprimento $ds$ ao longo da linha de corrente, inclinada de $\theta$ com a horizontal. Na direção $s$ agem:

a pressão na face de trás, empurrando para frente: $p\,dA$ ;
a pressão na face da frente, empurrando para trás: $(p + dp)\,dA$ ;
a componente do peso ao longo de $s$ : $-\rho\,g\,dA\,ds\,\sin\theta$ .

Passo 2 — a segunda lei de Newton. A massa do elemento é $dm = \rho\,dA\,ds$ :

\sum F_s = dm\,a_s

p\,dA - (p + dp)\,dA - \rho\,g\,dA\,ds\,\sin\theta = \rho\,dA\,ds\,a_s

O termo $p\,dA$ cancela com parte do segundo:

-\,dp\,dA - \rho\,g\,dA\,ds\,\sin\theta = \rho\,dA\,ds\,a_s

Passo 3 — a geometria: $\sin\theta$ vira $dz/ds$ . Este é o passo que conecta a inclinação à altura, e é o que o diagrama mostra:

\sin\theta = \frac{dz}{ds} \qquad\Longrightarrow\qquad ds\,\sin\theta = dz

-\,dp\,dA - \rho\,g\,dA\,dz = \rho\,dA\,ds\,a_s

Dividindo tudo por $\rho\,dA$ :

-\frac{dp}{\rho} - g\,dz = ds\,a_s

Passo 4 — a aceleração em regime permanente. A velocidade não muda com o tempo num ponto fixo, mas muda de ponto a ponto ao longo de $s$ . Pela regra da cadeia:

a_s = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\cdot\frac{ds}{dt} = v\,\frac{dv}{ds} \qquad\Longrightarrow\qquad ds\,a_s = v\,dv

Esta é a aceleração convectiva: a partícula acelera porque muda de lugar, e nos lugares novos a velocidade é outra. Sem ela a dedução não fecha.

-\frac{dp}{\rho} - g\,dz = v\,dv

Passo 5 — reorganizar: a equação de Euler ao longo da linha de corrente.

\boxed{\;\frac{dp}{\rho} + v\,dv + g\,dz = 0\;}

Passo 6 — integrar, e é aqui que entra “incompressível”. Como $\rho$ é constante, ele sai da integral:

\frac{1}{\rho}\int dp + \int v\,dv + g\int dz = 0

\frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + g\,z = \text{constante}

Se $\rho$ dependesse de $p$ (gás), a primeira integral não seria $p/\rho$ e a equação sairia diferente — é exatamente aí que a hipótese de incompressibilidade é usada.

Passo 7 — dividir por $g$ para chegar à forma de cargas.

\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constante} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = H\;}

com $\gamma = \rho g$ . Agora os três termos têm unidade de comprimento — metro de coluna de fluido — e podem ser lidos como alturas.

Onde cada hipótese foi usada

hipótese	onde entrou
invíscido	Passo 1: nenhuma tensão de cisalhamento nas faces
regime permanente	Passo 4: $a_s = v\,dv/ds$ , sem termo $\partial v/\partial t$
incompressível	Passo 6: $\rho$ sai da integral
ao longo de uma linha de corrente	Passo 1: o elemento foi fatiado ao longo de $s$

Numa questão de dedução, apontar em que passo cada hipótese foi usada vale tanto quanto a álgebra — mostra que a dedução foi entendida, e não decorada.

Conferência — a dedução tem de passar por: forças de pressão e peso → 2ª lei de Newton → $\sin\theta = dz/ds$ → aceleração convectiva $v\,dv/ds$ → Euler → integração com $\rho$ constante → divisão por $g$ ✔ Pular a aceleração convectiva ou o $\sin\theta$ derruba a dedução ✔ Escrever direto a equação final não é dedução, é enunciado da fórmula ✔

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Questão 292º EEProva · turma EMDedução · Equação geral da condução em coordenadas cartesianasVer material

A partir dos diagramas, deduza a fórmula de transmissão de calor por condução em coordenadas cartesianas, sabendo que

Q_{ARM.} = Q_{ENT.} - Q_{SAÍDA} + Q_{GERADO}

O que entra por três faces sai pelas opostas acrescido da variação ao longo daquela direção — é a expansão em série truncada no primeiro termo.

Gabarito

\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot q = \rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}

e, com $k$ constante, dividindo por $k$ :

\boxed{\; \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} + \frac{\dot q}{k} = \frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial T}{\partial t} \;} \qquad\text{com}\qquad \alpha = \frac{k}{\rho\,c_p}

Passo a passo

Passo 1 — o elemento e o balanço. Um elemento de volume $dV = dx\,dy\,dz$ , e o enunciado do balanço:

Q_{ARM} = Q_{ENT} - Q_{SAI} + Q_{GER}

Passo 2 — o que entra. Pelas três faces “de trás”:

Q_{ENT} = q_x + q_y + q_z

Passo 3 — o que sai, por expansão em série. Na face oposta, a taxa é a mesma acrescida da variação ao longo daquela direção — série de Taylor truncada no primeiro termo, que é exato no limite $dx \to 0$ :

Q_{SAI} = \left(q_x + \frac{\partial q_x}{\partial x}dx\right) + \left(q_y + \frac{\partial q_y}{\partial y}dy\right) + \left(q_z + \frac{\partial q_z}{\partial z}dz\right)

Passo 4 — a subtração, que é o coração da dedução. Os termos $q_x$ , $q_y$ e $q_z$ se cancelam, e sobram só as variações:

Q_{ENT} - Q_{SAI} = -\left(\frac{\partial q_x}{\partial x}dx + \frac{\partial q_y}{\partial y}dy + \frac{\partial q_z}{\partial z}dz\right)

Passo 5 — a geração e o acúmulo.

Q_{GER} = \dot q\;dx\,dy\,dz

Q_{ARM} = \rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}\;dx\,dy\,dz

O termo de armazenamento é a massa do elemento ( $\rho\,dV$ ) vezes o calor específico vezes a taxa de variação da temperatura.

Passo 6 — juntar.

\rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}\,dV = -\left(\frac{\partial q_x}{\partial x}dx + \frac{\partial q_y}{\partial y}dy + \frac{\partial q_z}{\partial z}dz\right) + \dot q\,dV

Passo 7 — entrar com a lei de Fourier. Aqui a física entra: cada $q$ é escrito em termos da temperatura, com a área da face correspondente.

q_x = -k\,(dy\,dz)\,\frac{\partial T}{\partial x} \qquad q_y = -k\,(dx\,dz)\,\frac{\partial T}{\partial y} \qquad q_z = -k\,(dx\,dy)\,\frac{\partial T}{\partial z}

Então

\frac{\partial q_x}{\partial x}\,dx = -\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) dx\,dy\,dz

e o mesmo nas outras duas direções. Note que cada termo carrega $dV$ — é isso que permite dividir tudo por $dV$ no passo seguinte.

Passo 8 — dividir por $dV = dx\,dy\,dz$ .

\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot q = \rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}

Esta é a equação geral da condução em coordenadas cartesianas, válida com $k$ variável.

Passo 9 — a forma usual, com $k$ constante.

\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} + \frac{\dot q}{k} = \frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial T}{\partial t}

ou, em forma vetorial, $\nabla^2 T + \dot q/k = (1/\alpha)\,\partial T/\partial t$ .

Os casos particulares que a prova usa

Toda fórmula da unidade sai desta equação, cancelando termos:

condição	o que cai	resultado
regime permanente	$\partial T/\partial t = 0$	$\nabla^2 T + \dot q/k = 0$ (Poisson)
sem geração	$\dot q = 0$	$\nabla^2 T = (1/\alpha)\,\partial T/\partial t$ (difusão)
permanente, sem geração	os dois	$\nabla^2 T = 0$ (Laplace)
1D, permanente, sem geração	tudo, menos $x$	$d^2T/dx^2 = 0$ → perfil linear
1D, permanente, com geração	só o tempo	$d^2T/dx^2 = -\dot q/k$ → parábola

As duas últimas linhas são a parede plana e a parede com geração — e é por isso que numa o perfil é reto e na outra é parábola. A dedução explica as duas de uma vez.

Conferência — a dedução tem de passar por: balanço no elemento → expansão em série na face de saída → cancelamento dos termos $q_i$ → geração e acúmulo proporcionais a $dV$ → Fourier com a área correta de cada face → divisão por $dV$ ✔ Escrever o laplaciano direto não é dedução ✔ Dizer, no fim, quais casos particulares a equação contém mostra para que ela serve ✔

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Questão 302º EE2022.1 · 2ª chamadaRaio crítico · O que é e em que geometrias existe1,0 ptVer material

O que é o raio crítico de isolamento? Em que geometrias ele atua?

No mínimo da resistência total o fluxo de calor é máximo. Antes dele, acrescentar isolante piora; depois, melhora.

Gabarito

O raio crítico de isolamento é o raio externo em que a resistência térmica total do sistema é mínima — e portanto o fluxo de calor é máximo. Acrescentar isolante até esse raio aumenta a perda de calor; a partir dele, reduz.

Ele existe porque o isolante faz duas coisas opostas: aumenta a resistência de condução (mais material a atravessar) e diminui a de convecção, porque a área externa fica maior.

Atua apenas nas geometrias curvas, em que a área de troca cresce com o raio:

r_c = \frac{k_{iso}}{h_e}\ \text{(cilindro)} \qquad\qquad r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e}\ \text{(esfera)}

Na parede plana ele não existe, porque ali a área é constante: acrescentar isolante só aumenta a resistência, sempre.

Passo a passo

1 — De onde o efeito vem. Escreva a resistência total de um tubo isolado, com raio externo $r$ variável:

R_{total}(r) = \underbrace{\frac{\ln(r/r_2)}{2\pi k_{iso} L}}_{\text{condução: CRESCE com } r} + \underbrace{\frac{1}{h_e\,2\pi r L}}_{\text{convecção: CAI com } r}

Duas tendências opostas. A soma, então, tem um mínimo.

2 — Achar o mínimo. Derivando em relação a $r$ e igualando a zero:

\frac{dR_{total}}{dr} = \frac{1}{2\pi k_{iso} L\,r} - \frac{1}{h_e\,2\pi L\,r^2} = 0

\frac{1}{k_{iso}\,r} = \frac{1}{h_e\,r^2} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;r_c = \frac{k_{iso}}{h_e}\;}

Para a esfera, a área externa é $4\pi r^2$ (cresce com $r^2$ , não com $r$ ), e a mesma derivação dá

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e}

3 — Como usar o resultado. Compare $r_c$ com o raio externo real $r_3$ :

$r_3 < r_c$ → o sistema está antes do crítico. Acrescentar isolante aumenta a perda de calor. Isolar mal é pior que não isolar;
$r_3 = r_c$ → perda máxima, o pior caso possível;
$r_3 > r_c$ → depois do crítico. Acrescentar isolante reduz a perda, como a intuição espera.

4 — Em que geometrias atua, que é a segunda metade da pergunta.

geometria	área externa	tem raio crítico?
parede plana	$A$ constante	não
cilindro (tubo)	$2\pi r L$ , cresce com $r$	sim, $r_c = k/h$
esfera	$4\pi r^2$ , cresce com $r^2$	sim, $r_c = 2k/h$

Na parede plana, acrescentar espessura só aumenta $L/(kA)$ e não muda a área de convecção — a resistência total só cresce, e não há mínimo. O raio crítico é um fenômeno das geometrias curvas.

Conferência — a definição precisa dizer que é o raio de resistência mínima (fluxo máximo), e explicar os dois efeitos opostos ✔ dar as duas fórmulas, com o 2 na esfera ✔ responder a segunda pergunta: só em cilindro e esfera, não em parede plana, e dizer por quê ✔

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Questão 312º EE2022.1 · 2ª chamadaParede com geração · Temperatura extrema e fluxo nas duas faces2,5 ptsVer material

Considere a transferência de calor através de uma parede plana ( $k = 0{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ) de $1{,}0\ \mathrm{m}$ de largura, cujas temperaturas nas faces esquerda e direita estão mantidas a $80\ ^\circ\mathrm{C}$ e $40\ ^\circ\mathrm{C}$ , respectivamente. Na parede, a transferência de calor é unidimensional, sem acúmulo, mas com geração de $1000\ \mathrm{W/m^3}$ . Sabendo que o processo é exotérmico, determine:

a) (1,0 pt.) A temperatura extrema na parede.

b) (1,5 pts.) As densidades de fluxo de calor nas faces esquerda e direita da parede.

O máximo não fica no centro: as faces estão a temperaturas diferentes, e isso desloca o vértice da parábola para o lado mais quente.

Gabarito

Com origem no centro da parede e $L = 0{,}5\ \mathrm{m}$ (semiespessura):

T(x) = \frac{\dot q}{2k}\left(L^2 - x^2\right) + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{T_1 + T_2}{2}

a) O extremo está onde $dT/dx = 0$ :

x_{ext} = \frac{k\,(T_2 - T_1)}{2\,\dot q\,L} = -0{,}02\ \mathrm{m} \qquad\Longrightarrow\qquad T_{ext} \approx \mathbf{310{,}4\ ^\circ C}

b)

q''(x) = \dot q\,x - \frac{k\,(T_2 - T_1)}{2L} = 1000\,x + 20

q''(-L) = \mathbf{-480\ W/m^2} \qquad\qquad q''(+L) = \mathbf{+520\ W/m^2}

Os sinais dizem que o calor sai pelas duas faces: pela esquerda no sentido $-x$ , pela direita no sentido $+x$ .

Passo a passo

Passo 1 — montar a equação e escolher a origem. Regime permanente (“sem acúmulo”) com geração:

\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{\dot q}{k} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad T(x) = -\frac{\dot q}{2k}x^2 + C_1 x + C_2

Colocando a origem no centro, a parede vai de $-L$ a $+L$ , com

2L = 1{,}0\ \mathrm{m} \qquad\Longrightarrow\qquad L = 0{,}5\ \mathrm{m}

Passo 2 — as duas condições de contorno. São duas temperaturas prescritas (Dirichlet nas duas faces):

T(-L) = T_1 = 80\ ^\circ\mathrm{C} \qquad\qquad T(+L) = T_2 = 40\ ^\circ\mathrm{C}

Resolvendo o sistema para $C_1$ e $C_2$ :

C_1 = \frac{T_2 - T_1}{2L} \qquad\qquad C_2 = \frac{T_1 + T_2}{2} + \frac{\dot q L^2}{2k}

o que dá a forma organizada:

T(x) = \frac{\dot q}{2k}\left(L^2 - x^2\right) + \frac{T_2 - T_1}{2L}\,x + \frac{T_1 + T_2}{2}

Confira nas pontas: em $x = -L$ , o primeiro termo zera e sobra $\frac{-40}{1{,}0}(-0{,}5) + 60 = 20 + 60 = 80$ ✔ Em $x = +L$ : $-20 + 60 = 40$ ✔

Passo 3 — item (a): onde está o extremo. Derivando e igualando a zero:

\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot q}{k}x + \frac{T_2 - T_1}{2L} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x_{ext} = \frac{k\,(T_2 - T_1)}{2\,\dot q\,L}

x_{ext} = \frac{0{,}5 \times (40 - 80)}{2 \times 1000 \times 0{,}5} = \frac{-20}{1000} = -0{,}02\ \mathrm{m}

O extremo está $2\ \mathrm{cm}$ à esquerda do centro — deslocado para o lado mais quente, como faz sentido.

Passo 4 — o valor da temperatura extrema.

T(-0{,}02) = \frac{1000}{2 \times 0{,}5}\left[(0{,}5)^2 - (0{,}02)^2\right] + \frac{-40}{1{,}0}(-0{,}02) + 60

= 1000\,(0{,}25 - 0{,}0004) + 0{,}8 + 60 = 249{,}6 + 0{,}8 + 60 = 310{,}4\ ^\circ\mathrm{C}

Exotérmico ( $\dot q > 0$ ) confirma que é um máximo: a parábola abre para baixo, e $310{,}4\ ^\circ\mathrm{C}$ é muito acima das duas faces. Se o processo fosse endotérmico, seria um mínimo, abaixo de $40\ ^\circ\mathrm{C}$ .

Passo 5 — item (b): a densidade de fluxo, que é reta em $x$ .

q''(x) = -k\,\frac{dT}{dx} = -k\left[-\frac{\dot q}{k}x + \frac{T_2 - T_1}{2L}\right] = \dot q\,x - \frac{k(T_2 - T_1)}{2L}

q''(x) = 1000\,x - \frac{0{,}5 \times (-40)}{1{,}0} = 1000\,x + 20

Passo 6 — avaliar nas duas faces.

q''(-L) = 1000 \times (-0{,}5) + 20 = -480\ \mathrm{W/m^2}

q''(+L) = 1000 \times (+0{,}5) + 20 = +520\ \mathrm{W/m^2}

Leitura dos sinais: na face esquerda o fluxo é negativo, isto é, aponta no sentido $-x$ — sai da parede. Na direita é positivo, aponta em $+x$ — também sai. O calor gerado escapa pelos dois lados.

Passo 7 — a conferência que fecha tudo. Todo o calor gerado no volume tem de sair pelas faces:

|q''(-L)| + |q''(+L)| = 480 + 520 = 1000\ \mathrm{W/m^2}

\dot q \times (2L) = 1000 \times 1{,}0 = 1000\ \mathrm{W/m^2}\ \checkmark

Fecha exatamente. E a repartição desigual ( $480$ contra $520$ ) é coerente com o extremo deslocado: a face direita, mais fria, está mais longe do máximo e drena um pouco mais.

Conferência — $L$ é a semiespessura, $0{,}5\ \mathrm{m}$ ✔ com faces a temperaturas diferentes o extremo não fica no centro ✔ exotérmico significa máximo ✔ os módulos dos fluxos nas faces somam $\dot q \cdot 2L$ ✔ o plano de fluxo nulo coincide com o do extremo ✔

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Questão 322º EE2022.1 · 2ª chamadaCilindro · Os mesmos números da esfera, com o logaritmo2,5 ptsVer material

Considere um cilindro de um material $A$ (homogêneo e de temperatura constante) de $2\ \mathrm{m}$ de comprimento, recoberto por uma camada de um material $B$ , recoberto novamente com uma camada de um isolante térmico. Na parte externa do sistema, um fluido escoa fazendo convecção (a figura é o corte transversal do sistema).

Dados: $T_1 = 350\ \mathrm{K}$ ; $T_\infty = 298\ \mathrm{K}$ ; $r_1 = 5\ \mathrm{cm}$ ; $r_2 = 8\ \mathrm{cm}$ ; $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ ; $k_B = 4{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $k_{iso} = 0{,}7\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $h_e = 6{,}2\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ ; $L = 2\ \mathrm{m}$ .

Determine:

a) (0,5 pts.) O raio crítico de isolamento.

b) (1,0 pt.) O fluxo de calor através do sistema.

c) (1,0 pt.) As temperaturas na interface entre o material $B$ e o isolante térmico e na superfície externa do isolante térmico.

Mesmos raios e mesmos materiais da esfera de 2022.1 — mas agora a geometria é cilíndrica, e as três fórmulas mudam.

Gabarito

a)

r_c = \frac{k_{iso}}{h_e} = \frac{0{,}7}{6{,}2} = \mathbf{0{,}1129\ m} = 11{,}3\ \mathrm{cm}

Como $r_3 = 10\ \mathrm{cm} < r_c$ , o isolamento ainda aumenta a perda de calor.

b)

R_B = 0{,}0094 \qquad R_{iso} = 0{,}0254 \qquad R_{conv} = 0{,}1284 \qquad R_T = 0{,}1631\ \mathrm{K/W}

q = \frac{350 - 298}{0{,}1631} \approx \mathbf{318{,}9\ W}

c)

T_2 = T_1 - q\,R_B \approx \mathbf{347{,}0\ K} \qquad\qquad T_3 = T_2 - q\,R_{iso} \approx \mathbf{338{,}9\ K}

Passo a passo

Passo 1 — o raio crítico do cilindro, item (a). Sem o fator 2 da esfera:

r_c = \frac{k_{iso}}{h_e} = \frac{0{,}7}{6{,}2} = 0{,}1129\ \mathrm{m} = 11{,}3\ \mathrm{cm}

E o diagnóstico: $r_3 = 10\ \mathrm{cm} < 11{,}3\ \mathrm{cm}$ — o sistema está antes do crítico, então acrescentar isolante aumentaria a perda.

A mesma prova cobrou as duas geometrias

Esta questão tem exatamente os mesmos números da esfera do 2º EE de 2022.1 — e é de propósito. A tabela mostra o que muda:

	esfera	cilindro ( $L = 2\ \mathrm{m}$ )
$r_c$	$2k/h = 22{,}6\ \mathrm{cm}$	$k/h = 11{,}3\ \mathrm{cm}$
$R_{camada}$	$\dfrac{1/r_i - 1/r_e}{4\pi k}$	$\dfrac{\ln(r_e/r_i)}{2\pi k L}$
$R_{conv}$	$\dfrac{1}{h\,4\pi r_3^2}$	$\dfrac{1}{h\,2\pi r_3 L}$
$q$	$30{,}3\ \mathrm{W}$	$318{,}9\ \mathrm{W}$

O cilindro conduz dez vezes mais, porque com $L = 2\ \mathrm{m}$ ele tem muito mais área. Trocar as fórmulas de uma geometria pela outra é o erro que esta prova está caçando.

Passo 2 — as três resistências, item (b). Raios em metros e $L = 2\ \mathrm{m}$ :

R_B = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_B L} = \frac{\ln(0{,}08/0{,}05)}{2\pi \times 4{,}0 \times 2} = \frac{0{,}4700}{50{,}27} = 0{,}00935\ \mathrm{K/W}

R_{iso} = \frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_{iso} L} = \frac{\ln(0{,}10/0{,}08)}{2\pi \times 0{,}7 \times 2} = \frac{0{,}2231}{8{,}796} = 0{,}02537\ \mathrm{K/W}

R_{conv} = \frac{1}{h_e\,2\pi r_3 L} = \frac{1}{6{,}2 \times 2\pi \times 0{,}10 \times 2} = \frac{1}{7{,}791} = 0{,}12835\ \mathrm{K/W}

R_T = 0{,}00935 + 0{,}02537 + 0{,}12835 = 0{,}16307\ \mathrm{K/W}

Passo 3 — o fluxo.

q = \frac{T_1 - T_\infty}{R_T} = \frac{350 - 298}{0{,}16307} = \frac{52}{0{,}16307} = 318{,}9\ \mathrm{W}

Passo 4 — as temperaturas, item (c). Uma resistência por vez, no sentido do fluxo:

T_2 = T_1 - q\,R_B = 350 - 318{,}9 \times 0{,}00935 = 350 - 2{,}98 = 347{,}0\ \mathrm{K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 347{,}0 - 318{,}9 \times 0{,}02537 = 347{,}0 - 8{,}09 = 338{,}9\ \mathrm{K}

Passo 5 — a conferência pela convecção.

T_3 - T_\infty = q\,R_{conv} = 318{,}9 \times 0{,}12835 = 40{,}9\ \mathrm{K} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = 298 + 40{,}9 = 338{,}9\ \mathrm{K}\ \checkmark

Passo 6 — onde está a resistência.

resistência	valor $[\mathrm{K/W}]$	fração	$\Delta T$ $[\mathrm{K}]$
condução em $B$	$0{,}00935$	$5{,}7\ \%$	$3{,}0$
condução no isolante	$0{,}02537$	$15{,}6\ \%$	$8{,}1$
convecção externa	$0{,}12835$	$\mathbf{78{,}7\ \%}$	$40{,}9$
total	$0{,}16307$	$100\ \%$	$\mathbf{52{,}0}$

A convecção externa domina com $79\ \%$ — e é exatamente por isso que o sistema está antes do raio crítico: quando o gargalo é a saída para o ar, aumentar a área externa ajuda mais do que a resistência extra do isolante atrapalha. Os itens (a) e (b) contam a mesma história.

Conferência — raio crítico de cilindro sem o 2 ✔ as camadas com $\ln(r_e/r_i)/(2\pi k L)$ , e o $L$ presente nas três resistências ✔ a convecção com $2\pi r_3 L$ ✔ as quedas somam $52\ \mathrm{K}$ ✔ o material $A$ não é resistência ✔

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Questão 332º EE2022.1 · 2ª chamadaFluxos de massa · Os três fluxos na entrada do tubo2,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. A concentração total da mistura é mantida constante, igual a $400\ \mathrm{mol/m^3}$ . Na entrada, $50\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ , e na saída, $40\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A mistura escoa com velocidade de $2{,}0\ \mathrm{m/s}$ . O comprimento do tubo é de $1{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $2{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo, as densidades de fluxo convectivo e as densidades de fluxo absoluto na entrada do tubo. Admita regime permanente com perfil linear de concentração, para ambas as espécies.

Gabarito

Na entrada: $C_{A1} = C_{B1} = 200\ \mathrm{mol/m^3}$ (a mistura entra meio a meio).

	difusivo $J''$	convectivo $N''$	absoluto
$A$	$-0{,}8$	$400$	$\mathbf{399{,}2}$
$B$	$+0{,}8$	$400$	$\mathbf{400{,}8}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações molares.

x_{A1} = 0{,}50 \Rightarrow x_{B1} = 0{,}50 \qquad\qquad x_{B2} = 0{,}40 \Rightarrow x_{A2} = 0{,}60

Passo 2 — as concentrações, com $C = 400$ nas duas pontas.

C_{A1} = 0{,}50 \times 400 = 200 \qquad C_{A2} = 0{,}60 \times 400 = 240

C_{B1} = 0{,}50 \times 400 = 200 \qquad C_{B2} = 0{,}40 \times 400 = 160

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par soma $400$ ✔

Passo 3 — os gradientes (perfil linear).

\frac{dC_A}{dx} = \frac{240 - 200}{1{,}0} = +40\ \mathrm{mol/m^4} \qquad \frac{dC_B}{dx} = \frac{160 - 200}{1{,}0} = -40\ \mathrm{mol/m^4}

Opostos, porque $C$ é constante.

Passo 4 — os fluxos difusivos.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -2{,}0\times10^{-2} \times (+40) = -0{,}8\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -2{,}0\times10^{-2} \times (-40) = +0{,}8\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_A = -J''_B\ \checkmark

O sinal de $A$ é negativo: como $A$ está mais concentrado na saída, ele difunde contra o escoamento, da saída para a entrada. É o inverso do caso usual, e é a consequência direta do Passo 2.

Passo 5 — os fluxos convectivos, na entrada. Como a mistura entra meio a meio, os dois dão o mesmo:

N''_A = C_{A1}\,v = 200 \times 2{,}0 = 400\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_{B1}\,v = 200 \times 2{,}0 = 400\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Confira: $N''_A + N''_B = 800 = C\,v = 400 \times 2$ ✔

Passo 6 — os fluxos absolutos.

N''_{A,abs} = -0{,}8 + 400 = 399{,}2\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_{B,abs} = +0{,}8 + 400 = 400{,}8\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 7 — a leitura. O convectivo é 500 vezes o difusivo, então os dois absolutos ficam quase idênticos — a mistura é carregada praticamente em bloco. A difusão apenas redistribui $0{,}8\ \mathrm{mol/(m^2s)}$ de $B$ para a frente e a mesma quantidade de $A$ para trás, e a soma dos absolutos continua $800$ , igual a $C\,v$ .

Três versões da mesma questão nas provas

prova	$C$	$v$	onde	resultado
2018.1 · 2ª ch.	$20 \to 5$ (varia)	$3{,}0$ ( $B$ parada)	meio	$J''_A \ne -J''_B$
2022.1	$200$ constante	$4{,}0$	saída	$J''_A = -J''_B = 1{,}5$
2022.1 · 2ª ch.	$400$ constante	$2{,}0$	entrada	$J''_A = -0{,}8$

O roteiro é o mesmo nas três; o que muda é onde avaliar, se $C$ é constante e se as duas espécies têm a mesma velocidade. Ler esses três detalhes no enunciado é metade da questão.

Conferência — a fração da saída é de $B$ ✔ os difusivos saem opostos, porque $C$ é constante ✔ o convectivo usa a concentração da entrada ✔ $J''_A$ negativo é correto aqui, porque $A$ cresce para a frente ✔ os absolutos somam $C\,v = 800$ ✔

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Questão 342º EE2018.1 · 2ª chamadaDifusão de calor · O que a equação diz, termo a termo1,0 ptVer material

Explique a equação da difusão de calor.

Gabarito

A equação da difusão de calor é o balanço de energia num elemento de volume, escrito em forma diferencial:

\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)}_{\text{condução líquida que ENTRA}} + \underbrace{\dot q}_{\text{GERAÇÃO}} = \underbrace{\rho\,c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}}_{\text{ACÚMULO}}

Com $k$ constante:

\nabla^2 T + \frac{\dot q}{k} = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} \qquad\text{com}\qquad \alpha = \frac{k}{\rho\,c_p}

Ela diz que o que entra por condução mais o que é gerado dentro é igual ao que fica armazenado — e é dela que saem todas as fórmulas da unidade, cancelando os termos que o problema dispensa.

Passo a passo

1 — O que cada grupo de termos significa.

os três primeiros — a condução líquida (o que entra menos o que sai) em cada direção. Vêm da lei de Fourier aplicada às faces opostas do elemento;
$\dot q$ — a geração interna por unidade de volume, em $\mathrm{W/m^3}$ : efeito Joule, reação química, decaimento nuclear. Positiva se exotérmica, negativa se endotérmica;
$\rho c_p\,\partial T/\partial t$ — o acúmulo: a energia que fica no elemento e faz a sua temperatura subir. Se a temperatura não muda com o tempo, este termo é zero.

2 — O papel da difusividade térmica. Escrita com $\alpha$ , a equação fica com um só coeficiente, e ele tem leitura física direta:

\alpha = \frac{k}{\rho\,c_p} = \frac{\text{capacidade de \textbf{conduzir} calor}}{\text{capacidade de \textbf{armazenar} calor}}

$\alpha$ grande (metais) — o material transmite a mudança de temperatura rapidamente; responde rápido;
$\alpha$ pequeno (madeira, tijolo) — o material absorve calor e demora a propagá-lo; responde devagar.

É por isso que uma colher de metal esquenta quase de imediato e a parede de tijolo leva horas para sentir o sol.

3 — Por que “difusão” de calor. Porque a estrutura é a mesma da difusão de massa e da difusão de quantidade de movimento:

\underbrace{\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\nabla^2 T}_{\text{calor}} \qquad \underbrace{\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_{AB}\,\nabla^2 C_A}_{\text{massa}} \qquad \underbrace{\frac{\partial v}{\partial t} = \nu\,\nabla^2 v}_{\text{q. de movimento}}

Três fenômenos, uma equação, com $\alpha$ , $D_{AB}$ e $\nu$ no mesmo lugar — e as três difusividades na mesma unidade, $\mathrm{m^2/s}$ . É o resultado que dá nome à disciplina.

4 — Os casos particulares, que é para onde a explicação tem de apontar. Toda fórmula usada nos exercícios sai dela:

condição	o que cai	resultado
regime permanente	acúmulo	$\nabla^2 T + \dot q/k = 0$ (Poisson)
sem geração	$\dot q$	$\partial T/\partial t = \alpha\nabla^2 T$ (difusão pura)
permanente e sem geração	os dois	$\nabla^2 T = 0$ (Laplace)
1D, permanente, sem geração	tudo, menos $x$	$d^2T/dx^2 = 0$ → perfil linear
1D, permanente, com geração	só o tempo	$d^2T/dx^2 = -\dot q/k$ → parábola

Conferência — identificar os três grupos de termos (condução, geração, acúmulo) ✔ dizer o que é $\alpha$ e o que ela mede ✔ apontar ao menos dois casos particulares, e de preferência o que dá o perfil linear ✔

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Questão 352º EE2018.1 · 2ª chamadaTransporte de massa · Velocidade média de uma mistura de três componentes0,5 ptsVer material

Como se define a velocidade média de uma mistura entre três componentes?

Gabarito

É a média ponderada das velocidades das espécies, com a composição da mistura como peso. Há duas definições, e as duas são aceitas:

Velocidade média molar (ponderada pelas concentrações molares):

v^* = \frac{C_A v_A + C_B v_B + C_C v_C}{C_A + C_B + C_C} = \frac{1}{C}\sum_{i} C_i\,v_i = \sum_i x_i\,v_i

Velocidade média mássica (ponderada pelas massas específicas):

v = \frac{\rho_A v_A + \rho_B v_B + \rho_C v_C}{\rho_A + \rho_B + \rho_C} = \frac{1}{\rho}\sum_i \rho_i\,v_i = \sum_i w_i\,v_i

com $x_i$ a fração molar e $w_i$ a fração mássica de cada espécie.

Passo a passo

1 — Por que a média tem de ser ponderada. Cada espécie pode ter a sua própria velocidade $v_i$ . A média aritmética simples,

\frac{v_A + v_B + v_C}{3}

não serve: ela daria o mesmo peso a uma espécie presente a $1\ \%$ e a outra a $98\ \%$ . O que importa é quanto de cada uma há — daí a ponderação pela concentração.

2 — A forma geral, para qualquer número de componentes. A definição não depende de serem três:

v^* = \sum_{i=1}^{n} x_i\,v_i \qquad\qquad v = \sum_{i=1}^{n} w_i\,v_i

Para três componentes é só escrever os três termos. Nada muda na estrutura — e é isso que a questão quer ver.

3 — Por que a ponderação é a concentração, e não outra coisa. Porque o que se está calculando é o fluxo total da mistura dividido pela sua concentração total:

\underbrace{C\,v^*}_{\text{fluxo molar total}} = \sum_i \underbrace{C_i\,v_i}_{\text{fluxo molar de } i}

\underbrace{\rho\,v}_{\text{fluxo mássico total}} = \sum_i \underbrace{\rho_i\,v_i}_{\text{fluxo mássico de } i}

A velocidade média é, por definição, aquela que reproduz o fluxo total se toda a mistura andasse com ela. É a velocidade que se mede com um medidor de vazão.

Exemplo rápido — três componentes

Mistura com $C_A = 100$ , $C_B = 60$ , $C_C = 40\ \mathrm{mol/m^3}$ , escoando a $v_A = 3$ , $v_B = 2$ e $v_C = 0\ \mathrm{m/s}$ (a espécie $C$ está parada).

C = 100 + 60 + 40 = 200\ \mathrm{mol/m^3}

v^* = \frac{100(3) + 60(2) + 40(0)}{200} = \frac{300 + 120 + 0}{200} = 2{,}1\ \mathrm{m/s}

Repare que $v^*$ fica entre a maior e a menor velocidade, e puxada para a de $A$ , que é a espécie mais abundante. Se a média tivesse sido aritmética, daria $1{,}67\ \mathrm{m/s}$ — errado, por ignorar que há mais $A$ que $C$ .

Conferência — a média é ponderada, e o peso é a concentração ✔ escrever as três parcelas explicitamente ✔ dizer que há a versão molar e a mássica ✔ a forma com frações, $v^* = \sum x_i v_i$ , é a mais compacta e vale como resposta ✔

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Questão 362º EE2018.1 · 2ª chamadaMáquina hidráulica · Perda entre duas seções e o tipo de máquina2,5 ptsVer material

Considere o sistema hidráulico da figura, cujo sentido do escoamento vai de (4) para (1).

Dados: $Q = 1{,}0\ \mathrm{L/s}$ ; $h_{p,1\text{-}2} = h_{p,3\text{-}4} = 1{,}0\ \mathrm{m}$ ; $p_2 = 2{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ ; $p_3 = 4{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ ; $p_1 = 0{,}1\ \mathrm{MPa}$ ; $\gamma_{H_2O} = 10^4\ \mathrm{N/m^3}$ ; $A_2 = 2\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ ; $A_3 = 8\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ ; $\eta_m = 0{,}8$ .

a) (1,0 pt.) Determine a perda de carga no trecho (2)–(3).

b) (1,5 pts.) Determine o tipo de máquina e a sua potência.

Atenção ao sentido: numerada de (1) a (4), a tubulação é percorrida ao contrário — de (4) para (1). Todo Bernoulli tem de ser escrito nessa ordem.

Gabarito

v_2 = \frac{Q}{A_2} = 0{,}5\ \mathrm{m/s} \qquad v_3 = \frac{Q}{A_3} = 0{,}125\ \mathrm{m/s} \qquad g = 10\ \mathrm{m/s^2}

a) Bernoulli de (3) para (2), ambos no PHR:

h_{p,3\text{-}2} = \frac{p_3 - p_2}{\gamma} + \frac{v_3^2 - v_2^2}{2g} = 40 - 20 + (0{,}00078 - 0{,}0125)

h_{p,2\text{-}3} \approx \mathbf{19{,}99\ m}

b) Bernoulli de (2) para (1), com a máquina no caminho:

\frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + H_M = \frac{p_1}{\gamma} + h_{p,2\text{-}1} \qquad\Longrightarrow\qquad 20 + 0{,}0125 + H_M = 10 + 1{,}0

H_M = -9{,}01\ \mathrm{m} \qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{turbina}

N = \gamma\,Q\,|H_M|\,\eta_m = 10^4 \times 10^{-3} \times 9{,}01 \times 0{,}8 \approx \mathbf{72{,}1\ W}

Passo a passo

Passo 1 — as velocidades e o $g$ . A vazão é a mesma em todo o sistema:

Q = 1{,}0\ \mathrm{L/s} = 1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3/s}

v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{10^{-3}}{2\times10^{-3}} = 0{,}5\ \mathrm{m/s} \qquad v_3 = \frac{Q}{A_3} = \frac{10^{-3}}{8\times10^{-3}} = 0{,}125\ \mathrm{m/s}

E o $g$ vem do peso específico dado:

\gamma = \rho\,g = 10^4\ \mathrm{N/m^3} \qquad\text{com}\qquad \rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3} \qquad\Longrightarrow\qquad g = 10\ \mathrm{m/s^2}

As cargas cinéticas:

\frac{v_2^2}{2g} = \frac{0{,}25}{20} = 0{,}0125\ \mathrm{m} \qquad \frac{v_3^2}{2g} = \frac{0{,}015625}{20} = 0{,}00078\ \mathrm{m}

Ambas minúsculas diante das cargas de pressão — mas vale escrevê-las, porque o enunciado deu as áreas justamente para isso.

Passo 2 — item (a): a perda entre (2) e (3). Os dois pontos estão no PHR, logo $z_2 = z_3 = 0$ . Escrevendo Bernoulli no sentido do escoamento, de (3) para (2):

\frac{p_3}{\gamma} + \frac{v_3^2}{2g} + z_3 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_p

\frac{4{,}0\times10^5}{10^4} + 0{,}00078 = \frac{2{,}0\times10^5}{10^4} + 0{,}0125 + h_p

40 + 0{,}00078 = 20 + 0{,}0125 + h_p \qquad\Longrightarrow\qquad h_p = 19{,}988\ \mathrm{m}

Passo 3 — item (b): montar Bernoulli sobre a máquina. A máquina está entre (2) e o reservatório (1) — é o único trecho que a contém, e o trecho cuja perda é dada ( $h_{p,1\text{-}2} = 1{,}0\ \mathrm{m}$ ).

De (2) para (1), no sentido do escoamento:

\frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + H_M = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + h_{p,2\text{-}1}

$v_1 \approx 0$ — (1) é a superfície livre de um reservatório;
$z_1 = z_2 = 0$ — as duas estão no PHR (a superfície de (1) coincide com o referencial).

20 + 0{,}0125 + H_M = 10 + 0 + 0 + 1{,}0

H_M = 11 - 20{,}0125 = -9{,}01\ \mathrm{m}

Passo 4 — ler o sinal. $H_M < 0$ : a máquina retira carga do fluido. É uma turbina.

E faz todo o sentido físico: o fluido vem de (4), que está $5\ \mathrm{m}$ mais alto e pressurizado, e chega em (1) a apenas $1\ \mathrm{atm}$ . Há energia disponível de sobra, e a máquina a colhe.

Passo 5 — a potência, com o rendimento no lugar certo. Para turbina, o rendimento multiplica:

N = \gamma\,Q\,|H_M|\,\eta_m = 10^4 \times 10^{-3} \times 9{,}01 \times 0{,}8

N = 10 \times 9{,}01 \times 0{,}8 = 72{,}1\ \mathrm{W}

A potência hidráulica retirada é $\gamma Q |H_M| = 90{,}1\ \mathrm{W}$ ; dela, $80\ \%$ chegam ao eixo.

Conferência — $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ sai de $\gamma = 10^4$ ✔ (2) e (3) estão os dois no PHR, então $z$ não entra no item (a) ✔ a perda vai do lado de chegada, e o escoamento é de (4) para (1) ✔ $H_M$ negativo é turbina, e aí o rendimento multiplica ✔ $v_1 \approx 0$ porque (1) é superfície livre ✔

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Questão 372º EE2018.1 · 2ª chamadaTubo de aço · Água quente por dentro, ar por fora2,0 ptsVer material

Água quente com temperatura de $80\ ^\circ\mathrm{C}$ (no seio da água) escoa no interior de um tubo de aço de raio interno de $2{,}0\ \mathrm{cm}$ , raio externo de $2{,}3\ \mathrm{cm}$ e comprimento de $5{,}0\ \mathrm{m}$ . O tubo está em contato com o ar ambiente, que está a uma temperatura de $25\ ^\circ\mathrm{C}$ (no seio do ar). Sendo a condutividade térmica do aço igual a $40{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ , os coeficientes de transferência de calor por convecção da água $4000\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ e do ar $10\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ , determine:

a) (1,0 pt.) O fluxo de calor que passa através do tubo.

b) (1,0 pt.) A temperatura na superfície externa do tubo.

Três resistências em série — e uma delas, a do ar, vale mais que as outras duas somadas trezentas vezes.

Gabarito

a)

R_{conv,i} = 3{,}98\times10^{-4} \qquad R_{aço} = 1{,}11\times10^{-4} \qquad R_{conv,e} = 0{,}1384

R_T = 0{,}13891\ ^\circ\mathrm{C/W} \qquad q = \frac{80 - 25}{0{,}13891} \approx \mathbf{396\ W}

b)

T_{ext} = T_{ar} + q\,R_{conv,e} = 25 + 396 \times 0{,}1384 \approx \mathbf{79{,}8\ ^\circ C}

Praticamente a temperatura da água — e o Passo 5 explica por quê.

Passo a passo

Passo 1 — as três resistências em série. O calor sai da água, atravessa o aço e passa para o ar:

\text{água} \;\xrightarrow{\;h_{água}\;}\; \text{face interna} \;\xrightarrow{\;k_{aço}\;}\; \text{face externa} \;\xrightarrow{\;h_{ar}\;}\; \text{ar}

Passo 2 — a convecção interna. Área da face interna, $A_1 = 2\pi r_1 L$ :

R_{conv,i} = \frac{1}{h_{água}\,2\pi r_1 L} = \frac{1}{4000 \times 2\pi (0{,}02)(5{,}0)} = \frac{1}{2513{,}3} = 3{,}98\times10^{-4}\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 3 — a condução no aço.

R_{aço} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L} = \frac{\ln(2{,}3/2{,}0)}{2\pi (40{,}0)(5{,}0)} = \frac{0{,}13976}{1256{,}6} = 1{,}11\times10^{-4}\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 4 — a convecção externa. Aqui a área é a do raio externo, $A_2 = 2\pi r_2 L$ :

R_{conv,e} = \frac{1}{h_{ar}\,2\pi r_2 L} = \frac{1}{10 \times 2\pi (0{,}023)(5{,}0)} = \frac{1}{7{,}226} = 0{,}13840\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 5 — o total, e a conta que já entrega o item (b).

R_T = 3{,}98\times10^{-4} + 1{,}11\times10^{-4} + 0{,}13840 = 0{,}13891\ ^\circ\mathrm{C/W}

resistência	valor $[^\circ\mathrm{C/W}]$	fração
convecção da água	$3{,}98\times10^{-4}$	$0{,}29\ \%$
condução no aço	$1{,}11\times10^{-4}$	$0{,}08\ \%$
convecção do ar	$0{,}13840$	$\mathbf{99{,}63\ \%}$

O ar responde por 99,6 % da resistência. Água em convecção forçada tem $h = 4000$ ; ar em convecção natural tem $h = 10$ — quatrocentas vezes menos. E o aço, sendo metal, quase não resiste.

Passo 6 — o fluxo, item (a).

q = \frac{T_{água} - T_{ar}}{R_T} = \frac{80 - 25}{0{,}13891} = \frac{55}{0{,}13891} = 396{,}0\ \mathrm{W}

Passo 7 — a temperatura da superfície externa, item (b). Caminhando do ar para dentro, atravessa-se só $R_{conv,e}$ :

T_{ext} = T_{ar} + q\,R_{conv,e} = 25 + 396{,}0 \times 0{,}13840 = 25 + 54{,}8 = 79{,}8\ ^\circ\mathrm{C}

Por que a face externa está quase a 80 °C

Porque as quedas de temperatura são proporcionais às resistências:

\Delta T_{água} = 396 \times 3{,}98\times10^{-4} = 0{,}16\ ^\circ\mathrm{C}

\Delta T_{aço} = 396 \times 1{,}11\times10^{-4} = 0{,}04\ ^\circ\mathrm{C}

\Delta T_{ar} = 396 \times 0{,}13840 = 54{,}8\ ^\circ\mathrm{C}

Somam $55\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔ — e praticamente toda a queda acontece no ar. O tubo inteiro fica quase na temperatura da água, e é exatamente por isso que tubo de vapor sem isolamento queima quem toca: a superfície está a $80\ ^\circ\mathrm{C}$ , não a $30$ .

É também o argumento de projeto: para reduzir a perda, não adianta trocar o metal do tubo — tem de se atacar a resistência do ar, e a maneira de fazer isso é isolar.

Conferência — raios em metros e os dois já dados como raio (não diâmetro) ✔ cada convecção com o raio da sua face ✔ as três quedas de temperatura somam $55\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔ a face externa tem de ficar próxima dos $80\ ^\circ\mathrm{C}$ , porque o gargalo é o ar ✔

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Questão 382º EE2023.1 · 2ª chamadaContinuidade · Temperatura de saída da mistura de dois gases3,0 ptsVer material

Um sistema de escoamento é composto por dois tubos de entrada e um de saída. O tubo (1) admite um gás ideal ( $P_1 = 6\ \mathrm{atm}$ ; $T_1 = 300\ \mathrm{K}$ ; $\mathcal{M}_1 = 28\ \mathrm{g/mol}$ ) com uma vazão de $0{,}02\ \mathrm{m^3/s}$ e o tubo (2) admite outro gás ideal ( $P_2 = 2\ \mathrm{atm}$ ; $T_2 = 400\ \mathrm{K}$ ; $\mathcal{M}_2 = 16\ \mathrm{g/mol}$ ) com vazão de $0{,}01\ \mathrm{m^3/s}$ . A mistura formada é descarregada pelo tubo (3). Determine a temperatura de saída da mistura ideal ( $\mathcal{M}_3 = 44\ \mathrm{g/mol}$ ), sabendo que a vazão volumétrica é $0{,}025\ \mathrm{m^3/s}$ , com pressão de $4\ \mathrm{atm}$ em (3). Considere o regime permanente de escoamento.

Dado: $R = 8{,}314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ .

O que se conserva é a massa. A temperatura de saída é o que a equação de estado devolve depois de a massa fechar.

Gabarito

\rho = \frac{P\,\mathcal{M}}{R\,T} \qquad \dot m = \rho\,Q \qquad \dot m_3 = \dot m_1 + \dot m_2

\rho_1 = 6{,}82\ \mathrm{kg/m^3} \qquad \rho_2 = 0{,}97\ \mathrm{kg/m^3}

\rho_3 = \frac{\rho_1 Q_1 + \rho_2 Q_2}{Q_3} = \frac{6{,}82(0{,}02) + 0{,}97(0{,}01)}{0{,}025} = 5{,}85\ \mathrm{kg/m^3}

T_3 = \frac{P_3\,\mathcal{M}_3}{R\,\rho_3} \approx \mathbf{366{,}7\ K}

Passo a passo

Passo 1 — o caminho da solução, em três movimentos. A temperatura não sai de um balanço de energia: sai da equação de estado, depois de a massa fechar.

\underbrace{\rho_1,\ \rho_2}_{\text{estado nas entradas}} \;\to\; \underbrace{\dot m_3 = \dot m_1 + \dot m_2}_{\text{conservação de massa}} \;\to\; \underbrace{\rho_3 = \dot m_3/Q_3}_{\text{estado na saída}} \;\to\; \underbrace{T_3 = \frac{P_3 \mathcal{M}_3}{R\,\rho_3}}_{\text{de volta ao estado}}

Passo 2 — as massas específicas de entrada. Com $1\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^5\ \mathrm{Pa}$ e $\mathcal{M}$ em $\mathrm{kg/mol}$ :

\rho_1 = \frac{P_1 \mathcal{M}_1}{R\,T_1} = \frac{6{,}078\times10^5 \times 0{,}028}{8{,}314 \times 300} = \frac{17\,018}{2494{,}2} = 6{,}82\ \mathrm{kg/m^3}

\rho_2 = \frac{P_2 \mathcal{M}_2}{R\,T_2} = \frac{2{,}026\times10^5 \times 0{,}016}{8{,}314 \times 400} = \frac{3241{,}6}{3325{,}6} = 0{,}97\ \mathrm{kg/m^3}

A corrente (1) é sete vezes mais densa: está a três vezes a pressão, mais fria e com massa molar maior.

Passo 3 — a conservação de massa.

\dot m_1 = \rho_1 Q_1 = 6{,}82 \times 0{,}02 = 0{,}1365\ \mathrm{kg/s}

\dot m_2 = \rho_2 Q_2 = 0{,}97 \times 0{,}01 = 0{,}0097\ \mathrm{kg/s}

\dot m_3 = 0{,}1365 + 0{,}0097 = 0{,}1462\ \mathrm{kg/s}

Passo 4 — a massa específica na saída.

\rho_3 = \frac{\dot m_3}{Q_3} = \frac{0{,}1462}{0{,}025} = 5{,}85\ \mathrm{kg/m^3}

Passo 5 — a equação de estado ao contrário, agora para achar $T_3$ .

\rho_3 = \frac{P_3\,\mathcal{M}_3}{R\,T_3} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = \frac{P_3\,\mathcal{M}_3}{R\,\rho_3}

T_3 = \frac{4{,}052\times10^5 \times 0{,}044}{8{,}314 \times 5{,}85} = \frac{17\,829}{48{,}64} = 366{,}5\ \mathrm{K}

ou, mantendo mais casas nos intermediários, $T_3 = 366{,}7\ \mathrm{K}$ — cerca de $93\ ^\circ\mathrm{C}$ .

Passo 6 — a conferência de plausibilidade. $T_3$ tem de ficar entre as duas temperaturas de entrada, $300$ e $400\ \mathrm{K}$ — e fica ✔ Mais que isso: como a corrente (1), a $300\ \mathrm{K}$ , traz 93 % da massa, era de esperar um valor bem mais perto de $300$ que de $400$ … mas aqui a mistura também muda de pressão e de massa molar, e são esses dois que puxam o resultado para cima. O $\mathcal{M}_3 = 44$ dado no enunciado não é decorativo.

Conferência — atm para pascal ✔ g/mol para kg/mol ✔ temperatura em kelvin nas entradas ✔ vazões volumétricas não se somam; mássicas sim ✔ $T_3$ tem de cair entre $300$ e $400\ \mathrm{K}$ ✔

Sobre o gabarito — a resolução oficial escreve $\rho_2 = 0{,}962\ \mathrm{kg/m^3}$ (valor que sai de tomar $1\ \mathrm{atm} = 1\times10^5\ \mathrm{Pa}$ só nessa linha), mas os demais números dela — $\rho_1 = 6{,}825$ , $\rho_3 = 5{,}85$ e $T_3 = 366{,}67\ \mathrm{K}$ — correspondem a $1\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^5\ \mathrm{Pa}$ , que é o valor usado acima. A resposta final é a mesma.

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Questão 392º EE2023.1 · 2ª chamadaBomba · Descarga livre com perda de carga e rendimento3,0 ptsVer material

O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água ( $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ) para a atmosfera através de uma tubulação com uma vazão de $20\ \mathrm{L/s}$ . A perda de carga no sistema é de $10\ \mathrm{m}$ . Verificar se a máquina instalada é BOMBA ou TURBINA e determinar sua potência, se o rendimento é $85\ \%$ .

Dados: $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ; $A = 10\ \mathrm{cm^2}$ .

A saída é descarga livre e a seção é pequena ( $10\ \mathrm{cm^2}$ ): a carga cinética de saída vai valer $20\ \mathrm{m}$ , tanto quanto a altura do reservatório.

Gabarito

v_2 = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}02}{0{,}001} = 20\ \mathrm{m/s} \qquad \frac{v_2^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20\ \mathrm{m}

H_m = \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p - y_1 = 20 + 5 + 10 - 20 = \mathbf{+15\ m} \qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{BOMBA}

N_{ideal} = \rho\,g\,Q\,H_m = 1000 \times 10 \times 0{,}02 \times 15 = 3000\ \mathrm{W}

N_{real} = \frac{N_{ideal}}{\eta} = \frac{3000}{0{,}85} \approx \mathbf{3529\ W} \approx 3{,}53\ \mathrm{kW}

Passo a passo

Passo 1 — a velocidade de saída, que é a chave da questão.

A = 10\ \mathrm{cm^2} = 10 \times 10^{-4} = 1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

Q = 20\ \mathrm{L/s} = 0{,}02\ \mathrm{m^3/s} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = \frac{0{,}02}{0{,}001} = 20\ \mathrm{m/s}

\frac{v_2^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20\ \mathrm{m}

Vinte metros de carga cinética — exatamente a altura do reservatório. Não é detalhe: é o termo que decide se a máquina é bomba ou turbina.

Passo 2 — a equação da energia com máquina. Ponto ① na superfície livre do reservatório, ponto ② na saída livre:

\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + y_1 + H_m = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p

O que cai:

$p_1 = p_2 = p_{atm}$ — o reservatório é aberto e a descarga é para a atmosfera;
$v_1 \approx 0$ — reservatório de grandes dimensões.

O que fica: $v_2^2/2g$ , porque a descarga é livre — o jato leva a sua energia cinética embora.

y_1 + H_m = \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p

Passo 3 — resolver, com as cotas da figura. Do PHR: $y_1 = 20\ \mathrm{m}$ (superfície do reservatório) e $y_2 = 5\ \mathrm{m}$ (saída).

H_m = \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p - y_1 = 20 + 5 + 10 - 20 = +15\ \mathrm{m}

Passo 4 — ler o sinal, que é o item pedido. $H_m > 0$ : a máquina fornece carga ao fluido. É uma BOMBA.

E o balanço explica: o reservatório oferece $20\ \mathrm{m}$ de queda, mas o sistema consome $35\ \mathrm{m}$ ( $20$ de carga cinética + $5$ de altura da saída + $10$ de perda). Faltam $15\ \mathrm{m}$ , e é a bomba que os coloca.

O contraste com a questão da turbina

Compare com o sistema de 2018.1, em que a mesma conta deu $H_M = -9\ \mathrm{m}$ (turbina). A diferença está em para onde a energia vai:

	2018.1 · 2ª ch.	2023.1 · 2ª ch.
queda disponível	$\sim 29\ \mathrm{m}$ de carga de pressão	$20\ \mathrm{m}$ de altura
consumo	$1\ \mathrm{m}$ de perda	$20 + 5 + 10 = 35\ \mathrm{m}$
sobra / falta	sobra $9\ \mathrm{m}$	falta $15\ \mathrm{m}$
máquina	turbina	bomba

O sinal de $H_m$ não é decorado: é o saldo entre o que o sistema oferece e o que ele gasta.

Passo 5 — a potência ideal.

N_{ideal} = \gamma\,Q\,H_m = \rho\,g\,Q\,H_m = 1000 \times 10 \times 0{,}02 \times 15 = 3000\ \mathrm{W}

Passo 6 — a potência real, com o rendimento no lugar certo. Para bomba, o rendimento divide: o motor tem de entregar mais do que o fluido recebe, porque parte se perde na máquina.

N_{real} = \frac{N_{ideal}}{\eta} = \frac{3000}{0{,}85} = 3529{,}4\ \mathrm{W} \approx 3{,}53\ \mathrm{kW}

Conferência — $10\ \mathrm{cm^2} = 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ ✔ $20\ \mathrm{L/s} = 0{,}02\ \mathrm{m^3/s}$ ✔ descarga livre mantém $v_2^2/2g$ na equação ✔ $H_m$ positivo é bomba, e aí o rendimento divide ✔ $N_{real} > N_{ideal}$ ✔

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Questão 402º EE2023.1 · 2ª chamadaIsolamento · Achar a espessura que atende à norma3,0 ptsVer material

Uma parede de $4\ \mathrm{m^2}$ de área transversal é composta por dois materiais: aço carbono ( $k = 3{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ; espessura de $10{,}0\ \mathrm{cm}$ ) e um isolante ( $k = 0{,}1\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ; espessura a ser determinada), justapostos para separar dois meios. Do lado do aço carbono (na esquerda) há gases de combustão a $1000\ ^\circ\mathrm{C}$ ( $h = 5{,}0\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ ) e do outro lado há ar a $25\ ^\circ\mathrm{C}$ ( $h = 3{,}0\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ ).

Sabendo que as normas ambientais limitam a liberação de calor a $400\ \mathrm{W/m^2}$ , determine a espessura da placa de isolante que deve ser usada e, também, as temperaturas nas interfaces da parede com os fluidos e na interface aço–isolante. Considere que não há geração de calor na parede.

O dado que resolve o problema é o limite de $400\ \mathrm{W/m^2}$ : ele fixa $q$ , e a espessura passa a ser a incógnita da equação das resistências.

Gabarito

q = q''\,A = 400 \times 4 = 1600\ \mathrm{W}

R_e = \frac{1}{h_1 A} = 0{,}05 \quad R_1 = \frac{L_{aço}}{k_{aço}A} = 0{,}00833 \quad R_2 = \frac{L_{iso}}{k_{iso}A} = 2{,}5\,L_{iso} \quad R_i = \frac{1}{h_2 A} = 0{,}0833

q = \frac{T_{\infty,1} - T_{\infty,2}}{R_t} \qquad\Longrightarrow\qquad 1600 = \frac{975}{2{,}5\,L_{iso} + 0{,}1417}

\boxed{\;L_{iso} \approx 0{,}187\ \mathrm{m} = 18{,}7\ \mathrm{cm}\;}

As temperaturas:

T_1 = 1000 - q R_e = \mathbf{920\ ^\circ C} \qquad T_2 = T_1 - q R_1 = \mathbf{907\ ^\circ C} \qquad T_3 = T_2 - q R_2 = \mathbf{158\ ^\circ C}

Passo a passo

Passo 1 — o problema está de cabeça para trás. Nas questões anteriores, a geometria era dada e o fluxo era a incógnita. Aqui é o contrário: o fluxo é dado (pelo limite da norma) e a geometria é a incógnita.

q'' = 400\ \mathrm{W/m^2} \qquad\Longrightarrow\qquad q = q''\,A = 400 \times 4 = 1600\ \mathrm{W}

Passo 2 — as quatro resistências, três conhecidas e uma com a incógnita.

R_e = \frac{1}{h_1 A} = \frac{1}{5{,}0 \times 4} = 0{,}05\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_1 = \frac{L_{aço}}{k_{aço}\,A} = \frac{0{,}10}{3{,}0 \times 4} = 0{,}00833\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_2 = \frac{L_{iso}}{k_{iso}\,A} = \frac{L_{iso}}{0{,}1 \times 4} = \frac{L_{iso}}{0{,}4} = 2{,}5\,L_{iso}

R_i = \frac{1}{h_2 A} = \frac{1}{3{,}0 \times 4} = 0{,}0833\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 3 — montar a equação e isolar $L_{iso}$ .

R_t = R_e + R_1 + R_2 + R_i = 0{,}05 + 0{,}00833 + 2{,}5\,L_{iso} + 0{,}0833 = 2{,}5\,L_{iso} + 0{,}1417

q = \frac{T_{\infty,1} - T_{\infty,2}}{R_t} \qquad\Longrightarrow\qquad 1600 = \frac{1000 - 25}{2{,}5\,L_{iso} + 0{,}1417}

2{,}5\,L_{iso} + 0{,}1417 = \frac{975}{1600} = 0{,}6094

2{,}5\,L_{iso} = 0{,}4677 \qquad\Longrightarrow\qquad L_{iso} = 0{,}1871\ \mathrm{m} \approx 18{,}7\ \mathrm{cm}

Passo 4 — as temperaturas, uma resistência por vez. Caminhando dos gases para dentro:

T_1 = T_{\infty,1} - q\,R_e = 1000 - 1600 \times 0{,}05 = 1000 - 80 = 920\ ^\circ\mathrm{C}

T_2 = T_1 - q\,R_1 = 920 - 1600 \times 0{,}00833 = 920 - 13{,}3 = 906{,}7\ ^\circ\mathrm{C}

R_2 = 2{,}5 \times 0{,}1871 = 0{,}4677\ ^\circ\mathrm{C/W}

T_3 = T_2 - q\,R_2 = 906{,}7 - 1600 \times 0{,}4677 = 906{,}7 - 748{,}3 = 158{,}4\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 5 — a conferência pelo lado do ar.

T_3 - T_{\infty,2} = q\,R_i = 1600 \times 0{,}0833 = 133{,}3\ ^\circ\mathrm{C} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = 25 + 133{,}3 = 158{,}3\ ^\circ\mathrm{C}\ \checkmark

Chega-se ao mesmo $T_3$ pelos dois caminhos.

Passo 6 — onde a temperatura cai.

resistência	valor $[^\circ\mathrm{C/W}]$	fração	$\Delta T$ $[^\circ\mathrm{C}]$
convecção dos gases	$0{,}0500$	$8{,}2\ \%$	$80{,}0$
condução no aço	$0{,}00833$	$1{,}4\ \%$	$13{,}3$
condução no isolante	$0{,}4677$	$\mathbf{76{,}7\ \%}$	$748{,}3$
convecção do ar	$0{,}0833$	$13{,}7\ \%$	$133{,}3$
total	$0{,}6094$	$100\ \%$	$\mathbf{975{,}0}$

As quedas somam $975\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔ E o isolante, como se espera do nome, absorve três quartos da queda: de $907$ para $158\ ^\circ\mathrm{C}$ em $18{,}7\ \mathrm{cm}$ .

Conferência — $q'' \times A$ dá o $q$ em watt, e é ele que entra na equação ✔ as duas convecções e as duas conduções usam a mesma área, $4\ \mathrm{m^2}$ ✔ a incógnita aparece só em $R_2$ ✔ as quatro quedas somam $975\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔ o isolante tem de concentrar a maior queda ✔

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Questão 412º EE2023.1 · 2ª chamadaFluxos de massa · Concentração a partir da pressão total3,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. Na entrada, a pressão total da mistura é de $20\ \mathrm{atm}$ e $60\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . Na saída, a pressão total é mantida constante e $75\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A mistura escoa com velocidade de $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ . O comprimento do tubo é de $2{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $5{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ . A temperatura é mantida constante, igual a $300\ \mathrm{K}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo e convectivo na saída do tubo. Admita regime permanente com perfil linear de concentração.

Dado: $R = 8{,}314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ .

Gabarito

C = \frac{P}{R\,T} = \frac{2{,}0265\times10^6}{8{,}314 \times 300} = 812{,}5\ \mathrm{mol/m^3}

Na saída: $C_{A2} = 203{,}1$ e $C_{B2} = 609{,}4\ \mathrm{mol/m^3}$ .

	difusivo $J''$	convectivo $n''$
$A$	$\mathbf{+7{,}11}$	$\mathbf{1{,}016\times10^3}$
$B$	$\mathbf{-7{,}11}$	$\mathbf{3{,}047\times10^3}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — a concentração total, que aqui vem da pressão. Esta é a novidade da questão: em vez de dar $C$ direto, o enunciado dá pressão e temperatura. Para mistura de gases ideais,

C = \frac{P}{R\,T}

P = 20\ \mathrm{atm} = 20 \times 1{,}013\times10^5 = 2{,}0265\times10^6\ \mathrm{Pa}

C = \frac{2{,}0265\times10^6}{8{,}314 \times 300} = \frac{2{,}0265\times10^6}{2494{,}2} = 812{,}5\ \mathrm{mol/m^3}

Passo 2 — completar as frações molares.

y_{A1} = 0{,}60 \Rightarrow y_{B1} = 0{,}40 \qquad\qquad y_{B2} = 0{,}75 \Rightarrow y_{A2} = 0{,}25

Passo 3 — as concentrações nas duas pontas.

C_{A1} = 0{,}60 \times 812{,}5 = 487{,}5 \qquad C_{B1} = 0{,}40 \times 812{,}5 = 325{,}0

C_{A2} = 0{,}25 \times 812{,}5 = 203{,}1 \qquad C_{B2} = 0{,}75 \times 812{,}5 = 609{,}4

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par soma $812{,}5$ ✔

Passo 4 — os gradientes (perfil linear).

\frac{dC_A}{dx} = \frac{203{,}1 - 487{,}5}{2{,}0} = -142{,}2\ \mathrm{mol/m^4}

\frac{dC_B}{dx} = \frac{609{,}4 - 325{,}0}{2{,}0} = +142{,}2\ \mathrm{mol/m^4}

Opostos, como tinha de ser com $C$ constante.

Passo 5 — os fluxos difusivos.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -5{,}0\times10^{-2} \times (-142{,}2) = +7{,}11\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -5{,}0\times10^{-2} \times (+142{,}2) = -7{,}11\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

$A$ difunde no sentido do escoamento; $B$ , contra. E o gradiente é constante, então esses valores servem em qualquer posição do tubo — inclusive na saída.

Passo 6 — os fluxos convectivos, na saída.

n''_A = C_{A2}\,v = 203{,}1 \times 5{,}0 = 1015{,}6 \approx 1{,}016\times10^3\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

n''_B = C_{B2}\,v = 609{,}4 \times 5{,}0 = 3046{,}8 \approx 3{,}047\times10^3\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Confira: $n''_A + n''_B = 4062{,}5 = C\,v = 812{,}5 \times 5$ ✔

Passo 7 — a leitura. O convectivo é da ordem de $10^3$ , o difusivo de $10^0$ : uma diferença de mais de 400 vezes. Com a mistura a $5\ \mathrm{m/s}$ e a $20\ \mathrm{atm}$ (portanto muito densa em mols), o transporte é praticamente todo convectivo. A difusão só redistribui as duas espécies dentro da corrente.

Conferência — atm para pascal ✔ temperatura em kelvin ✔ a fração da saída é de $B$ ✔ $C$ é a mesma nas duas pontas, porque $P$ e $T$ são constantes ✔ os difusivos saem opostos ✔ os convectivos usam a concentração da saída e somam $C\,v$ ✔

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Questão 422º EE2023.2 · 2ª chamadaCondições de contorno · Qual delas se aplica ao forno2,0 ptsVer material

Na transferência de calor através de uma parede plana, seja simples ou composta, como a parede de um forno, após o forno ser ligado e a temperatura interna ter entrado em equilíbrio (estável), considerando ainda que não haja acúmulo ou geração de calor no interior das paredes e, finalmente, sabendo que o forno está exposto ao ar, há uma condição de contorno que pode ser verificada.

Explique o que vêm a ser condições de contorno e que tipo de condição de contorno pode ser usada neste caso, descrevendo-a.

Gabarito

Condições de contorno são as situações que precisam ser conhecidas nas fronteiras do domínio para que se possa resolver o problema proposto — sem elas, a equação diferencial da condução tem infinitas soluções.

No caso em tela, a condição é do terceiro tipo, também chamada mista ou condição de Robin: ela ocorre quando a troca de calor é por condução e convecção ao mesmo tempo, ou seja, o calor que chega à superfície por condução é o que sai dela por convecção para o ar:

q_{\text{condução}} = q_{\text{convecção}} \qquad\Longrightarrow\qquad -k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{s} = h\,(T_s - T_\infty)

Os parâmetros conhecidos são $h$ e $T_\infty$ ; a temperatura da superfície é resultado, não dado.

Passo a passo

1 — O que são condições de contorno, e por que são necessárias. A equação da condução é diferencial de segunda ordem no espaço:

\frac{d^2T}{dx^2} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad T(x) = C_1 x + C_2

(a forma já simplificada pelas hipóteses do enunciado — ver o passo 2). Integrar duas vezes produz duas constantes, e elas não saem da equação: saem de duas informações nas fronteiras. Sem elas, o perfil é uma família de retas em vez de uma reta.

2 — Ler o enunciado como uma lista de hipóteses. Cada expressão do texto elimina um termo da equação geral:

o que o enunciado diz	o que isso significa	o que cai
“temperatura entrou em equilíbrio (estável)”	regime permanente	$\partial T/\partial t = 0$
“não haja acúmulo”	idem, reforçando	—
“nem geração de calor”	$\dot q = 0$	o termo de fonte
“parede plana”	unidimensional em $x$	$y$ e $z$

Sobrando:

\frac{d^2T}{dx^2} = 0

cuja solução é o perfil linear que se usa em toda parede plana.

3 — Qual é a condição, e por quê. A informação decisiva é “o forno está exposto ao ar”. Na face externa, então:

não se conhece a temperatura da superfície — logo não é Dirichlet (1º tipo);
não se conhece o fluxo prescrito — logo não é Neumann (2º tipo);
conhecem-se $h$ (do ar) e $T_\infty$ (do ambiente), e o que se sabe é que o que chega por condução sai por convecção.

Essa é a condição de Robin, do terceiro tipo, também dita mista:

\underbrace{-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{s}}_{\text{condução, no sólido}} = \underbrace{h\,(T_s - T_\infty)}_{\text{convecção, para o ar}}

4 — Como isso aparece na conta que se faz na prática. Escrita como resistência térmica, a condição de Robin é exatamente a resistência de convecção que se soma às de condução:

R_{conv} = \frac{1}{h\,A}

q = \frac{T_{\infty,int} - T_{\infty,ext}}{\dfrac{1}{h_{int}A} + \dfrac{L_1}{k_1 A} + \dfrac{L_2}{k_2 A} + \dfrac{1}{h_{ext}A}}

Toda vez que se soma um $1/(hA)$ ao circuito térmico, está-se aplicando uma condição de Robin. Dizer isso na resposta liga a teoria ao exercício numérico da mesma prova.

As três, para não trocar os nomes

tipo	nome	fixa	quando aparece
1º	Dirichlet	a temperatura $T_s$	face em mudança de fase, ou medida
2º	Neumann	o fluxo $q''_s$	resistência elétrica; face isolada ( $q'' = 0$ )
3º	Robin / mista	$T$ e $\partial T/\partial x$ juntos	face trocando com um fluido ( $h$ , $T_\infty$ )

Robin é, de longe, a mais comum em problemas reais — porque quase sempre há um fluido do outro lado.

Conferência — definir o que são condições de contorno antes de escolher a tipo ✔ justificar a escolha pelo dado “exposto ao ar”, isto é, fluido com $h$ e $T_\infty$ ✔ escrever a igualdade $q_{cond} = q_{conv}$ , que é a descrição pedida ✔ dar o nome: terceiro tipo, mista, ou Robin ✔

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Questão 432º EE2023.2 · 2ª chamadaContinuidade · Mistura de dois líquidos incompressíveis3,0 ptsVer material

Um sistema de escoamento é composto por dois tubos de entrada e um de saída. O tubo (1) admite um líquido ( $\rho_1 = 820\ \mathrm{kg/m^3}$ ) com uma vazão de $0{,}02\ \mathrm{m^3/s}$ e o tubo (2) admite outro líquido ( $\rho_2 = 950\ \mathrm{kg/m^3}$ ) com vazão de $0{,}01\ \mathrm{m^3/s}$ . A mistura formada é descarregada pelo tubo (3), de diâmetro interno $5\ \mathrm{cm}$ . Determine a densidade e a velocidade de saída da mistura. Considere o regime permanente de escoamento.

São líquidos: incompressíveis. Aqui, ao contrário dos gases, a vazão volumétrica também se conserva.

Gabarito

Como os fluidos são incompressíveis, o volume também se conserva:

Q_3 = Q_1 + Q_2 = 0{,}02 + 0{,}01 = 0{,}03\ \mathrm{m^3/s}

\rho_3 = \frac{\rho_1 Q_1 + \rho_2 Q_2}{Q_3} = \frac{820(0{,}02) + 950(0{,}01)}{0{,}03} \approx \mathbf{863{,}3\ kg/m^3}

A_3 = \frac{\pi d_3^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = 1{,}963\times10^{-3}\ \mathrm{m^2} \qquad v_3 = \frac{Q_3}{A_3} \approx \mathbf{15{,}3\ m/s}

Passo a passo

Passo 1 — a diferença que muda tudo: são líquidos. Nas questões com gases, $Q_3 \ne Q_1 + Q_2$ , e era preciso o enunciado dar $Q_3$ . Aqui os fluidos são líquidos, portanto incompressíveis, e as duas conservações valem ao mesmo tempo:

\underbrace{\dot m_3 = \dot m_1 + \dot m_2}_{\text{sempre vale}} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{Q_3 = Q_1 + Q_2}_{\text{só com } \rho \text{ constante}}

Q_3 = 0{,}02 + 0{,}01 = 0{,}03\ \mathrm{m^3/s}

Passo 2 — a massa específica da mistura, pela conservação de massa.

\rho_1 Q_1 + \rho_2 Q_2 = \rho_3 Q_3 \qquad\Longrightarrow\qquad \rho_3 = \frac{\rho_1 Q_1 + \rho_2 Q_2}{Q_3}

\rho_3 = \frac{820 \times 0{,}02 + 950 \times 0{,}01}{0{,}03} = \frac{16{,}4 + 9{,}5}{0{,}03} = \frac{25{,}9}{0{,}03} = 863{,}3\ \mathrm{kg/m^3}

Passo 3 — a área da seção de saída. O enunciado dá o diâmetro:

A_3 = \frac{\pi d_3^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = \frac{\pi \times 0{,}0025}{4} = 1{,}963\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

Passo 4 — a velocidade de saída.

v_3 = \frac{Q_3}{A_3} = \frac{0{,}03}{1{,}963\times10^{-3}} = 15{,}3\ \mathrm{m/s}

Passo 5 — a conferência final pela vazão mássica.

\dot m_3 = \rho_3 Q_3 = 863{,}3 \times 0{,}03 = 25{,}9\ \mathrm{kg/s}

\dot m_1 + \dot m_2 = 820(0{,}02) + 950(0{,}01) = 16{,}4 + 9{,}5 = 25{,}9\ \mathrm{kg/s}\ \checkmark

Conferência — com líquidos, as vazões volumétricas se somam ✔ o diâmetro tem de ir para área, com o $\pi d^2/4$ ✔ $\rho_3$ tem de ficar entre as duas massas específicas de entrada ✔ a vazão mássica calculada pela saída tem de bater com a soma das entradas ✔

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Questão 442º EE2023.2 · 2ª chamadaMáquina hidráulica · Ferro fundido, tubo estreito e 8 kW de turbina3,0 ptsVer material

Considere o sistema de escoamento de água ( $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ; $\mu = 0{,}001\ \mathrm{Pa\cdot s}$ ) apresentado na figura. Um tanque de grandes dimensões (1) está conectado a uma máquina que descarrega água no ponto (2) com uma vazão de $0{,}05\ \mathrm{m^3/s}$ , constante ao longo de toda a tubulação. A tubulação de ferro fundido (iron, cast) tem diâmetro de $15\ \mathrm{cm}$ .

a) Se a máquina é uma bomba ou uma turbina.

b) A potência ideal da máquina.

Dados: $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ; $k_{\text{joelho}} = 0{,}55$ ; $k_{\text{válvula}} = 1{,}85$ ; para ferro fundido, $\varepsilon = 0{,}15\ \mathrm{mm}$ .

Mesmo traçado da prova de 2022.1 — sete trechos somando $34\ \mathrm{m}$ , quatro joelhos e uma válvula. O que muda são o diâmetro, o material e a vazão.

Gabarito

A = \frac{\pi d^2}{4} = 1{,}767\times10^{-2}\ \mathrm{m^2} \qquad v = \frac{Q}{A} = 2{,}829\ \mathrm{m/s} \qquad \frac{v^2}{2g} = 0{,}400\ \mathrm{m}

Re = \frac{\rho v d}{\mu} = 4{,}24\times10^{5}\ \text{(turbulento)} \qquad \frac{\varepsilon}{d} = 0{,}001 \qquad\Longrightarrow\qquad f = 0{,}02

h_{pd} = 1{,}815\ \mathrm{m} \qquad h_{pl} = 1{,}621\ \mathrm{m} \qquad h_p = 3{,}436\ \mathrm{m}

a)

M = \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p - y_1 = 0{,}400 + 5 + 3{,}436 - 25 = \mathbf{-16{,}16\ m} \qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{turbina}

b)

N_T = \rho\,Q\,g\,|M| = 1000 \times 0{,}05 \times 10 \times 16{,}16 \approx \mathbf{8{,}08\ kW}

Passo a passo

Passo 1 — velocidade e carga cinética.

A = \frac{\pi (0{,}15)^2}{4} = 1{,}767\times10^{-2}\ \mathrm{m^2} \qquad v = \frac{0{,}05}{1{,}767\times10^{-2}} = 2{,}829\ \mathrm{m/s}

\frac{v^2}{2g} = \frac{2{,}829^2}{2 \times 10} = \frac{8{,}003}{20} = 0{,}400\ \mathrm{m}

Passo 2 — o regime e o fator de atrito, no Moody.

Re = \frac{\rho\,v\,d}{\mu} = \frac{1000 \times 2{,}829 \times 0{,}15}{0{,}001} = 4{,}24\times10^{5}

Turbulento. E a rugosidade relativa do ferro fundido:

\frac{\varepsilon}{d} = \frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}15} = 1{,}0\times10^{-3} \qquad\Longrightarrow\qquad f \approx 0{,}02

A rugosidade é do material, e vem da tabela do Moody

O diagrama de Moody traz, ao lado, a lista de rugosidades absolutas:

material	$\varepsilon$
concreto grosseiro	$0{,}25\ \mathrm{mm}$
ferro fundido	$0{,}15\ \mathrm{mm}$
aço comercial	$0{,}045\ \mathrm{mm}$
tubo estirado	$0{,}0025\ \mathrm{mm}$

O enunciado nomeia o material (iron, cast) esperando que se busque o $\varepsilon$ ali. Trocar o material troca o $f$ e todo o resto.

Passo 3 — a perda distribuída, com $L = 34\ \mathrm{m}$ . Somando os sete trechos da figura: $5 + 10 + 2 + 4 + 3 + 5 + 5 = 34\ \mathrm{m}$ .

h_{pd} = f\,\frac{L}{d}\,\frac{v^2}{2g} = 0{,}02 \times \frac{34}{0{,}15} \times 0{,}400 = 0{,}02 \times 226{,}7 \times 0{,}400 = 1{,}815\ \mathrm{m}

Passo 4 — as perdas localizadas. Quatro joelhos e uma válvula:

h_{pl} = \left(4k_j + k_v\right)\frac{v^2}{2g} = (4 \times 0{,}55 + 1{,}85) \times 0{,}400 = 4{,}05 \times 0{,}400 = 1{,}621\ \mathrm{m}

h_p = 1{,}815 + 1{,}621 = 3{,}436\ \mathrm{m}

Passo 5 — a equação da energia com máquina. Do tanque (1) até a descarga livre (2):

\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + y_1 + M = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + y_2 + h_p

Com $p_1 = p_2 = p_{atm}$ , $v_1 \approx 0$ (grandes dimensões) e $v_2 = v$ (descarga livre):

M = \frac{v^2}{2g} + y_2 + h_p - y_1 = 0{,}400 + 5 + 3{,}436 - 25 = -16{,}164\ \mathrm{m}

Passo 6 — item (a): o sinal. $M < 0$ : a máquina retira carga. É uma turbina.

Passo 7 — item (b): a potência ideal. O item pede a ideal, então não entra rendimento:

N_T = \rho\,Q\,g\,|M| = 1000 \times 0{,}05 \times 10 \times 16{,}164 = 8082\ \mathrm{W} \approx 8{,}08\ \mathrm{kW}

O mesmo traçado, três resultados diferentes

Esta é a terceira aparição deste sistema nas provas — mesmo desenho, mesmos 34 m, mesmos quatro joelhos:

	2022.1 (e turma KT)	2023.2 · 2ª chamada
$d$	$50\ \mathrm{cm}$	$15\ \mathrm{cm}$
material	concreto grosseiro	ferro fundido
$Q$	$1{,}2\ \mathrm{m^3/s}$	$0{,}05\ \mathrm{m^3/s}$
$v$	$6{,}11\ \mathrm{m/s}$	$2{,}83\ \mathrm{m/s}$
$v^2/2g$	$1{,}87\ \mathrm{m}$	$0{,}40\ \mathrm{m}$
$h_p$	$9{,}11\ \mathrm{m}$	$3{,}44\ \mathrm{m}$
$M$	$-9{,}03\ \mathrm{m}$	$-16{,}16\ \mathrm{m}$
potência	$86{,}7\ \mathrm{kW}$ (com $\eta$ )	$8{,}08\ \mathrm{kW}$ (ideal)

Repare no contraste: aqui a carga extraída é maior ( $16$ contra $9\ \mathrm{m}$ ), porque as perdas são menores — mas a potência é dez vezes menor, porque a vazão é vinte e quatro vezes menor. Carga e potência não andam juntas: $N = \gamma Q H$ tem os dois fatores.

Conferência — $\varepsilon$ do ferro fundido, $0{,}15\ \mathrm{mm}$ ✔ $L = 34\ \mathrm{m}$ , somando os sete trechos ✔ descarga livre mantém $v^2/2g$ ✔ $M$ negativo é turbina ✔ o item pede a potência ideal, então nada de rendimento ✔

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Questão 452º EE2023.2 · 2ª chamadaForno · Duas camadas de tijolo com convecção nos dois lados3,0 ptsVer material

Considere um forno cuja parede é constituída de duas camadas adjacentes: a interna de $0{,}22\ \mathrm{m}$ de espessura de tijolo refratário ( $k_1 = 1{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ) e a externa de $0{,}15\ \mathrm{m}$ de espessura de tijolo isolante ( $k_2 = 0{,}35\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}$ ). A temperatura dos gases dentro do forno ( $h_{int} = 45\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ ) é $1200\ ^\circ\mathrm{C}$ , enquanto a temperatura dos gases fora do forno ( $h_{ext} = 16{,}5\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}$ ) é $25\ ^\circ\mathrm{C}$ . A área lateral da parede é de $10\ \mathrm{m^2}$ . Desprezando a resistência térmica das juntas entre os tijolos, determine:

a) (1,5 pontos) A taxa de calor transferida no sistema.

b) (1,5 pontos) As temperaturas na face interna, entre camadas e face externa da parede.

Quatro resistências em série: convecção interna, refratário, isolante e convecção externa.

Gabarito

a)

q = \frac{T_1 - T_5}{\dfrac{1}{h_{int}A} + \dfrac{L_1}{k_1 A} + \dfrac{L_2}{k_2 A} + \dfrac{1}{h_{ext}A}} = \frac{1200 - 25}{0{,}002222 + 0{,}014667 + 0{,}042857 + 0{,}006061}

q = \frac{1175}{0{,}065806} \approx \mathbf{1{,}786\times10^{4}\ W} = 17{,}9\ \mathrm{kW}

b)

T_2 = 1200 - \frac{q}{h_{int}A} \approx \mathbf{1160\ ^\circ C}

T_3 = T_2 - \frac{q\,L_1}{k_1 A} \approx \mathbf{898\ ^\circ C}

T_4 = T_3 - \frac{q\,L_2}{k_2 A} \approx \mathbf{133\ ^\circ C}

Passo a passo

Passo 1 — as quatro resistências, todas com a mesma área.

R_{int} = \frac{1}{h_{int}A} = \frac{1}{45 \times 10} = 0{,}002222\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_1 = \frac{L_1}{k_1 A} = \frac{0{,}22}{1{,}5 \times 10} = 0{,}014667\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_2 = \frac{L_2}{k_2 A} = \frac{0{,}15}{0{,}35 \times 10} = 0{,}042857\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_{ext} = \frac{1}{h_{ext}A} = \frac{1}{16{,}5 \times 10} = 0{,}006061\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_{total} = 0{,}065806\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 2 — a taxa de calor, item (a).

q = \frac{T_1 - T_5}{R_{total}} = \frac{1200 - 25}{0{,}065806} = \frac{1175}{0{,}065806} = 17\,855\ \mathrm{W}

ou $1{,}786\times10^4\ \mathrm{W}$ , cerca de $18\ \mathrm{kW}$ escapando pela parede.

Passo 3 — as três temperaturas, item (b). Uma resistência por vez, sempre no sentido do fluxo (de dentro para fora):

T_2 = T_1 - q\,R_{int} = 1200 - 17\,855 \times 0{,}002222 = 1200 - 39{,}7 = 1160\ ^\circ\mathrm{C}

T_3 = T_2 - q\,R_1 = 1160 - 17\,855 \times 0{,}014667 = 1160 - 261{,}8 = 898\ ^\circ\mathrm{C}

T_4 = T_3 - q\,R_2 = 898 - 17\,855 \times 0{,}042857 = 898 - 765{,}2 = 133\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 4 — a conferência pelo lado de fora.

T_4 - T_5 = q\,R_{ext} = 17\,855 \times 0{,}006061 = 108{,}2\ ^\circ\mathrm{C} \qquad\Longrightarrow\qquad T_4 = 25 + 108{,}2 = 133{,}2\ ^\circ\mathrm{C}\ \checkmark

Passo 5 — a leitura do projeto.

resistência	valor $[^\circ\mathrm{C/W}]$	fração	$\Delta T$ $[^\circ\mathrm{C}]$
convecção interna	$0{,}002222$	$3{,}4\ \%$	$39{,}7$
refratário	$0{,}014667$	$22{,}3\ \%$	$261{,}8$
isolante	$0{,}042857$	$\mathbf{65{,}1\ \%}$	$765{,}2$
convecção externa	$0{,}006061$	$9{,}2\ \%$	$108{,}2$
total	$0{,}065806$	$100\ \%$	$\mathbf{1175}$

As quatro quedas somam $1175\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔

E o projeto da parede fica evidente: o refratário por dentro existe para aguentar os $1200\ ^\circ\mathrm{C}$ (é o que o nome diz), e é ele quem derruba a temperatura de $1160$ para $898\ ^\circ\mathrm{C}$ ; o isolante por fora, com $k$ quatro vezes menor, é quem faz o trabalho térmico, derrubando de $898$ para $133\ ^\circ\mathrm{C}$ .

Conferência — as quatro resistências com a mesma área, $10\ \mathrm{m^2}$ ✔ o item (a) pede taxa (watt), não densidade ✔ as espessuras já vêm em metros ✔ as quatro quedas somam $1175\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔ $T_4$ conferido pelos dois caminhos ✔

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Questão 462º EE2023.2 · 2ª chamadaFluxos de massa · Perfil linear com C constante, na saída3,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. Na entrada, a concentração total da mistura é de $500\ \mathrm{mol/m^3}$ e $40\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . Na saída, a concentração total é mantida constante e $55\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A mistura escoa com velocidade constante de $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ . O comprimento do tubo é de $2{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $5{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades (taxa por unidade de área) de fluxo difusivo e convectivo na saída do tubo. Admita regime unidimensional permanente, sem reação química e com perfil linear de concentração.

Gabarito

Entrada: $C_{EA} = 200$ , $C_{EB} = 300$ . Saída: $C_{SA} = 225$ , $C_{SB} = 275\ \mathrm{mol/m^3}$ .

C_A(x) = 12{,}5\,x + 200 \qquad\qquad C_B(x) = -12{,}5\,x + 300

	difusivo $J''$	convectivo $N''$
$A$	$\mathbf{-0{,}625}$	$\mathbf{1125}$
$B$	$\mathbf{+0{,}625}$	$\mathbf{1375}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações e achar as concentrações. A concentração total é a mesma nas duas pontas ( $500\ \mathrm{mol/m^3}$ ), porque o enunciado diz que ela é mantida constante.

x_{EA} = 0{,}40 \Rightarrow x_{EB} = 0{,}60 \qquad\qquad x_{SB} = 0{,}55 \Rightarrow x_{SA} = 0{,}45

C_{EA} = 0{,}40 \times 500 = 200 \qquad C_{EB} = 0{,}60 \times 500 = 300

C_{SA} = 0{,}45 \times 500 = 225 \qquad C_{SB} = 0{,}55 \times 500 = 275

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par soma $500$ ✔

Passo 2 — montar o perfil linear pelas condições de contorno. O enunciado pede perfil linear, isto é, $C(x) = C_1 x + C_2$ . Duas condições, duas constantes:

Em $x = 0$ :

C_A(0) = C_{1A}(0) + C_{2A} = C_{2A} = C_{EA} = 200\ \mathrm{mol/m^3}

Em $x = L = 2{,}0\ \mathrm{m}$ :

C_{SA} = C_{1A}L + C_{EA} \qquad\Longrightarrow\qquad C_{1A} = \frac{C_{SA} - C_{EA}}{L} = \frac{225 - 200}{2{,}0} = 12{,}5\ \mathrm{mol/m^4}

C_A(x) = 12{,}5\,x + 200 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dC_A}{dx} = 12{,}5\ \mathrm{mol/m^4}

Para $B$ , do mesmo modo:

C_{2B} = 300 \qquad C_{1B} = \frac{275 - 300}{2{,}0} = -12{,}5\ \mathrm{mol/m^4}

C_B(x) = -12{,}5\,x + 300

Passo 3 — os fluxos difusivos. O gradiente é constante, então valem em qualquer posição, inclusive na saída:

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -5{,}0\times10^{-2} \times 12{,}5 = -0{,}625\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -5{,}0\times10^{-2} \times (-12{,}5) = +0{,}625\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_A = -J''_B\ \checkmark

$J''_A$ é negativo porque $A$ ganha concentração ao longo do tubo ( $200 \to 225$ ): ele difunde da saída para a entrada, contra o escoamento. E $B$ , que perde ( $300 \to 275$ ), difunde no sentido do escoamento.

Passo 4 — os fluxos convectivos, na saída.

N''_A = C_{SA}\,v = 225 \times 5{,}0 = 1125\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_{SB}\,v = 275 \times 5{,}0 = 1375\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Confira: $N''_A + N''_B = 2500 = C\,v = 500 \times 5$ ✔

Passo 5 — a ordem de grandeza. O convectivo é 1800 vezes o difusivo. A difusão, aqui, é um ajuste fino: transfere $0{,}625\ \mathrm{mol/(m^2s)}$ de $B$ para a frente e a mesma quantidade de $A$ para trás, dentro de uma corrente que carrega $2500$ .

Quatro versões, e o que muda em cada uma

prova	$C$	onde	$J''_A$
2022.1	$200$ const.	saída	$+1{,}5$
2022.1 · 2ª ch.	$400$ const.	entrada	$-0{,}8$
2023.1 · 2ª ch.	$812{,}5$ (de $P/RT$ )	saída	$+7{,}11$
2023.2 · 2ª ch.	$500$ const.	saída	$-0{,}625$

O roteiro é sempre o mesmo. O que muda: se $C$ é dado ou vem de $P/RT$ , onde avaliar, e se $A$ ganha ou perde concentração ao longo do caminho — que é o que decide o sinal de $J''_A$ .

Conferência — a fração da saída é de $B$ ✔ a concentração total é a mesma nas duas pontas ✔ os difusivos saem opostos ✔ o convectivo usa a concentração da saída e a soma dá $C\,v$ ✔ $J''_A < 0$ é correto aqui, porque $A$ cresce para a frente ✔

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Questão 472º EE2022.2Parede composta · Como o fluxo se divide entre dois ramos em paralelo2,5 ptsVer material

Considere a parede composta apresentada na figura, com fluidos distintos escoando de cada lado.

Dados: $T_{\infty,1} = 300\ \mathrm{K}$ ; $T_{\infty,2} = 500\ \mathrm{K}$ ; $A_1 = 4{,}0\ \mathrm{m^2}$ ; $A_2 = 2{,}5\ \mathrm{m^2}$ ; $A_4 = 1{,}0\ \mathrm{m^2}$ ; $L_1 = 0{,}2\ \mathrm{m}$ ; $L_2 = 0{,}4\ \mathrm{m}$ ; $L_3 = 0{,}5\ \mathrm{m}$ ; $k_1 = 1{,}0$ ; $k_2 = 0{,}8$ ; $k_3 = 1{,}5$ ; $k_4 = 0{,}7$ ; $k_5 = 0{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $h_A = 1{,}3$ ; $h_B = 3{,}1\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ .

Determine:

a) (1,5 pts.) As temperaturas $T_3$ e $T_4$ .

b) (1,0 pt.) O fluxo de calor que passa através das paredes $(4)$ e $(5)$ .

A mesma parede da prova de 2022.1 — mas agora o que se pede são as temperaturas do outro lado, $T_3$ e $T_4$ , e como o fluxo se divide entre $(4)$ e $(5)$ .

Gabarito

O circuito é o mesmo da prova de 2022.1, e o fluxo total também:

R_T = 0{,}6443\ \mathrm{K/W} \qquad q = \frac{500 - 300}{0{,}6443} = 310{,}4\ \mathrm{W}

a) Caminhando do fluido B para dentro (é dele que o calor vem):

T_4 = T_{\infty,2} - q\,R_{convB} = 500 - 310{,}4 \times 0{,}0806 \approx \mathbf{475{,}0\ K}

T_3 = T_4 - q\,R_{eq,2} = 475{,}0 - 310{,}4 \times 0{,}2273 \approx \mathbf{404{,}4\ K}

b) Os dois ramos em paralelo estão sob a mesma diferença $T_3 - T_4$ :

q_4 = \frac{T_3 - T_4}{R_4} = \frac{-70{,}55}{0{,}7143} \approx \mathbf{-98{,}8\ W} \qquad q_5 = \frac{-70{,}55}{0{,}3333} \approx \mathbf{-211{,}6\ W}

Em módulo, $98{,}8 + 211{,}6 = 310{,}4\ \mathrm{W}$ — o fluxo total ✔ O sinal negativo diz que o calor vai de $(4)$ / $(5)$ para dentro, isto é, no sentido do lado quente para o frio.

Passo a passo

Passo 1 — o circuito, que é o mesmo de 2022.1. As resistências não mudam, então vale reaproveitar:

A_3 = A_1 - A_2 = 1{,}5\ \mathrm{m^2} \qquad A_5 = A_1 - A_4 = 3{,}0\ \mathrm{m^2}

R_{convA} = 0{,}1923 \quad R_1 = 0{,}05 \quad R_2 = 0{,}2 \quad R_3 = 0{,}1778 \quad R_4 = 0{,}7143 \quad R_5 = 0{,}3333 \quad R_{convB} = 0{,}0806

R_{eq,1} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = 0{,}0941 \qquad R_{eq,2} = \frac{R_4 R_5}{R_4 + R_5} = 0{,}2273

R_T = 0{,}1923 + 0{,}05 + 0{,}0941 + 0{,}2273 + 0{,}0806 = 0{,}6443\ \mathrm{K/W}

q = \frac{\Delta T}{R_T} = \frac{500 - 300}{0{,}6443} = 310{,}4\ \mathrm{W}

Passo 2 — item (a): caminhar do lado quente. O calor entra pelo lado $B$ ( $500\ \mathrm{K}$ ), então, indo no sentido do fluxo, a temperatura cai:

T_4 = T_{\infty,2} - q\,R_{convB} = 500 - 310{,}4 \times 0{,}0806 = 500 - 25{,}0 = 475{,}0\ \mathrm{K}

T_3 = T_4 - q\,R_{eq,2} = 475{,}0 - 310{,}4 \times 0{,}2273 = 475{,}0 - 70{,}6 = 404{,}4\ \mathrm{K}

Confira com o resultado da outra prova

De 2022.1: $T_1 = 359{,}7\ \mathrm{K}$ e $T_2 = 375{,}2\ \mathrm{K}$ . Somando todas as quedas de temperatura, de $300$ a $500\ \mathrm{K}$ :

\underbrace{59{,}7}_{convA} + \underbrace{15{,}5}_{(1)} + \underbrace{29{,}2}_{eq1} + \underbrace{70{,}6}_{eq2} + \underbrace{25{,}0}_{convB} = 200{,}0\ \mathrm{K}\ \checkmark

E as quatro temperaturas internas ficam em ordem: $T_1 = 359{,}7 < T_2 = 375{,}2 < T_3 = 404{,}4 < T_4 = 475{,}0$ . Crescem do lado frio para o quente, como tem de ser.

Passo 3 — item (b): como o paralelo divide o fluxo. Este é o ponto novo da questão. Em paralelo, os dois ramos estão sob a mesma diferença de temperatura:

\Delta T_{eq,2} = T_3 - T_4 = 404{,}4 - 475{,}0 = -70{,}6\ \mathrm{K}

e cada um leva a parcela que a sua resistência permite:

q_4 = \frac{T_3 - T_4}{R_4} = \frac{-70{,}55}{0{,}7143} = -98{,}8\ \mathrm{W}

q_5 = \frac{T_3 - T_4}{R_5} = \frac{-70{,}55}{0{,}3333} = -211{,}6\ \mathrm{W}

O sinal negativo é consequência de a numeração ir do lado frio para o quente: o calor flui no sentido contrário, de $(4)$ / $(5)$ para $(1)$ . Em módulo, o que importa é a repartição.

Passo 4 — a conferência, que é obrigatória aqui.

|q_4| + |q_5| = 98{,}8 + 211{,}6 = 310{,}4\ \mathrm{W} = q\ \checkmark

Todo o fluxo que atravessa a parede se divide entre os dois ramos — nada se cria nem se perde no nó.

Passo 5 — por que a divisão é desigual. A parcela de cada ramo é inversamente proporcional à sua resistência:

\frac{q_5}{q_4} = \frac{R_4}{R_5} = \frac{0{,}7143}{0{,}3333} = 2{,}14 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{211{,}6}{98{,}8} = 2{,}14\ \checkmark

O material $(5)$ leva duas vezes mais calor que o $(4)$ . Duas razões somadas: a área é o triplo ( $3{,}0$ contra $1{,}0\ \mathrm{m^2}$ ) — o que puxa a favor de $(5)$ —, mas a condutividade é menor ( $0{,}5$ contra $0{,}7$ ) — o que puxa contra. O saldo dá $2{,}14$ .

Conferência — o $q$ total é o mesmo da prova de 2022.1 ✔ para achar $T_3$ e $T_4$ caminha-se do lado quente ✔ os dois ramos em paralelo compartilham o mesmo $\Delta T$ ✔ os fluxos dos ramos somam o total ✔ o ramo de menor resistência leva mais calor ✔

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Questão 482º EE2022.2Esfera · Achar o h externo a partir do raio crítico2,5 ptsVer material

Considere uma esfera de um material $A$ (homogênea e de temperatura constante), recoberta por uma camada de um material $B$ , recoberta novamente com uma camada de um isolante térmico. Na parte externa da esfera, um fluido escoa fazendo convecção.

Dados: $T_1 = 250\ \mathrm{K}$ ; $T_\infty = 400\ \mathrm{K}$ ; $r_1 = 5\ \mathrm{cm}$ ; $r_2 = 8\ \mathrm{cm}$ ; $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ ; $k_B = 4{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $k_{iso} = 0{,}7\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $r_c = 23\ \mathrm{cm}$ .

Determine:

a) (0,5 pts.) O coeficiente de transferência de calor por convecção do fluido externo, $h_e$ .

b) (1,0 pt.) O fluxo de calor através do sistema.

c) (1,0 pt.) As temperaturas na interface entre o material $B$ e o isolante térmico e na superfície externa do isolante térmico.

Aqui o $h_e$ não é dado: quem é dado é o raio crítico, $r_c = 23\ \mathrm{cm}$ . O item (a) inverte a fórmula do crítico para achar o coeficiente de convecção.

Gabarito

a) Invertendo a fórmula do raio crítico para esfera:

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e} \qquad\Longrightarrow\qquad h_e = \frac{2\,k_{iso}}{r_c} = \frac{2 \times 0{,}7}{0{,}23} \approx \mathbf{6{,}087\ W/(m^2 \cdot K)}

b)

R_B = 0{,}1492 \qquad R_{iso} = 0{,}2842 \qquad R_{conv} = \frac{1}{h_e\,4\pi r_3^2} = 1{,}3073 \qquad R_T = 1{,}7408\ \mathrm{K/W}

q = \frac{250 - 400}{1{,}7408} \approx \mathbf{-86{,}2\ W}

Negativo: o calor entra na esfera, porque o fluido externo está mais quente.

c)

T_2 = T_1 - q\,R_B \approx \mathbf{262{,}9\ K} \qquad\qquad T_3 = T_2 - q\,R_{iso} \approx \mathbf{287{,}3\ K}

Passo a passo

Passo 1 — item (a): a fórmula do raio crítico, usada ao contrário. Nas outras provas, $h_e$ era dado e $r_c$ era a incógnita. Aqui é o inverso — e é por isso que este item vale meio ponto: é uma linha.

r_c = \frac{2\,k_{iso}}{h_e} \qquad\Longrightarrow\qquad h_e = \frac{2\,k_{iso}}{r_c}

h_e = \frac{2 \times 0{,}7}{0{,}23} = \frac{1{,}4}{0{,}23} = 6{,}087\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}

Passo 2 — as três resistências, item (b). Raios em metros: $r_1 = 0{,}05$ , $r_2 = 0{,}08$ , $r_3 = 0{,}10$ .

R_B = \frac{1/r_1 - 1/r_2}{4\pi k_B} = \frac{20 - 12{,}5}{4\pi \times 4{,}0} = \frac{7{,}5}{50{,}27} = 0{,}1492\ \mathrm{K/W}

R_{iso} = \frac{1/r_2 - 1/r_3}{4\pi k_{iso}} = \frac{12{,}5 - 10}{4\pi \times 0{,}7} = \frac{2{,}5}{8{,}796} = 0{,}2842\ \mathrm{K/W}

R_{conv} = \frac{1}{h_e\,4\pi r_3^2} = \frac{1}{6{,}087 \times 4\pi (0{,}10)^2} = \frac{1}{0{,}7649} = 1{,}3073\ \mathrm{K/W}

R_T = 0{,}1492 + 0{,}2842 + 1{,}3073 = 1{,}7408\ \mathrm{K/W}

Passo 3 — o fluxo, e o seu sinal.

q = \frac{T_1 - T_\infty}{R_T} = \frac{250 - 400}{1{,}7408} = \frac{-150}{1{,}7408} = -86{,}2\ \mathrm{W}

Negativo: com $T_\infty = 400\ \mathrm{K}$ contra $T_1 = 250\ \mathrm{K}$ , é o fluido que aquece a esfera. Em módulo, $86{,}2\ \mathrm{W}$ entrando.

Passo 4 — item (c): as temperaturas das interfaces.

T_2 = T_1 - q\,R_B = 250 - (-86{,}2)(0{,}1492) = 250 + 12{,}9 = 262{,}9\ \mathrm{K}

T_3 = T_2 - q\,R_{iso} = 262{,}9 - (-86{,}2)(0{,}2842) = 262{,}9 + 24{,}5 = 287{,}3\ \mathrm{K}

As temperaturas crescem de dentro para fora, coerentemente com o calor entrando.

Passo 5 — a conferência pela convecção.

T_3 - T_\infty = q\,R_{conv} = -86{,}2 \times 1{,}3073 = -112{,}7\ \mathrm{K} \qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = 400 - 112{,}7 = 287{,}3\ \mathrm{K}\ \checkmark

Passo 6 — o que o raio crítico dado já anunciava. Com $r_c = 23\ \mathrm{cm}$ e $r_3 = 10\ \mathrm{cm}$ , o sistema está bem antes do crítico. E a tabela confirma o motivo:

| resistência | valor $[\mathrm{K/W}]$ | fração | $|\Delta T|$ $[\mathrm{K}]$ | |---|---|---|---| | condução em $B$ | $0{,}1492$ | $8{,}6\ \%$ | $12{,}9$ | | condução no isolante | $0{,}2842$ | $16{,}3\ \%$ | $24{,}5$ | | convecção externa | $1{,}3073$ | $\mathbf{75{,}1\ \%}$ | $112{,}7$ | | total | $1{,}7408$ | $100\ \%$ | $\mathbf{150{,}0}$ |

Com $h_e$ baixo (pouco mais de $6$ ), a convecção externa é o gargalo, e é por isso que aumentar a área externa — pondo mais isolante — ainda aumentaria a troca. Os itens (a) e (b) contam a mesma história por dois caminhos.

Compare as três versões desta esfera

prova	$T_1$	$T_\infty$	$h_e$	$r_c$	$q$
2022.1	$350$	$298$	$6{,}2$ (dado)	$22{,}6\ \mathrm{cm}$	$+30{,}3\ \mathrm{W}$
2022.2	$250$	$400$	$6{,}087$ (a achar)	$23\ \mathrm{cm}$ (dado)	$-86{,}2\ \mathrm{W}$
2023.2	$293$	$393$	$2{,}0$ (dado)	$7\ \mathrm{cm}$	$-14{,}4\ \mathrm{W}$

Mesma geometria nas três, com o item (a) invertido em 2022.2. E note o $\Delta T$ de $150\ \mathrm{K}$ desta versão: é o que faz o fluxo ser o maior das três.

Conferência — o raio crítico da esfera leva o 2 no numerador, e aqui ele é invertido ✔ resistência esférica sem $L$ ✔ convecção com $4\pi r_3^2$ ✔ $q$ negativo, porque o fluido é o mais quente ✔ as quedas somam $150\ \mathrm{K}$ ✔

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Questão 492º EE2022.2Fluxos de massa · A quinta versão, com A ganhando concentração2,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. A concentração total da mistura é mantida constante, igual a $400\ \mathrm{mol/m^3}$ . Na entrada, $20\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ , e na saída, $40\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A mistura escoa com velocidade de $2{,}0\ \mathrm{m/s}$ . O comprimento do tubo é de $4{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $5{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo, convectivo e absoluto na saída do tubo. Admita regime permanente com perfil linear de concentração.

Gabarito

Entrada: $C_{A1} = 80$ , $C_{B1} = 320$ . Saída: $C_{A2} = 240$ , $C_{B2} = 160\ \mathrm{mol/m^3}$ .

	difusivo $J''$	convectivo $N''$	absoluto
$A$	$-2{,}0$	$480$	$\mathbf{478}$
$B$	$+2{,}0$	$320$	$\mathbf{322}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ .

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações.

x_{A1} = 0{,}20 \Rightarrow x_{B1} = 0{,}80 \qquad\qquad x_{B2} = 0{,}40 \Rightarrow x_{A2} = 0{,}60

Passo 2 — as concentrações, com $C = 400$ nas duas pontas.

C_{A1} = 0{,}20 \times 400 = 80 \qquad C_{B1} = 0{,}80 \times 400 = 320

C_{A2} = 0{,}60 \times 400 = 240 \qquad C_{B2} = 0{,}40 \times 400 = 160

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Cada par soma $400$ ✔

Passo 3 — os gradientes.

\frac{dC_A}{dx} = \frac{240 - 80}{4{,}0} = +40\ \mathrm{mol/m^4} \qquad \frac{dC_B}{dx} = \frac{160 - 320}{4{,}0} = -40\ \mathrm{mol/m^4}

Passo 4 — os fluxos difusivos.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -5{,}0\times10^{-2} \times (+40) = -2{,}0\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -5{,}0\times10^{-2} \times (-40) = +2{,}0\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

$J''_A = -J''_B$ ✔ ( $C$ constante). E $J''_A$ é negativo: $A$ está mais concentrado na saída, então difunde contra o escoamento.

Passo 5 — os fluxos convectivos, na saída.

N''_A = C_{A2}\,v = 240 \times 2{,}0 = 480\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_{B2}\,v = 160 \times 2{,}0 = 320\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Confira: $480 + 320 = 800 = C\,v = 400 \times 2$ ✔

Passo 6 — os absolutos.

N''_{A,abs} = -2{,}0 + 480 = 478\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_{B,abs} = +2{,}0 + 320 = 322\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

E a soma dos absolutos continua $800$ ✔ — a difusão apenas redistribui, sem alterar o transporte total.

As cinco versões desta questão, e o que muda

prova	$C$	$v$	$L$	onde	$J''_A$
2018.1 · 2ª ch.	$20 \to 5$	$3{,}0$ ( $B$ parada)	$4{,}0$	meio	$+0{,}31$
2022.1	$200$	$4{,}0$	$2{,}0$	saída	$+1{,}5$
2022.1 · 2ª ch.	$400$	$2{,}0$	$1{,}0$	entrada	$-0{,}8$
2022.2	$400$	$2{,}0$	$4{,}0$	saída	$\mathbf{-2{,}0}$
2023.2 · 2ª ch.	$500$	$5{,}0$	$2{,}0$	saída	$-0{,}625$

O roteiro é sempre o mesmo — frações, concentrações, gradiente, Fick, $C_i v$ . As quatro coisas a ler no enunciado: se $C$ é constante, onde avaliar, se as espécies têm a mesma velocidade, e se $A$ ganha ou perde concentração (que decide o sinal).

Sabendo isso, esta é a questão mais previsível da disciplina — e vale sempre dois pontos ou mais.

Conferência — a fração da saída é de $B$ ✔ os difusivos saem opostos, porque $C$ é constante ✔ o convectivo usa a concentração da saída ✔ $J''_A < 0$ é correto, porque $A$ cresce para a frente ✔ os absolutos somam $C\,v = 800$ ✔

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Questão 502º EE2018.1Parede composta · Achar os dois coeficientes de convecção2,0 ptsVer material

Considere a parede composta apresentada na figura, com fluidos distintos escoando de cada lado.

Dados: $T_{\infty,1} = 50\ ^\circ\mathrm{C}$ ; $T_{\infty,2} = 20\ ^\circ\mathrm{C}$ ; $A_1 = 3{,}0\ \mathrm{m^2}$ ; $A_2 = 1{,}0\ \mathrm{m^2}$ ; $L_1 = 0{,}1\ \mathrm{m}$ ; $L_2 = 0{,}2\ \mathrm{m}$ ; $L_3 = 0{,}25\ \mathrm{m}$ ; $q = 40{,}0\ \mathrm{W}$ ; $k_1 = 1{,}0$ ; $k_2 = 0{,}8$ ; $k_3 = 1{,}5$ ; $k_4 = 0{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ .

a) (1,0 pt.) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção de cada fluido, sabendo que o do fluido $B$ é 5 vezes maior do que o do fluido $A$ .

b) (1,0 pt.) Determine as temperaturas nas faces esquerda e direita da parede.

O fluxo é dado e os dois coeficientes de convecção são a incógnita — ligados entre si pela relação $h_B = 5\,h_A$ .

Gabarito

R_T = \frac{\Delta T}{q} = \frac{50 - 20}{40} = 0{,}75\ ^\circ\mathrm{C/W}

As resistências de condução:

R_1 = 0{,}0333 \qquad R_{eq} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = 0{,}0526 \qquad R_4 = 0{,}1667 \qquad \sum R_{cond} = 0{,}2526\ ^\circ\mathrm{C/W}

a) Sobrando para as convecções:

\frac{1}{h_A A_1} + \frac{1}{5h_A A_1} = 0{,}75 - 0{,}2526 = 0{,}4974 \qquad\Longrightarrow\qquad h_A \approx \mathbf{0{,}804\ W/(m^2\cdot{}^\circ C)}

h_B = 5\,h_A \approx \mathbf{4{,}02\ W/(m^2\cdot{}^\circ C)}

b)

T_1 = T_{\infty,1} - q\,R_{convA} = 50 - 40 \times 0{,}4145 \approx \mathbf{33{,}4\ ^\circ C}

T_4 = T_{\infty,2} + q\,R_{convB} = 20 + 40 \times 0{,}0829 \approx \mathbf{23{,}3\ ^\circ C}

Passo a passo

Passo 1 — o problema é invertido: $q$ é dado. Com a taxa e as duas temperaturas dos fluidos, a resistência total já está determinada:

R_T = \frac{T_{\infty,1} - T_{\infty,2}}{q} = \frac{50 - 20}{40{,}0} = 0{,}75\ ^\circ\mathrm{C/W}

Toda a questão é descontar dessa total o que se conhece e ver o que sobra para as convecções.

Passo 2 — as áreas e as resistências de condução.

A_3 = A_1 - A_2 = 3{,}0 - 1{,}0 = 2{,}0\ \mathrm{m^2}

R_1 = \frac{L_1}{k_1 A_1} = \frac{0{,}1}{1{,}0 \times 3{,}0} = 0{,}0333\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_2 = \frac{L_2}{k_2 A_2} = \frac{0{,}2}{0{,}8 \times 1{,}0} = 0{,}25 \qquad R_3 = \frac{L_2}{k_3 A_3} = \frac{0{,}2}{1{,}5 \times 2{,}0} = 0{,}0667

R_{eq} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{0{,}25 \times 0{,}0667}{0{,}3167} = 0{,}0526\ ^\circ\mathrm{C/W}

R_4 = \frac{L_3}{k_4 A_1} = \frac{0{,}25}{0{,}5 \times 3{,}0} = 0{,}1667\ ^\circ\mathrm{C/W}

\sum R_{cond} = 0{,}0333 + 0{,}0526 + 0{,}1667 = 0{,}2526\ ^\circ\mathrm{C/W}

Passo 3 — item (a): o que sobra é das convecções.

R_{convA} + R_{convB} = R_T - \sum R_{cond} = 0{,}75 - 0{,}2526 = 0{,}4974\ ^\circ\mathrm{C/W}

E aqui entra a relação dada, $h_B = 5\,h_A$ , que reduz duas incógnitas a uma:

\frac{1}{h_A A_1} + \frac{1}{5h_A A_1} = \frac{1}{h_A A_1}\left(1 + \frac{1}{5}\right) = \frac{1{,}2}{h_A A_1}

\frac{1{,}2}{h_A \times 3{,}0} = 0{,}4974 \qquad\Longrightarrow\qquad h_A = \frac{1{,}2}{3{,}0 \times 0{,}4974} = \frac{0{,}4}{0{,}4974} = 0{,}804\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}

h_B = 5 \times 0{,}804 = 4{,}02\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}

Passo 4 — item (b): as duas faces. Com $h_A$ e $h_B$ nas mãos:

R_{convA} = \frac{1}{0{,}804 \times 3{,}0} = 0{,}4145 \qquad R_{convB} = \frac{1}{4{,}02 \times 3{,}0} = 0{,}0829\ ^\circ\mathrm{C/W}

Caminhando de cada fluido para a sua face:

T_1 = T_{\infty,1} - q\,R_{convA} = 50 - 40 \times 0{,}4145 = 50 - 16{,}6 = 33{,}4\ ^\circ\mathrm{C}

T_4 = T_{\infty,2} + q\,R_{convB} = 20 + 40 \times 0{,}0829 = 20 + 3{,}3 = 23{,}3\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 5 — a conferência pelas conduções. A diferença entre as faces tem de ser o que as camadas sólidas consomem:

T_1 - T_4 = 33{,}4 - 23{,}3 = 10{,}1\ ^\circ\mathrm{C}

q\,\sum R_{cond} = 40 \times 0{,}2526 = 10{,}1\ ^\circ\mathrm{C}\ \checkmark

Passo 6 — a leitura. As duas convecções somam $66\ \%$ da resistência total, e a do fluido $A$ sozinha vale $55\ \%$ :

resistência	valor $[^\circ\mathrm{C/W}]$	fração	$\Delta T$ $[^\circ\mathrm{C}]$
convecção A	$0{,}4145$	$\mathbf{55{,}3\ \%}$	$16{,}6$
camada (1)	$0{,}0333$	$4{,}4\ \%$	$1{,}3$
(2) ‖ (3)	$0{,}0526$	$7{,}0\ \%$	$2{,}1$
camada (4)	$0{,}1667$	$22{,}2\ \%$	$6{,}7$
convecção B	$0{,}0829$	$11{,}1\ \%$	$3{,}3$
total	$0{,}7500$	$100\ \%$	$\mathbf{30{,}0}$

O fluido $A$ , sendo cinco vezes mais lento em trocar calor, domina — e é por isso que a sua face fica bem mais longe da temperatura do fluido ( $16{,}6$ contra $3{,}3\ ^\circ\mathrm{C}$ de queda).

Conferência — $A_3$ sai por diferença ✔ o paralelo é entre $(2)$ e $(3)$ , que compartilham $L_2$ ✔ as convecções usam $A_1$ , a área total ✔ a relação $h_B = 5h_A$ é o que fecha o sistema ✔ as quedas somam $30\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔

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Questão 512º EE2018.1Tubo · O perfil logarítmico e a temperatura no meio do raio2,5 ptsVer material

Considere um tubo cilíndrico de raios interno e externo de $10\ \mathrm{cm}$ e $20\ \mathrm{cm}$ , respectivamente, cuja face interna está mantida a $30\ ^\circ\mathrm{C}$ , enquanto que a face externa é mantida a $50\ ^\circ\mathrm{C}$ . O fluxo de calor acontece apenas no sentido radial e não há geração ou acúmulo de calor. Não há fluido escoando na parte interna ou externa ao tubo.

a) (1,0 pt.) Determine a temperatura no meio do raio do tubo.

b) (1,0 pt.) Determine a resistência e o fluxo de calor através do tubo. Dados: $k = 1{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ; $L = 5{,}0\ \mathrm{m}$ .

c) (0,5 pts.) Caso esse tubo fosse feito de um material isolante ( $k_{iso} = 0{,}5\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ ) e houvesse um fluido ( $h_e = 5{,}0\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ ) escoando na sua parte externa, qual seria o raio crítico de isolamento?

A face externa é a mais quente: o calor entra, de fora para dentro. E o perfil de temperatura no tubo é logarítmico, não linear.

Gabarito

a) O perfil de temperatura num tubo é logarítmico:

T(r) = T_1 + (T_2 - T_1)\,\frac{\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}

Em $r = 15\ \mathrm{cm}$ :

T = 30 + 20\,\frac{\ln(1{,}5)}{\ln(2)} = 30 + 20 \times 0{,}585 \approx \mathbf{41{,}7\ ^\circ C}

b)

R = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L} = \frac{\ln 2}{2\pi (1{,}5)(5{,}0)} = \frac{0{,}6931}{47{,}12} \approx \mathbf{0{,}0147\ K/W}

q = \frac{\Delta T}{R} = \frac{50 - 30}{0{,}0147} \approx \mathbf{1360\ W}

entrando (de fora para dentro).

c)

r_c = \frac{k_{iso}}{h_e} = \frac{0{,}5}{5{,}0} = \mathbf{0{,}10\ m} = 10\ \mathrm{cm}

Passo a passo

Passo 1 — item (a): por que o perfil não é linear. Na parede plana, área constante e $q$ constante obrigam $dT/dx$ a ser constante — perfil reto. No tubo, a área cresce com o raio:

q = -k\,(2\pi r L)\,\frac{dT}{dr} = \text{constante} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dT}{dr} \propto \frac{1}{r}

O gradiente diminui à medida que se afasta do centro, e integrar $1/r$ dá logaritmo:

T(r) = T_1 + (T_2 - T_1)\,\frac{\ln(r/r_1)}{\ln(r_2/r_1)}

Confira nas pontas: em $r = r_1$ o logaritmo é zero e $T = T_1$ ✔; em $r = r_2$ a fração é 1 e $T = T_2$ ✔

Passo 2 — a temperatura no meio do raio. “Meio do raio” é a média dos dois raios:

r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{10 + 20}{2} = 15\ \mathrm{cm}

T(0{,}15) = 30 + (50 - 30)\,\frac{\ln(0{,}15/0{,}10)}{\ln(0{,}20/0{,}10)} = 30 + 20\,\frac{\ln 1{,}5}{\ln 2}

= 30 + 20 \times \frac{0{,}4055}{0{,}6931} = 30 + 20 \times 0{,}5850 = 30 + 11{,}7 = 41{,}7\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 3 — item (b): a resistência.

R = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L} = \frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi \times 1{,}5 \times 5{,}0} = \frac{0{,}6931}{47{,}124} = 0{,}01471\ \mathrm{K/W}

Resistência baixíssima — é um tubo curto, grosso e de material relativamente condutor, sem nenhuma convecção no caminho (o enunciado diz que não há fluido escoando).

Passo 4 — o fluxo, e o seu sentido.

q = \frac{T_2 - T_1}{R} = \frac{50 - 30}{0{,}01471} = 1359{,}6\ \mathrm{W}

Quase $1{,}4\ \mathrm{kW}$ com apenas $20\ ^\circ\mathrm{C}$ de diferença. E o sentido: a face externa está mais quente, então o calor vai de fora para dentro — o tubo está sendo aquecido pelo lado de fora.

Passo 5 — item (c): o raio crítico hipotético. É uma pergunta condicional: se o tubo fosse isolante e se houvesse fluido por fora. Fórmula do cilindro:

r_c = \frac{k_{iso}}{h_e} = \frac{0{,}5}{5{,}0} = 0{,}10\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{cm}

E há uma coincidência que vale comentar: $r_c = 10\ \mathrm{cm}$ é exatamente o raio interno do tubo. Como o raio externo real é $r_2 = 20\ \mathrm{cm} > r_c$ , o sistema estaria depois do crítico — acrescentar isolante reduziria a perda, como a intuição espera.

Conferência — o perfil no tubo é logarítmico, e a resposta do item (a) não é $40\ ^\circ\mathrm{C}$ ✔ os raios em metros na resistência ✔ sem fluido escoando, não há resistência de convecção ✔ o calor vai de fora para dentro, porque a face externa é a mais quente ✔ o raio crítico do cilindro é $k/h$ , sem o 2 ✔

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Questão 522º EE2018.1Fluxos de massa · Concentração total variável e velocidades distintas2,0 ptsVer material

Considere a transferência de massa de uma mistura entre duas espécies, $A$ e $B$ , ao longo de um tubo. Na entrada, a concentração total da mistura é de $10{,}0\ \mathrm{mol/m^3}$ e $80\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $A$ . Na saída, a concentração total é de $4{,}0\ \mathrm{mol/m^3}$ e $70\ \%$ em mol dessa mistura é da espécie $B$ . A espécie $A$ escoa com velocidade de $2{,}0\ \mathrm{m/s}$ , enquanto que $B$ escoa com $1{,}0\ \mathrm{m/s}$ , ambas no mesmo sentido. O comprimento do tubo é de $1{,}0\ \mathrm{m}$ e o coeficiente de difusão binária é de $3{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2/s}$ .

Determine para $A$ e para $B$ as densidades de fluxo difusivo, as densidades de fluxo convectivo e as densidades de fluxo absoluto (na saída do tubo).

Gabarito

Entrada: $C_{A1} = 8{,}0$ , $C_{B1} = 2{,}0$ . Saída: $C_{A2} = 1{,}2$ , $C_{B2} = 2{,}8\ \mathrm{mol/m^3}$ .

\frac{dC_A}{dx} = -6{,}8 \qquad \frac{dC_B}{dx} = +0{,}8\ \mathrm{mol/m^4}

	difusivo $J''$	convectivo $N''$	absoluto
$A$	$+0{,}204$	$2{,}40$	$\mathbf{2{,}60}$
$B$	$-0{,}024$	$2{,}80$	$\mathbf{2{,}78}$

tudo em $\mathrm{mol/(m^2 \cdot s)}$ , com o convectivo calculado com a velocidade de cada espécie.

Passo a passo

Passo 1 — completar as frações e achar as concentrações. Cada seção tem a sua concentração total, e a fração dada é de uma espécie diferente em cada lado.

x_{A1} = 0{,}80 \Rightarrow x_{B1} = 0{,}20 \qquad\qquad x_{B2} = 0{,}70 \Rightarrow x_{A2} = 0{,}30

C_{A1} = 0{,}80 \times 10{,}0 = 8{,}0 \qquad C_{B1} = 0{,}20 \times 10{,}0 = 2{,}0

C_{A2} = 0{,}30 \times 4{,}0 = 1{,}2 \qquad C_{B2} = 0{,}70 \times 4{,}0 = 2{,}8

em $\mathrm{mol/m^3}$ . Confira: $8+2 = 10$ ✔ e $1{,}2+2{,}8 = 4{,}0$ ✔

Passo 2 — os gradientes, com $L = 1{,}0\ \mathrm{m}$ .

\frac{dC_A}{dx} = \frac{1{,}2 - 8{,}0}{1{,}0} = -6{,}8\ \mathrm{mol/m^4}

\frac{dC_B}{dx} = \frac{2{,}8 - 2{,}0}{1{,}0} = +0{,}8\ \mathrm{mol/m^4}

Passo 3 — os fluxos difusivos.

J''_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx} = -3{,}0\times10^{-2} \times (-6{,}8) = +0{,}204\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

J''_B = -3{,}0\times10^{-2} \times (+0{,}8) = -0{,}024\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 4 — os fluxos convectivos, com a velocidade de cada espécie. O enunciado dá $v_A = 2{,}0$ e $v_B = 1{,}0\ \mathrm{m/s}$ — velocidades diferentes, ambas no mesmo sentido:

N''_A = C_{A2}\,v_A = 1{,}2 \times 2{,}0 = 2{,}40\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_B = C_{B2}\,v_B = 2{,}8 \times 1{,}0 = 2{,}80\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 5 — os absolutos.

N''_{A,abs} = 0{,}204 + 2{,}40 = 2{,}60\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

N''_{B,abs} = -0{,}024 + 2{,}80 = 2{,}78\ \mathrm{mol/(m^2 s)}

Passo 6 — a leitura. Aqui, diferente das outras versões, o convectivo é só dez vezes o difusivo — e não centenas. Duas razões: as velocidades são baixas ( $1$ e $2\ \mathrm{m/s}$ ) e as concentrações são pequenas ( $\mathrm{mol/m^3}$ de um dígito), mas o gradiente é grande, porque toda a variação acontece em $1\ \mathrm{m}$ de tubo.

\frac{N''_A}{J''_A} = \frac{2{,}40}{0{,}204} = 11{,}8

É o caso em que a difusão de fato conta.

Há uma segunda convenção, e o professor usou as duas

Quando cada espécie tem a sua velocidade, há dois modos de escrever o convectivo:

velocidade de cada espécie, $N''_i = C_i\,v_i$ — é o que a 2ª chamada de 2018.1 faz, onde ” $B$ estacionária” zera o convectivo de $B$ . É o adotado acima;
velocidade média molar da mistura, $V = \sum x_i v_i$ , e então $N''_i = C_i\,V$ — é o que a Final de 2023.1 faz.

Pela segunda convenção, aqui teríamos

V_2 = x_{A2}v_A + x_{B2}v_B = 0{,}3(2{,}0) + 0{,}7(1{,}0) = 1{,}3\ \mathrm{m/s}

N''_A = 1{,}2 \times 1{,}3 = 1{,}56 \qquad N''_B = 2{,}8 \times 1{,}3 = 3{,}64

As duas somam $5{,}2 = C_{T2}\,V_2$ , enquanto as da primeira convenção somam $5{,}2$ também — o que é coerência, não coincidência.

Como esta prova é de 2018.1, o mesmo semestre da 2ª chamada que usa a primeira convenção, é ela que os passos seguem. Numa prova, vale escrever qual convenção se adotou.

Conferência — cada seção com a sua concentração total ✔ a fração da saída é de $B$ ✔ com $C_T$ variável, $J''_A \ne -J''_B$ ✔ cada espécie com a sua velocidade no convectivo ✔ o difusivo aqui não é desprezível, é um doze avos do convectivo ✔

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Questão 532º EEBancoRadiação · Corpo negro, emissividade e Stefan-BoltzmannVer material

Do que trata a lei de Stefan-Boltzmann? O que é um corpo negro para radiação? E o que é emissividade?

A emissividade mede o quanto a superfície real se aproxima do corpo negro — o emissor perfeito.

Gabarito

Lei de Stefan-Boltzmann. É o análogo, para a radiação, do que a lei de Fourier é para a condução: ela dá a densidade de fluxo de calor emitida por uma superfície, e diz que ela depende da temperatura elevada à quarta potência:

q'' = \varepsilon\,\sigma\,T^4 \qquad\text{e, na troca com a vizinhança,}\qquad q = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4 - T_{viz}^4)

com $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$ , a constante de Stefan-Boltzmann.

Corpo negro. É um corpo teórico, capaz de absorver toda a radiação que recebe, sem refletir nenhuma parcela de volta para o ambiente — e que, à mesma temperatura, é também o que mais emite. Dele se diz que tem emissividade unitária.

Emissividade. É a constante de proporcionalidade da lei de Stefan-Boltzmann: uma grandeza adimensional, com valor entre zero e um, que mede o quanto um corpo se aproxima do comportamento do corpo negro ideal.

Passo a passo

1 — A lei, e o que a torna diferente das outras duas.

q'' = \varepsilon\,\sigma\,T^4

Comparando com as leis de Fourier e de Newton:

mecanismo	lei	dependência da temperatura
condução	$q'' = -k\,dT/dx$	gradiente de $T$
convecção	$q'' = h\,(T_s - T_\infty)$	diferença de $T$
radiação	$q'' = \varepsilon\sigma T^4$	a quarta potência de $T$ absoluta

Duas consequências:

a temperatura tem de estar em kelvin. Nas outras duas só aparece a diferença, e $\Delta T$ em Celsius e em kelvin é o mesmo número. Na quarta potência, não: $(300)^4$ e $(27)^4$ diferem por mais de 15 mil vezes;
a radiação não precisa de meio material. É a única das três que funciona no vácuo.

2 — Corpo negro: a referência ideal. É um modelo, não um material. Suas propriedades:

absorve toda a radiação que incide sobre ele, em qualquer comprimento de onda e de qualquer direção — nada é refletido nem transmitido;
emite, à mesma temperatura, mais que qualquer superfície real. É o limite superior da emissão;
por definição, $\varepsilon = 1$ .

O nome vem de que, à temperatura ambiente, um corpo que absorve toda a luz visível parece negro. Mas o corpo negro emite — e a temperaturas altas emite muito, e em cores visíveis: o Sol se aproxima bem de um corpo negro a $5800\ \mathrm{K}$ .

3 — Emissividade: a medida do desvio do ideal.

\varepsilon = \frac{q''_{\text{emitido pela superfície real}}}{q''_{\text{emitido pelo corpo negro à mesma } T}} \qquad 0 \le \varepsilon \le 1

adimensional, por ser uma razão;
depende do material, do acabamento da superfície e, em geral, da temperatura;
$\varepsilon = 1$ é o corpo negro; $\varepsilon = 0$ seria um refletor perfeito, que não emite nada.

Valores de referência:

superfície	$\varepsilon$
alumínio polido	$0{,}03$ – $0{,}07$
aço oxidado	$0{,}7$ – $0{,}9$
tijolo, concreto, tinta	$0{,}85$ – $0{,}95$
água, pele humana	$\approx 0{,}95$
corpo negro (ideal)	$1{,}00$

Conferência — a lei precisa vir com a $T^4$ e a constante $\sigma$ ✔ dizer que a temperatura é absoluta ✔ corpo negro é o ideal que absorve tudo e emite o máximo, com $\varepsilon = 1$ ✔ emissividade é adimensional, entre 0 e 1, e mede a proximidade do ideal ✔

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Questão 542º EEBancoConvecção · Camada limite e o coeficiente hVer material

O que é uma camada limite hidrodinâmica? Do que trata a lei de Newton do resfriamento, e o que é o coeficiente de transferência de calor por convecção?

Junto à parede o fluido está parado: é através dessa camada fina que o calor tem de passar por condução, e é ela que governa o valor de $h$ .

Gabarito

Camada limite hidrodinâmica é a fina região, próxima a um corpo em convecção, na qual os gradientes de velocidade são muito significativos. Ao encostar numa superfície, a velocidade do fluido se torna igual à da superfície — nula, se a superfície está em repouso (condição de não escorregamento) — e cresce ao longo da espessura $\delta$ até praticamente o valor do escoamento livre $v_\infty$ .

Lei de Newton do resfriamento. Estabelece uma proporcionalidade entre a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido e a taxa de transferência de calor entre eles:

q = h\,A\,(T_s - T_\infty)

É, em essência, uma “lei de Fourier da convecção”.

Coeficiente de transferência de calor por convecção ( $h$ ) é a constante que estabelece essa proporcionalidade, cumprindo papel semelhante ao da condutividade térmica na lei de Fourier — a taxa de calor é proporcional a ele. Unidade: $\mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ .

Passo a passo

1 — Como a camada limite se forma. O fluido que chega tem velocidade uniforme $v_\infty$ . Ao tocar a placa, a camada em contato para (não escorregamento), e ela freia a de cima por viscosidade, que freia a seguinte, e assim por diante. A região afetada é a camada limite, e ela cresce ao longo da placa:

v = 0 \ \text{ na parede} \qquad\qquad v \to v_\infty \ \text{ na borda, } y = \delta

A espessura $\delta$ é definida convencionalmente onde $v = 0{,}99\,v_\infty$ .

2 — Por que a camada limite é o que governa a convecção. Junto à parede, no limite $y \to 0$ , o fluido está parado. E fluido parado transfere calor por condução. Então, exatamente na parede:

q'' = -k_{\text{fluido}}\,\frac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{y=0}

Igualando isso à lei de Newton:

h\,(T_s - T_\infty) = -k\,\frac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{y=0} \qquad\Longrightarrow\qquad h = \frac{-k\,\dfrac{\partial T}{\partial y}\bigg|_{0}}{T_s - T_\infty}

É essa expressão que explica tudo: $h$ é grande quando o gradiente de temperatura na parede é grande, isto é, quando a camada limite é fina. E a camada limite fica fina quando o escoamento é rápido.

\text{escoamento mais rápido} \;\Rightarrow\; \delta \text{ menor} \;\Rightarrow\; h \text{ maior} \;\Rightarrow\; q \text{ maior}

3 — A lei de Newton do resfriamento, e o que ela realmente é.

q = h\,A\,(T_s - T_\infty)

Ela não é uma lei fundamental como Fourier: é uma definição de $h$ . Toda a física complicada do escoamento foi empacotada dentro desse coeficiente — e é justamente por isso que ela é tão útil e tão perigosa ao mesmo tempo.

E, em forma de resistência térmica:

R_{conv} = \frac{1}{h\,A}

que é a parcela que se soma ao circuito térmico em todo problema de parede ou tubo com fluido escoando.

A ordem de grandeza de h, e o que ela diz

situação	$h$ $[\mathrm{W/(m^2K)}]$	por que
gás, natural	$2$ – $25$	camada limite espessa
gás, forçada	$25$ – $250$	camada mais fina
líquido, forçada	$100$ – $20\,000$	$k$ do fluido maior e camada fina
ebulição, condensação	$2500$ – $100\,000$	calor latente na própria superfície

Nos exercícios de parede composta, é sempre a convecção com ar que domina a resistência — e agora se sabe por quê: camada limite espessa e $k$ do ar minúsculo.

Conferência — camada limite é a região de gradientes de velocidade significativos, com $v = 0$ na parede ✔ a lei de Newton é uma proporcionalidade entre $\Delta T$ e a taxa ✔ dizer que $h$ não é propriedade do fluido, e sim resultado do escoamento, é o que mostra domínio ✔ ligar $h$ à espessura da camada limite explica todos os valores da tabela ✔

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Questão 552º EEBancoQuantidade de movimento · A equação e a força sobre o volume de controleVer material

Do que trata a equação do momento linear (quantidade de movimento) para um volume de controle?

O fluido entra em uma direção e sai em outra: mudou de quantidade de movimento, e isso exige uma força.

Gabarito

A equação do momento linear é a segunda lei de Newton escrita para um volume de controle. Ela diz que a força resultante que atua sobre o fluido dentro do volume de controle é igual ao fluxo líquido de quantidade de movimento que atravessa a superfície de controle, somado à taxa de variação da quantidade de movimento armazenada dentro dele.

Em regime permanente, o termo de armazenamento é nulo e sobra:

\sum \vec F = \dot m\,\vec v_2 - \dot m\,\vec v_1 = \dot m\,(\vec v_2 - \vec v_1)

com $\dot m = \rho\,Q$ . É uma equação vetorial — vale componente por componente:

\sum F_x = \dot m\,(v_{2x} - v_{1x}) \qquad\qquad \sum F_y = \dot m\,(v_{2y} - v_{1y})

Passo a passo

1 — De onde ela vem. A segunda lei de Newton para uma partícula é $\vec F = d(m\vec v)/dt$ . Para um volume de controle, que é uma região fixa do espaço por onde o fluido passa, ela se reescreve como

\sum \vec F = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC} \rho\,\vec v\,dV}_{\text{acumula dentro}} + \underbrace{\int_{SC} \rho\,\vec v\,(\vec v \cdot \vec n)\,dA}_{\text{fluxo que atravessa a fronteira}}

Em regime permanente e com escoamento uniforme nas seções, isso vira a forma que se usa nos exercícios:

\sum \vec F = \dot m\,(\vec v_2 - \vec v_1)

2 — Quais forças entram na soma. É aqui que a questão se resolve na prática:

forças de pressão nas seções de entrada e saída: $p_1 A_1$ e $p_2 A_2$ , cada uma perpendicular à sua seção e apontando para dentro do volume de controle;
peso do fluido contido, quando não é desprezível;
reação do apoio ou da estrutura — que é justamente o que quase sempre se quer descobrir.

3 — O que a equação é usada para responder. Sempre a mesma pergunta: que força é necessária para mudar a quantidade de movimento do fluido?

situação	o que se calcula
curva de tubulação	a força no ancoramento, que impede a curva de se soltar
jato batendo numa placa ou pá	o empuxo sobre a placa; a base das turbinas
redução de seção	o esforço nos parafusos da flange
foguete / propulsor	o empuxo, que é $\dot m\,\Delta v$
ressalto hidráulico	a perda de energia num canal

4 — A relação com as outras duas equações. As três formam o trio de balanços do volume de controle, e cada uma conserva uma coisa diferente:

balanço	o que conserva	responde
continuidade	massa	vazões e velocidades
energia (Bernoulli, com máquina e perdas)	energia mecânica	pressões, alturas, potência
quantidade de movimento	momento linear	forças e direções

Em geral se usa continuidade para achar as velocidades, energia para achar as pressões, e só então quantidade de movimento para achar a força — nessa ordem.

Conferência — dizer que é a segunda lei de Newton aplicada a um volume de controle ✔ escrever a forma de regime permanente, $\sum \vec F = \dot m\,\Delta\vec v$ ✔ enfatizar que é vetorial e que por isso responde sobre direção ✔ listar as forças que entram na soma, sem esquecer as de pressão nas seções ✔

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