Fundamentos do Eletromagnetismo

01 Carga elétrica e Lei de Coulomb

A ideia

Tudo no eletromagnetismo começa com uma pergunta simples: por que as coisas se atraem ou se repelem eletricamente? A resposta é a carga elétrica — uma propriedade da matéria, assim como a massa. A diferença é que existe só um tipo de massa, mas existem dois tipos de carga: positiva (prótons) e negativa (elétrons). A regra do jogo:

• Cargas de mesmo sinal se repelem;
• Cargas de sinais opostos se atraem.

Três propriedades que caem em prova

• Quantização: a carga não vem em qualquer valor — é sempre um múltiplo inteiro da carga do elétron: $q = n\,e$, com $e = 1{,}6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. Não existe “meia carga elementar”;
• Conservação: carga não se cria nem se destrói — ao atritar um balão no cabelo, a carga apenas passa de um para o outro;
• Condutores × isolantes: nos condutores (metais) os elétrons se movem livremente; nos isolantes/dielétricos (borracha, vidro), não. Num condutor em equilíbrio eletrostático, todo o excesso de carga vai para a superfície e o campo elétrico dentro dele é zero.

A Lei de Coulomb — o “quanto” da força

Leia a fórmula assim: a força cresce com o produto das cargas e cai com o quadrado da distância — dobrou a distância, a força cai para 1/4. O sinal das cargas não entra na conta do módulo; ele só decide se é atração ou repulsão (por isso o módulo $|q|$). A força atua na linha reta que une as duas cargas.

E com mais de duas cargas? Vale o princípio da superposição: a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças que cada outra carga faz sobre ela, calculadas uma a uma como se as demais não existissem.

02 Campo elétrico

A ideia

A Lei de Coulomb exige duas cargas. Mas e se eu quiser descrever a influência de uma carga sozinha no espaço ao redor dela? Essa é a ideia de campo elétrico: uma carga $q$ modifica o espaço à sua volta, criando em cada ponto um “vetor de instrução” $\vec E$ que diz qual força uma carga de prova sentiria se fosse colocada ali. Pense no campo como um mapa de forças preenchendo o espaço.

Sentido do campo: carga positiva cria campo apontando para fora (afastando-se dela); carga negativa, para dentro. As linhas de campo desenham esse mapa: saem das positivas, chegam nas negativas, nunca se cruzam, e onde estão mais juntas o campo é mais intenso.

Superposição: o problema clássico das duas cargas

Campo também soma vetorialmente. O exemplo mais cobrado em prova: duas cargas positivas iguais no eixo $y$, e queremos o campo num ponto $P$ do eixo perpendicular. Cada carga gera seu $\vec E_1$ e $\vec E_2$ apontando para longe de si; as componentes verticais são opostas e se cancelam, e as horizontais se somam:

Distribuições contínuas de carga

Quando a carga está espalhada num fio, anel ou placa, não dá para somar carga por carga — a soma vira uma integral: divida o objeto em pedacinhos $dq$, escreva $dE = k_0\,dq/r^2$ e integre (a simetria elimina componentes). Para descrever “quanta carga tem em cada pedaço”, usamos as densidades:

O dipolo elétrico (par $+q$, $-q$ separado por $d$) tem momento $p = qd$ e, num campo externo, sofre torque $\vec\tau = \vec p \times \vec E$ que tende a alinhá-lo ao campo.

03 Lei de Gauss

A ideia

Calcular campo por integração direta (seção anterior) pode ser trabalhoso. A Lei de Gauss é o atalho: quando o problema tem simetria (esfera, cilindro, plano), ela entrega o campo em três linhas. A ferramenta central é o fluxo elétrico $\Phi_E$ — imagine as linhas de campo como “água escoando”: o fluxo mede quantas linhas atravessam uma superfície.

Em palavras: o fluxo total que sai de uma superfície fechada só depende da carga que está dentro dela — não importa a forma da superfície nem onde a carga está lá dentro.

Como usar para calcular campo

A estratégia: escolha uma superfície gaussiana imaginária que copie a simetria do problema, de modo que $E$ seja constante sobre ela e o produto escalar fique simples. Aí $\oint \vec E\cdot d\vec A = E\cdot(\text{área})$ e é só isolar $E$:

• Simetria esférica (carga pontual, esfera): gaussiana = esfera de raio $r$ → $E \cdot 4\pi r^2 = q_{int}/\epsilon_0$;
• Simetria cilíndrica (fio, cilindro longo): gaussiana = cilindro de raio $r$ e comprimento $L$ → $E \cdot 2\pi r L = q_{int}/\epsilon_0$;
• Simetria planar (placa infinita): gaussiana = caixinha (“pillbox”) atravessando a placa → $E \cdot 2A = \sigma A/\epsilon_0$.

Por que dentro só vale $r$? Porque a gaussiana de raio $r \lt R$ só envolve a fração da carga proporcional ao volume: $q_{int} = Q\,r^3/R^3$. Fora, envolve $Q$ inteira e a esfera se comporta como carga pontual.

04 Potencial elétrico

A ideia

Força e campo são vetores — somar vetores dá trabalho. O potencial elétrico $V$ descreve a mesma física pelo lado da energia, e energia é um escalar (um número com sinal, sem direção). A analogia boa é altitude: assim como uma bola desce a ladeira do ponto alto para o baixo, uma carga positiva “desce” do potencial alto para o baixo. O campo $\vec E$ é a “inclinação da ladeira”: aponta na direção em que $V$ cai mais rápido.

Repare na diferença para o campo: aqui é $r$ (não $r^2$) e a soma de várias cargas é soma comum de números — carga negativa entra com sinal negativo, e pronto. Por isso, sempre que a questão permitir, resolva pela via do potencial.

Trabalho e energia potencial

Para um sistema de várias cargas, $U_{total}$ é a soma de $k_0 q_i q_j / d_{ij}$ sobre todos os pares. Se uma carga é trazida do infinito em equilíbrio (velocidade constante), o trabalho do agente externo é $W_{ext} = q\,V_{final}$ e o do campo é $W_{campo} = -q\,V_{final}$.

Superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo; mover carga sobre uma equipotencial não custa trabalho. Num condutor em equilíbrio, todo o volume é um equipotencial.

05 Capacitância

A ideia

Um capacitor é um “tanque de carga”: dois condutores separados (as placas), um com $+q$ e o outro com $-q$, mantendo entre si uma diferença de potencial $V$. A capacitância $C$ mede o tamanho desse tanque — quanta carga ele guarda por volt aplicado. Ela só depende da geometria (formato, área, distância) e do material entre as placas, nunca de $q$ ou $V$ individualmente.

Associações

Energia armazenada e dielétricos

Inserir um dielétrico (isolante) de constante $\kappa$ multiplica a capacitância: $C = \kappa\, C_0$. O detalhe que decide a questão é o que fica constante:

• Capacitor desconectado da bateria: $q$ constante → $V = q/C$ cai;
• Capacitor conectado à bateria: $V$ constante → $q = CV$ aumenta.

06 Corrente e resistência elétrica

A ideia

Até aqui as cargas estavam paradas (eletrostática). Agora elas fluem: a corrente elétrica é a vazão de carga num fio, como litros por segundo numa mangueira. E todo material real oferece uma resistência a esse fluxo — os elétrons “trombam” na rede do material e dissipam energia (por isso fio esquenta).

Potência elétrica

07 Circuitos de corrente contínua

A ideia

Um circuito é um caminho fechado por onde a corrente circula, empurrada por uma fonte de força eletromotriz $\varepsilon$ (a “bomba d’água” do circuito — uma bateria, por exemplo). Resolver um circuito é descobrir a corrente e a tensão em cada elemento. As ferramentas: associação de resistores e as duas Leis de Kirchhoff.

Associação de resistores

Leis de Kirchhoff

• Lei dos nós: a soma das correntes que entram num nó é igual à soma das que saem — a carga não some nem se acumula (conservação de carga);
• Lei das malhas: dando uma volta completa em qualquer malha fechada, a soma das variações de potencial é zero — voltar ao mesmo ponto é voltar ao mesmo potencial (conservação de energia).

Convenções ao percorrer a malha: atravessar resistor no sentido da corrente $\Rightarrow -Ri$ (potencial cai); contra a corrente $\Rightarrow +Ri$; atravessar fonte do terminal − para o + $\Rightarrow +\varepsilon$.

Circuito RC

Ligue um resistor e um capacitor em série com uma fonte: o capacitor não carrega instantaneamente — a carga sobe numa curva exponencial cujo “relógio” é a constante de tempo $\tau = RC$:

Os dois extremos que resolvem quase toda questão conceitual: no instante inicial o capacitor descarregado age como fio (curto-circuito); após muito tempo, age como chave aberta (corrente zero no seu ramo).

08 Campos magnéticos e força magnética

A ideia

O campo magnético $\vec B$ é o “primo” do campo elétrico, mas com uma personalidade bem diferente: ele só faz força em carga em movimento, e essa força é sempre perpendicular à velocidade e ao próprio campo (é um produto vetorial). Aqui a visão espacial é tudo — por isso as provas usam os símbolos ⊙ (vetor saindo do papel, como a ponta de uma flecha vindo em você) e ⊗ (vetor entrando no papel, como o rabo da flecha).

Como a força é sempre perpendicular ao movimento, ela não realiza trabalho: não muda o módulo da velocidade, só a direção. Resultado: a partícula descreve um círculo.

Espira de corrente: torque e momento de dipolo

O efeito Hall permite medir o sinal e a densidade dos portadores: o campo empurra portadores para um lado da fita, criando a tensão Hall $V_H = B i /(n e t)$.

09 Fontes de campo magnético: Biot-Savart e Ampère

A ideia

Se campo magnético faz força em corrente, quem cria campo magnético? Resposta: a própria corrente. Todo fio percorrido por corrente gera ao seu redor um campo $\vec B$ que circula em anéis em torno do fio. O sentido vem da regra da mão direita: polegar no sentido da corrente, os dedos se curvam no sentido de $\vec B$.

Lei de Biot-Savart

É a “Lei de Coulomb do magnetismo”: diz o campo que cada pedacinho de fio gera, para depois integrar:

Roteiro da demonstração pedida na 2ª EE 2025.2 (fio finito/infinito): escreva $|d\vec s \times \hat r| = dx\sin\theta$, use $r^2 = x^2 + a^2$ e $\sin\theta = a/\sqrt{x^2+a^2}$, e integre com $\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}$.

Força entre fios paralelos

Junte as duas ideias: o fio 1 cria campo onde está o fio 2, e esse campo faz força na corrente do fio 2:

Lei de Ampère

É a “Lei de Gauss do magnetismo”: em problemas com simetria cilíndrica, a circulação de $\vec B$ ao longo de uma curva fechada (a amperiana) só depende da corrente que passa por dentro dela:

Para fio grosso de raio $a$ com corrente uniforme (questão clássica), a amperiana interna só envolve a fração de corrente proporcional à área:

10 Indução: Lei de Faraday e Lei de Lenz

A ideia

Até agora: carga cria $\vec E$, corrente cria $\vec B$. Faraday descobriu o caminho de volta: campo magnético VARIANDO cria corrente. Se o fluxo magnético que atravessa uma espira mudar com o tempo — porque $B$ mudou, a área mudou, ou a espira girou — aparece nela uma força eletromotriz induzida $\mathcal{E}$, como se uma bateria invisível tivesse sido ligada. É o princípio do gerador, do transformador e do carregador sem fio.

Se $\vec B$ é uniforme e faz ângulo $\theta$ com a normal da espira: $\Phi_B = B\,A\cos\theta$. Três jeitos de variar o fluxo = três tipos de questão: mudar $B(t)$, mudar a área (barra deslizando) ou girar a espira (gerador).

Lei de Lenz (o sinal de menos)

A natureza “não gosta” de variação de fluxo: a corrente induzida circula no sentido que cria um campo oposto à variação — se o fluxo está caindo, ela tenta “segurá-lo”; se está crescendo, ela tenta “frear”. Receita visual: (1) qual o sentido de $\vec B$ na espira? (2) o fluxo está aumentando ou diminuindo? (3) a corrente induzida cria campo para compensar — sentido pela mão direita.

Fem de movimento e campo elétrico induzido

11 Indutância e circuitos RL

A ideia

Uma bobina percorrida por corrente cria campo que atravessa ela mesma. Se a corrente varia, o fluxo próprio varia — e, por Faraday, a bobina induz fem em si mesma, sempre se opondo à mudança. Esse “efeito inércia” da corrente é a autoindutância $L$: o indutor é para a corrente o que a massa é para a velocidade — resiste a variações bruscas.

Circuito RL

Ligue fonte + resistor + indutor em série: a corrente não salta para o valor final — ela cresce suavemente, freada pelo indutor, com constante de tempo $\tau_L = L/R$:

Os dois extremos para resolver questões conceituais: em $t = 0$ o indutor bloqueia a variação e age como chave aberta (corrente nula, toda a fem cai nele: $V_L = \varepsilon$). Após muito tempo, age como fio e $i = \varepsilon/R$. Compare com o capacitor — é o comportamento invertido.

Energia no indutor e no campo magnético

Indutância mútua: $\mathcal{E}_2 = -M\, di_1/dt$ — a variação de corrente numa bobina induz fem na vizinha (princípio do transformador).

12 Oscilações LC/RLC e corrente alternada

Oscilador LC — a ideia

Ligue um capacitor carregado num indutor: o capacitor descarrega pelo indutor, que devolve a energia carregando o capacitor ao contrário, e assim por diante. A energia fica balançando entre o campo elétrico do capacitor ($q^2/2C$) e o campo magnético do indutor ($Li^2/2$) — é o análogo elétrico exato do massa-mola: $q$ faz papel de posição, $i$ de velocidade, $L$ de massa e $1/C$ de constante da mola.

Com resistência (RLC), parte da energia vira calor a cada ciclo e a oscilação é amortecida: $q(t) = Q\,e^{-Rt/2L}\cos(\omega' t + \phi)$.

Corrente alternada: reatâncias e impedância

Agora force o circuito RLC com uma fonte senoidal de frequência $\omega_d$. A fonte impõe uma tensão que varia no tempo — é justamente a expressão que aparece nos enunciados de prova:

Cada elemento “atrapalha” a corrente de um jeito: o resistor dissipa, o indutor odeia frequências altas ($X_L$ cresce com $\omega$), o capacitor odeia frequências baixas ($X_C$ cresce quando $\omega$ cai). O efeito conjunto é a impedância $Z$ — a “resistência generalizada” do circuito:

Ressonância

Quando $\omega_d = \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$: $X_L = X_C$ e as reatâncias se cancelam. A impedância vira $Z = R$ (mínima), a corrente é máxima e $\phi = 0$ (circuito puramente resistivo). É o mesmo fenômeno de empurrar um balanço na frequência certa.

13 Equações de Maxwell

A ideia

Chegou a hora de juntar tudo. As quatro Equações de Maxwell são o “resumo executivo” da cadeira inteira — cada uma é um capítulo que você já estudou:

1. Gauss (E): cargas criam campo elétrico divergente — é a seção 03;
2. Gauss (B): o fluxo de $\vec B$ por qualquer superfície fechada é zero — não existem monopolos magnéticos; as linhas de $\vec B$ sempre se fecham em anéis;
3. Faraday: fluxo magnético variável induz campo elétrico circulante — é a seção 10;
4. Ampère–Maxwell: correntes E fluxo elétrico variável criam campo magnético. O termo novo $i_d = \epsilon_0\, d\Phi_E/dt$ é a corrente de deslocamento — a correção de Maxwell, que explica o campo magnético entre as placas de um capacitor carregando (onde não passa corrente de verdade, mas o campo $\vec E$ está variando).

Ondas eletromagnéticas

Combine Faraday com Ampère–Maxwell: $\vec B$ variando cria $\vec E$, que variando cria $\vec B$… essa realimentação se propaga sozinha pelo espaço como onda eletromagnética — luz, rádio, wi-fi:

A velocidade sai das próprias constantes do eletromagnetismo: $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \approx 3\times10^8$ m/s — foi assim que Maxwell descobriu que luz é onda eletromagnética.