2º EE · Fundamentos do Eletromagnetismo

Questão 012º EE2025.2Lei de Biot-Savart · Fio reto2,5 ptsVer material

Utilizando a Lei de Biot-Savart, deduza a expressão do campo magnético gerado por um fio reto infinito, percorrido por corrente $i$ , em um ponto situado a uma distância $a$ do fio.

Cada elemento $d\vec s$ contribui com $d\vec B \propto \dfrac{d\vec s\times\hat r}{r^2}$ ; em $P$ , todos os $d\vec B$ saem da tela e se somam.

Gabarito

$B = \dfrac{\mu_0\, i}{2\pi a}$ , com direção dada pela regra da mão direita (circunda o fio).

Passo a passo

Passo 1 — Coloque o fio ao longo do eixo $x$ e o ponto $P$ a uma distância $a$ sobre a perpendicular. A Lei de Biot-Savart para um elemento $d\vec s = dx\,\hat x$ :

d\vec B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\,\frac{d\vec s \times \hat r}{r^2}

Passo 2 — O módulo do produto vetorial é $|d\vec s \times \hat r| = dx\,\sin\theta$ , onde $\theta$ é o ângulo entre $d\vec s$ e a linha até $P$ . Todos os $d\vec B$ apontam na mesma direção (saindo/entrando no plano), então basta integrar módulos:

B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin\theta\; dx}{r^2}

Passo 3 — Da geometria: $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ e $\sin\theta = \dfrac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}$ . Logo:

B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a\; dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}

Passo 4 — Integral tabelada (ou substituição $x = a\tan\varphi$ ):

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \left[\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}\right]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{1}{a^2} - \left(-\frac{1}{a^2}\right) = \frac{2}{a^2}

Passo 5 — Substitua:

B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\cdot a \cdot \frac{2}{a^2} = \boxed{\frac{\mu_0 i}{2\pi a}}

A direção é tangente a círculos centrados no fio, no sentido dado pela regra da mão direita (polegar na corrente, dedos indicam $\vec B$ ).

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Questão 022º EE2025.2Lei de Ampère · Fio grosso2,5 ptsVer material

Um fio cilíndrico maciço (“fio grosso”) de raio $a$ transporta uma corrente total $I_0$ uniformemente distribuída pela sua seção transversal. Usando a Lei de Ampère, determine o campo magnético:

(a) em um ponto interno, $r \lt a$ ;

(b) em um ponto externo, $r \gt a$ .

(c) Esboce o gráfico de $B(r)$ .

Amperianas circulares: a interna envolve só parte da corrente; a externa envolve $I_0$ inteira.

$B(r)$ : cresce linearmente até $r = a$ e decai com $1/r$ fora do fio.

Gabarito

(a) $B_{\text{int}} = \dfrac{\mu_0 I_0\, r}{2\pi a^2}$ (cresce linearmente) · (b) $B_{\text{ext}} = \dfrac{\mu_0 I_0}{2\pi r}$ (decai com $1/r$ ) · (c) máximo em $r = a$ : $B_{\max} = \dfrac{\mu_0 I_0}{2\pi a}$ .

Passo a passo

Passo 1 — Por simetria cilíndrica, $\vec B$ é tangente a círculos concêntricos ao fio e tem módulo constante em cada círculo. A Lei de Ampère em uma amperiana circular de raio $r$ :

\oint \vec B \cdot d\vec s = B\,(2\pi r) = \mu_0\, I_{\text{env}}

Passo 2 — Região interna ( $r \lt a$ ): a corrente é uniforme, então a corrente envolvida é proporcional à área:

I_{\text{env}} = I_0\,\frac{\pi r^2}{\pi a^2} = I_0\,\frac{r^2}{a^2}

Passo 3 — Substituindo:

B\,(2\pi r) = \mu_0 I_0 \frac{r^2}{a^2} \;\Rightarrow\; \boxed{B_{\text{int}} = \frac{\mu_0 I_0\, r}{2\pi a^2}}

Passo 4 — Região externa ( $r \gt a$ ): a amperiana envolve toda a corrente, $I_{\text{env}} = I_0$ :

B\,(2\pi r) = \mu_0 I_0 \;\Rightarrow\; \boxed{B_{\text{ext}} = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}}

Passo 5 — Gráfico: $B$ cresce linearmente de 0 até $B_{\max} = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi a}$ em $r = a$ , e depois decai como $1/r$ . As duas expressões coincidem em $r = a$ (continuidade). ✓

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Questão 032º EE2025.2Lei de Faraday · Fem induzida2,5 ptsVer material

Uma espira retangular de largura $a$ (ao longo de $x$ ) e altura $b$ (ao longo de $y$ ) está no plano $xy$ , com um vértice na origem. A região é atravessada por um campo magnético não uniforme e dependente do tempo, $\vec B = A\,t^3\,x\;\hat z$ , onde $A$ é uma constante positiva.

(a) Calcule o fluxo magnético através da espira.

(b) Determine a f.e.m. induzida na espira.

(c) Indique o sentido da corrente induzida.

O fluxo em $+\hat z$ cresce com o tempo; pela Lei de Lenz, a corrente induzida circula no sentido horário para se opor.

Gabarito

(a) $\Phi_B = \dfrac{A\,b\,a^2\,t^3}{2}$ · (b) $|\varepsilon| = \dfrac{3A\,a^2 b\,t^2}{2}$ · (c) sentido horário (visto do lado de onde $\hat z$ aponta), pois o fluxo em $+\hat z$ está crescendo (Lei de Lenz).

Passo a passo

Passo 1 — Como $B$ varia com $x$ , integre sobre a área da espira com $dA = b\,dx$ (faixas verticais):

\Phi_B = \int \vec B\cdot d\vec A = \int_0^{a} A\,t^3\,x\; (b\,dx) = A\,t^3\,b\int_0^a x\,dx

Passo 2 — Calcule a integral:

\Phi_B = A\,t^3\,b\cdot\frac{a^2}{2} = \boxed{\frac{A\,a^2 b\,t^3}{2}}

Passo 3 — Lei de Faraday:

\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{A\,a^2 b}{2}\cdot 3t^2 \;\Rightarrow\; \boxed{|\varepsilon| = \frac{3A\,a^2 b\,t^2}{2}}

Passo 4 — Lei de Lenz: o fluxo aponta em $+\hat z$ e cresce com o tempo. A corrente induzida cria um campo que se opõe a esse crescimento, ou seja, campo em $-\hat z$ dentro da espira. Pela regra da mão direita, a corrente circula no sentido horário quando vista de cima (do semieixo $+z$ ).

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Questão 042º EE2025.2Circuito RLC · Ressonância2,5 ptsVer material

Um circuito de corrente alternada possui fonte $v(t) = 20\,\text{sen}(\omega t)\ \text{V}$ , dois resistores em paralelo $R_1 = 4\ \Omega$ e $R_2 = 8\ \Omega$ , um indutor $L = 1{,}5\ \text{H}$ e um capacitor $C = 5\ \mu\text{F}$ , todos em série com o paralelo de resistores. O circuito opera na frequência de ressonância.

(a) Calcule a frequência angular de ressonância $\omega_0$ .

(b) Determine a corrente $i(t)$ fornecida pela fonte.

(c) Calcule a potência média dissipada no circuito.

Fonte AC em série com $L$ , $C$ e o paralelo $R_1 \| R_2$ . Na ressonância, $X_L = X_C$ e sobra só $R_{eq}$ .

Gabarito

(a) $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \approx 365\ \text{rad/s}\ (\approx 116\pi)$ · (b) $i(t) = 7{,}5\,\text{sen}(\omega_0 t)\ \text{A}$ · (c) $P_{\text{méd}} \approx 75\ \text{W}$ .

Passo a passo

Passo 1 — Na ressonância, as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam ( $X_L = X_C$ ):

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1{,}5 \cdot 5\times10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{7{,}5\times10^{-6}}} \approx \boxed{365\ \text{rad/s} \approx 116\pi\ \text{rad/s}}

Passo 2 — Na ressonância a impedância do circuito é puramente resistiva. Resistência equivalente do paralelo:

R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4\cdot8}{12} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\ \Omega

Passo 3 — Corrente de pico e corrente instantânea (em fase com a fonte, pois $Z = R_{eq}$ ):

I_{\max} = \frac{V_{\max}}{R_{eq}} = \frac{20}{8/3} = 7{,}5\ \text{A} \;\Rightarrow\; \boxed{i(t) = 7{,}5\,\text{sen}(\omega_0 t)\ \text{A}}

Passo 4 — Potência média (fator de potência $\cos\varphi = 1$ na ressonância):

P_{\text{méd}} = \frac{V_{\max} I_{\max}}{2}\cos\varphi = \frac{20\cdot 7{,}5}{2} = \boxed{75\ \text{W}}

Só os resistores dissipam energia; indutor e capacitor apenas trocam energia entre si.

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Questão 052º EE2024.1Força magnética em fio2,5 ptsVer material

Um fio horizontal de comprimento $L = 50\ \text{cm}$ e massa $m = 25\ \text{g}$ está imerso em um campo magnético horizontal, perpendicular ao fio.

(a) Quando o fio conduz $i = 0{,}98\ \text{A}$ , a força magnética equilibra exatamente o peso. Calcule o módulo de $B$ .

(b) Agora o fio está suspenso por dois fios verticais ideais e conduz $i = 0{,}49\ \text{A}$ em um campo $B = 0{,}6\ \text{T}$ , com a força magnética apontando para baixo. Calcule a tração em cada fio de suspensão. (Use $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .)

Item (b): as duas trações para cima equilibram o peso e a força magnética, ambos para baixo: $2T = P + F$ .

Gabarito

(a) $B = 0{,}5\ \text{T}$ · (b) $F_{\text{mag}} = 147\ \text{mN}$ , $P = 245\ \text{mN}$ e $T = 196\ \text{mN}$ em cada fio.

Passo a passo

Passo 1 — A força magnética sobre um fio reto é $F = BiL$ (campo perpendicular ao fio). Para equilibrar o peso:

BiL = mg \;\Rightarrow\; B = \frac{mg}{iL} = \frac{(0{,}025)(9{,}8)}{(0{,}98)(0{,}5)} = \boxed{0{,}5\ \text{T}}

Passo 2 — No item (b), calcule as forças envolvidas:

F_{\text{mag}} = BiL = (0{,}6)(0{,}49)(0{,}5) = 0{,}147\ \text{N} = \boxed{147\ \text{mN}}

P = mg = (0{,}025)(9{,}8) = 0{,}245\ \text{N} = \boxed{245\ \text{mN}}

Passo 3 — Equilíbrio na vertical: as duas trações para cima equilibram o peso e a força magnética (ambos para baixo):

2T = P + F_{\text{mag}} = 245 + 147 = 392\ \text{mN} \;\Rightarrow\; \boxed{T = 196\ \text{mN}}

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Questão 062º EE2024.1Torque e momento de dipolo2,5 ptsVer material

Uma bobina tem momento de dipolo magnético $\vec\mu = (2\,\hat i + 3\,\hat k)\ \text{A·m}^2$ e está imersa no campo $\vec B = (\hat i + \hat j + 2\,\hat k)\ \text{T}$ .

(a) Calcule o torque $\vec\tau$ sobre a bobina e seu módulo.

(b) Calcule a energia potencial de orientação $U = -\vec\mu\cdot\vec B$ .

Gabarito

(a) $\vec\tau = (-3\,\hat i - \hat j + 2\,\hat k)\ \text{N·m}$ , $|\vec\tau| = \sqrt{14} \approx 3{,}74\ \text{N·m}$ · (b) $U = -8\ \text{J}$

Passo a passo

Passo 1 — O torque sobre um dipolo magnético é $\vec\tau = \vec\mu \times \vec B$ . Montando o determinante:

\vec\tau = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}

Passo 2 — Expandindo:

\vec\tau = \hat i\,(0\cdot 2 - 3\cdot 1) - \hat j\,(2\cdot 2 - 3\cdot 1) + \hat k\,(2\cdot 1 - 0\cdot 1)

\boxed{\vec\tau = (-3\,\hat i - \hat j + 2\,\hat k)\ \text{N·m}}

Passo 3 — Módulo:

|\vec\tau| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \boxed{\sqrt{14} \approx 3{,}74\ \text{N·m}}

Passo 4 — Energia de orientação (produto escalar):

U = -\vec\mu\cdot\vec B = -(2\cdot 1 + 0\cdot 1 + 3\cdot 2) = \boxed{-8\ \text{J}}

Negativa: o dipolo está em uma orientação de baixa energia (parcialmente alinhado com $\vec B$ ). O torque tende a alinhá-lo completamente.

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Questão 072º EE2024.1Circuito RL2,5 ptsVer material

Uma bobina de indutância $L = 4\ \text{mH}$ e resistência $R = 150\ \Omega$ é ligada a uma fonte de $\varepsilon = 12\ \text{V}$ no instante $t = 0$ .

(a) Qual é a taxa de crescimento da corrente $dI/dt$ no instante em que a corrente vale metade do seu valor final?

(b) Quanto tempo leva para a corrente atingir $99\%$ do valor final?

$I(t) = I_f(1 - e^{-t/\tau})$ : a inclinação diminui à medida que a corrente se aproxima de $I_f$ .

Gabarito

(a) $dI/dt = \varepsilon/2L = 1{,}5\times10^{3}\ \text{A/s}$ · (b) $t = \tau\ln 100 \approx 122{,}8\ \mu\text{s}$

Passo a passo

Passo 1 — Lei das malhas no circuito RL em qualquer instante:

\varepsilon = RI + L\frac{dI}{dt}

Passo 2 — O valor final da corrente é $I_f = \varepsilon/R$ . Quando $I = I_f/2 = \varepsilon/2R$ :

\frac{dI}{dt} = \frac{\varepsilon - R\cdot\frac{\varepsilon}{2R}}{L} = \frac{\varepsilon}{2L} = \frac{12}{2(4\times10^{-3})} = \boxed{1{,}5\times10^{3}\ \text{A/s}}

Passo 3 — A corrente cresce como $I(t) = I_f\,(1 - e^{-t/\tau})$ com constante de tempo:

\tau = \frac{L}{R} = \frac{4\times10^{-3}}{150} \approx 2{,}67\times10^{-5}\ \text{s}

Passo 4 — Impondo $I = 0{,}99\,I_f$ :

1 - e^{-t/\tau} = 0{,}99 \;\Rightarrow\; e^{-t/\tau} = 0{,}01 \;\Rightarrow\; t = \tau\ln 100

t = (2{,}67\times10^{-5})(4{,}605) \approx \boxed{122{,}8\ \mu\text{s}}

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Questão 082º EE2024.1Circuito RLC · Corrente alternada2,5 ptsVer material

Um circuito RLC em série tem $R = 3\ \Omega$ , $L = 2\ \text{H}$ e $C = 15\ \mu\text{F}$ , alimentado por $\varepsilon(t) = 15\,\text{sen}(100t)\ \text{V}$ .

(a) Calcule as reatâncias, a impedância, a amplitude da corrente e a constante de fase. Escreva $i(t)$ . O circuito é indutivo ou capacitivo?

(b) Determine a frequência angular de ressonância $\omega_0$ e a amplitude da corrente caso a fonte operasse em $\omega_0$ .

Como $X_C \gg X_L$ , a reatância líquida aponta “para baixo”: $\varphi \approx -90°$ e o circuito é capacitivo.

Gabarito

(a) $X_L = 200\ \Omega$ , $X_C \approx 666{,}7\ \Omega$ , $Z \approx 466{,}7\ \Omega$ , $I \approx 0{,}032\ \text{A}$ , $\varphi \approx -89{,}6° \approx -1{,}56\ \text{rad}$ ; $i(t) = 0{,}032\,\text{sen}(100t + 1{,}56)\ \text{A}$ — capacitivo · (b) $\omega_0 \approx 182{,}6\ \text{rad/s}$ e $I = \varepsilon_m/R = 5{,}0\ \text{A}$

Passo a passo

Passo 1 — Reatâncias em $\omega_d = 100\ \text{rad/s}$ :

X_L = \omega_d L = 100\cdot 2 = 200\ \Omega \qquad X_C = \frac{1}{\omega_d C} = \frac{1}{100\cdot 15\times10^{-6}} \approx 666{,}7\ \Omega

Passo 2 — Impedância e amplitude da corrente:

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{3^2 + (-466{,}7)^2} \approx 466{,}7\ \Omega

I = \frac{\varepsilon_m}{Z} = \frac{15}{466{,}7} \approx \boxed{0{,}032\ \text{A}}

Passo 3 — Constante de fase:

\tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{-466{,}7}{3} \;\Rightarrow\; \varphi \approx -89{,}6° \approx -1{,}56\ \text{rad}

Como $X_C \gt X_L$ , o circuito é capacitivo e a corrente está adiantada em relação à fem:

\boxed{i(t) = 0{,}032\,\text{sen}(100t + 1{,}56)\ \text{A}}

Passo 4 — Ressonância ( $X_L = X_C$ ):

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2\cdot 15\times10^{-6}}} \approx \boxed{182{,}6\ \text{rad/s}}

Passo 5 — Na ressonância $Z = R = 3\ \Omega$ , então:

I = \frac{15}{3} = \boxed{5{,}0\ \text{A}}

Repare no salto: de 32 mA para 5 A — a ressonância maximiza a corrente.

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Questão 092º EE2024.2Momento de dipolo · Torque · Energia2,5 ptsVer material

Uma bobina quadrada de $N = 10$ espiras e lado $50\ \text{cm}$ está no plano $xy$ e conduz corrente $i = 2\ \text{A}$ , de modo que seu momento de dipolo aponta em $+\hat k$ . O campo magnético na região é $\vec B = (0{,}2\,\hat i + 0{,}3\,\hat k)\ \text{T}$ .

(a) Calcule o momento de dipolo magnético $\vec\mu$ .

(b) Calcule o torque $\vec\tau$ sobre a bobina.

(c) Calcule a energia potencial de orientação $U$ .

Só $B_x$ (perpendicular a $\vec\mu$ ) gera torque; só $B_z$ (paralela) entra na energia $U = -\vec\mu\cdot\vec B$ .

Gabarito

(a) $\vec\mu = 5{,}0\,\hat k\ \text{A·m}^2$ · (b) $\vec\tau = 1{,}0\,\hat j\ \text{N·m}$ · (c) $U = -1{,}5\ \text{J}$

Passo a passo

Passo 1 — Momento de dipolo de uma bobina: $\mu = N\,i\,A$ , com $A = (0{,}5)^2 = 0{,}25\ \text{m}^2$ :

\vec\mu = N i A\,\hat k = 10\cdot 2\cdot 0{,}25\,\hat k = \boxed{5{,}0\,\hat k\ \text{A·m}^2}

Passo 2 — Torque $\vec\tau = \vec\mu\times\vec B$ . Usando $\hat k\times\hat i = \hat j$ e $\hat k\times\hat k = 0$ :

\vec\tau = 5\,\hat k \times (0{,}2\,\hat i + 0{,}3\,\hat k) = 5\cdot 0{,}2\,(\hat k\times\hat i) = \boxed{1{,}0\,\hat j\ \text{N·m}}

Só a componente de $\vec B$ perpendicular a $\vec\mu$ produz torque.

Passo 3 — Energia de orientação (só a componente paralela contribui):

U = -\vec\mu\cdot\vec B = -(5{,}0)(0{,}3) = \boxed{-1{,}5\ \text{J}}

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Questão 102º EE2024.2Lei de Ampère · Força entre fios2,5 ptsVer material

Um fio cilíndrico longo (“fio grosso”) de raio $a$ conduz corrente $I_0$ uniformemente distribuída em sua seção transversal.

(a) Usando a Lei de Ampère, obtenha $B(r)$ dentro ( $r \lt a$ ) e fora ( $r \gt a$ ) do fio, e esboce o gráfico $B \times r$ .

(b) Um segundo fio, fino e paralelo ao primeiro, está a uma distância $r = 4a$ e conduz $I_2 = 2I_0$ no mesmo sentido. Determine a força por unidade de comprimento entre os fios e diga se é atrativa ou repulsiva.

Correntes paralelas no mesmo sentido se atraem: cada fio sente o campo do outro.

Gabarito

(a) $B_{\text{int}} = \dfrac{\mu_0 I_0 r}{2\pi a^2}$ (linear) e $B_{\text{ext}} = \dfrac{\mu_0 I_0}{2\pi r}$ (decai como $1/r$ ) · (b) $\dfrac{F}{\ell} = \dfrac{\mu_0 I_0^2}{4\pi a} = 10^{-7}\,\dfrac{I_0^2}{a}\ \text{N/m}$ , atrativa.

Passo a passo

Passo 1 — Amperiana circular de raio $r \lt a$ . A corrente envolvida é proporcional à área:

I_{\text{env}} = I_0\,\frac{\pi r^2}{\pi a^2} = I_0\,\frac{r^2}{a^2}

Passo 2 — Lei de Ampère $\oint \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{env}}$ , com $B$ constante sobre o círculo:

B\cdot 2\pi r = \mu_0 I_0 \frac{r^2}{a^2} \;\Rightarrow\; \boxed{B_{\text{int}} = \frac{\mu_0 I_0\,r}{2\pi a^2}}

Passo 3 — Para $r \gt a$ , toda a corrente é envolvida:

B\cdot 2\pi r = \mu_0 I_0 \;\Rightarrow\; \boxed{B_{\text{ext}} = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}}

Gráfico: cresce linearmente de $0$ até $\mu_0 I_0/2\pi a$ em $r = a$ , depois decai como $1/r$ .

Passo 4 — O campo do fio grosso na posição do segundo fio ( $r = 4a$ ) é $B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi(4a)}$ . Força por comprimento sobre o fio 2:

\frac{F}{\ell} = B\,I_2 = \frac{\mu_0 I_0}{8\pi a}\cdot 2I_0 = \boxed{\frac{\mu_0 I_0^2}{4\pi a} = 10^{-7}\,\frac{I_0^2}{a}\ \text{N/m}}

Passo 5 — Correntes paralelas no mesmo sentido se atraem — a força é atrativa.

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Questão 112º EE2024.2Circuito RL · Energia2,5 ptsVer material

Em um circuito RL com $\varepsilon = 20\ \text{V}$ e $R = 5\ \Omega$ , observa-se que a corrente atinge $1/4$ do seu valor final em $t = 4\ \text{s}$ após o fechamento da chave.

(a) Determine a constante de tempo $\tau$ e a indutância $L$ .

(b) No instante $t = 0{,}2\ \text{s}$ , calcule: a corrente $I$ , a potência fornecida pela fonte, as tensões $V_R$ e $V_L$ , e a energia armazenada no indutor.

Gabarito

(a) $\tau \approx 13{,}9\ \text{s}$ e $L \approx 69{,}0\ \text{H}$ · (b) $I \approx 56\ \text{mA}$ , $P \approx 1120\ \text{mW}$ , $V_R \approx 280\ \text{mV}$ , $V_L \approx 19{,}7\ \text{V}$ , $U_L \approx 108\ \text{mJ}$

Passo a passo

Passo 1 — Corrente no RL: $I(t) = I_f(1 - e^{-t/\tau})$ , com $I_f = \varepsilon/R = 4\ \text{A}$ . Impondo $I(4) = I_f/4$ :

1 - e^{-4/\tau} = 0{,}25 \;\Rightarrow\; e^{-4/\tau} = 0{,}75 \;\Rightarrow\; \tau = \frac{-4}{\ln 0{,}75} \approx \boxed{13{,}9\ \text{s}}

L = \tau R = 13{,}79\cdot 5 \approx \boxed{69{,}0\ \text{H}}

Passo 2 — Corrente em $t = 0{,}2\ \text{s}$ :

I = 4\left(1 - e^{-0{,}2/13{,}79}\right) = 4(1 - 0{,}9856) \approx \boxed{56\ \text{mA}}

Passo 3 — Potência fornecida pela fonte e tensão no resistor:

P = \varepsilon I = 20\cdot 0{,}056 \approx \boxed{1120\ \text{mW}} \qquad V_R = RI = 5\cdot 0{,}056 \approx \boxed{280\ \text{mV}}

Passo 4 — Tensão no indutor, $V_L = L\,dI/dt$ , com $\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{\varepsilon}{L}e^{-t/\tau} = \dfrac{20}{68{,}96}(0{,}9856) \approx 0{,}286\ \text{A/s}$ :

V_L = 68{,}96\cdot 0{,}286 \approx \boxed{19{,}7\ \text{V}}

Conferindo a malha: $V_R + V_L = 0{,}28 + 19{,}72 = 20\ \text{V} = \varepsilon$ ✓

Passo 5 — Energia armazenada no indutor:

U_L = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2}(68{,}96)(0{,}056)^2 \approx \boxed{108\ \text{mJ}}

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Questão 122º EE2024.2Circuito RLC · Ressonância e fasores2,5 ptsVer material

Um circuito RLC em série com $R = 100\ \Omega$ , $L = 120\ \text{mH}$ e $C = 5\ \mu\text{F}$ opera na ressonância, com corrente de amplitude $I_{\text{máx}} = 250\ \text{mA}$ .

(a) Calcule $\omega_0$ e escreva $\varepsilon(t)$ e $i(t)$ .

(b) Em um diagrama de fasores, o que significa $\varphi \lt 0$ , $\varphi = 0$ e $\varphi \gt 0$ ?

(c) Calcule a potência média dissipada na ressonância e explique por que ela diminui se a fonte operar em $2\omega_0$ .

Os três regimes do fasor da corrente em relação ao da fem: capacitivo, ressonância e indutivo.

Gabarito

(a) $\omega_0 \approx 1{,}3\times10^{3}\ \text{rad/s}$ ; $\varepsilon(t) = 25\,\text{sen}(\omega_0 t)\ \text{V}$ e $i(t) = 0{,}25\,\text{sen}(\omega_0 t)\ \text{A}$ · (b) $\varphi\lt 0$ : corrente adiantada (capacitivo); $\varphi=0$ : em fase (ressonância); $\varphi\gt 0$ : corrente atrasada (indutivo) · (c) $P_{\text{méd}} = \varepsilon_m^2/2R \approx 3{,}13\ \text{W}$ ; fora da ressonância $Z \gt R$ e a potência cai (em $2\omega_0$ , $P \approx 0{,}48\ \text{W}$ ).

Passo a passo

Passo 1 — Frequência de ressonância:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{(0{,}12)(5\times10^{-6})}} \approx \boxed{1{,}3\times10^{3}\ \text{rad/s}}

Passo 2 — Na ressonância $Z = R$ , então a amplitude da fem é:

\varepsilon_m = I_{\text{máx}}\,R = (0{,}25)(100) = 25\ \text{V}

\boxed{\varepsilon(t) = 25\,\text{sen}(\omega_0 t)\ \text{V} \qquad i(t) = 0{,}25\,\text{sen}(\omega_0 t)\ \text{A}}

Sem defasagem, pois $\varphi = 0$ na ressonância.

Passo 3 — Interpretação dos fasores:

$\varphi \lt 0$ : $X_C \gt X_L$ , circuito capacitivo, a corrente está adiantada em relação à fem. $\varphi = 0$ : $X_C = X_L$ , ressonância, corrente e fem em fase. $\varphi \gt 0$ : $X_L \gt X_C$ , circuito indutivo, corrente atrasada.

Passo 4 — Potência média na ressonância ( $\cos\varphi = 1$ ):

P_{\text{méd}} = \frac{\varepsilon_m I_{\text{máx}}}{2} = \frac{\varepsilon_m^2}{2R} = \frac{25^2}{200} \approx \boxed{3{,}13\ \text{W}}

Passo 5 — Em $\omega_d = 2\omega_0$ , $X_L \neq X_C$ e a impedância cresce ( $Z \gt R$ ), reduzindo $I$ e $\cos\varphi$ . O cálculo dá $P \approx 0{,}48\ \text{W}$ , bem menor: a potência média é máxima na ressonância.

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