Cálculo Diferencial e Integral Vetorial (Cálculo 3)

01 Funções de várias variáveis

A ideia. No Cálculo 1 a função era uma “máquina” que recebia um número e devolvia outro: $y = f(x)$, e o gráfico era uma curva no plano. Agora a máquina recebe dois números (um ponto do plano) e devolve um: $z = f(x,y)$. O gráfico vira uma superfície flutuando sobre o plano $xy$ — pense num terreno com morros e vales, em que a altura do terreno sobre o ponto $(x,y)$ é o valor $f(x,y)$. Toda a 1ª unidade é aprender a “enxergar” e medir esse terreno: onde ele sobe, onde desce, onde tem pico.

Domínio

Determinar o domínio é a primeira pergunta clássica de prova. As restrições mais comuns:

• Raiz de índice par: o radicando deve ser $\geq 0$;
• Denominador: deve ser $\neq 0$;
• Logaritmo: o argumento deve ser $\gt 0$;
• $\arcsin$ e $\arccos$: argumento em $[-1, 1]$.

Curvas e superfícies de nível

A curva de nível $k$ é o conjunto dos pontos do domínio onde $f(x,y) = k$. É a “fatia horizontal” do gráfico projetada no plano $xy$ — exatamente como as curvas de altitude de um mapa topográfico. Para $f(x,y,z)$, o análogo é a superfície de nível $f(x,y,z)=k$.

Superfícies quádricas que você precisa reconhecer

• Paraboloide elíptico: $z = x^2 + y^2$ (uma “tigela”);
• Paraboloide hiperbólico (sela): $z = x^2 - y^2$;
• Esfera: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$;
• Elipsoide: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$;
• Cone: $z^2 = x^2 + y^2$;
• Cilindro: $x^2 + y^2 = R^2$ (livre em $z$).

02 Limites e continuidade

A ideia. No Cálculo 1, para chegar num ponto da reta só existem dois lados: pela esquerda e pela direita. No plano, você pode chegar em $(a,b)$ por infinitos caminhos — pelos eixos, por retas inclinadas, por parábolas, por espirais. Dizemos que $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L$ quando $f(x,y)$ fica arbitrariamente próximo de $L$ por qualquer caminho de aproximação. Se dois caminhos derem valores diferentes, o limite não existe — e essa é a jogada nº 1 das provas.

Como mostrar que o limite NÃO existe

Basta exibir dois caminhos que levem a valores diferentes. Caminhos usuais: eixos ($y=0$ ou $x=0$), retas $y = mx$, parábolas $y = x^2$.

Como mostrar que o limite EXISTE

• Coordenadas polares: troque $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$; então $(x,y)\to(0,0)$ equivale a $r \to 0$. Se o resultado não depender de $\theta$, o limite existe;
• Teorema do confronto (sanduíche): encontre $g$ com $|f| \leq g$ e $g \to 0$. Desigualdades úteis: $|x| \leq \sqrt{x^2+y^2}$, $\;x^2 \leq x^2+y^2$, $\;|xy| \leq \tfrac{1}{2}(x^2+y^2)$;
• Limite fundamental: $\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$ e $\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u} = 0$, com $u = x^2+y^2$ por exemplo.

Uma função é contínua em $(a,b)$ quando o limite existe e é igual a $f(a,b)$. Polinômios são contínuos em todo o plano; quocientes são contínuos onde o denominador não zera.

03 Derivadas parciais

A ideia. Imagine que você está parado num ponto do “terreno” $z = f(x,y)$ e quer saber a inclinação. Inclinação em qual direção? A derivada parcial $f_x$ responde: “se eu andar só na direção do eixo $x$, quanto o terreno sobe?”. É como cortar a superfície com um plano vertical paralelo ao eixo $x$ e medir a inclinação da curva que sobra. A parcial $f_y$ faz o mesmo na direção $y$.

Na prática: para achar $f_x$, derive normalmente em $x$ fingindo que $y$ é um número, e vice-versa.

Derivadas de ordem superior e Teorema de Clairaut/Schwarz

Podemos derivar de novo: $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$. Se as derivadas mistas forem contínuas, então

Regra da cadeia

Se $z = f(x,y)$ com $x = x(t)$ e $y = y(t)$:

Se $x$ e $y$ dependem de duas variáveis $u,v$, aplica-se o mesmo esquema para $\partial z/\partial u$ e $\partial z/\partial v$: soma-se uma parcela por “caminho” de dependência.

Derivação implícita

Se $F(x,y,z) = 0$ define $z$ implicitamente:

04 Diferenciabilidade, gradiente e derivada direcional

A ideia. As parciais $f_x$ e $f_y$ medem a inclinação em duas direções fixas. Mas e se eu quiser andar em qualquer direção? O gradiente resolve tudo de uma vez: é um vetor que, em cada ponto, aponta para onde o terreno sobe mais rápido — como uma bússola do “caminho mais íngreme”. Com ele, a inclinação em qualquer direção vira um simples produto escalar.

Gradiente

O gradiente empacota todas as derivadas parciais num vetor:

Propriedades geométricas fundamentais (caem em questões conceituais):

• $\nabla f$ aponta na direção de máximo crescimento de $f$; a taxa máxima é $\lVert\nabla f\rVert$;
• $-\nabla f$ aponta na direção de máximo decrescimento;
• $\nabla f$ é perpendicular às curvas/superfícies de nível.

Derivada direcional

Taxa de variação de $f$ na direção de um vetor unitário $\hat{u}$:

Plano tangente e reta normal

Para uma superfície dada como gráfico $z = f(x,y)$, no ponto $(x_0, y_0, z_0)$:

Para uma superfície de nível $F(x,y,z) = k$, o vetor normal é $\nabla F(P)$ e o plano tangente é:

Diferenciabilidade e linearização

Ser diferenciável significa que o plano tangente aproxima bem a função perto do ponto. A aproximação linear é:

Se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança do ponto, então $f$ é diferenciável ali (condição suficiente).

05 Máximos e mínimos. Hessiana

A ideia. No topo de um morro ou no fundo de um vale, o terreno fica momentaneamente “plano”: nenhuma direção sobe. Matematicamente, o gradiente zera. Mas atenção: existe um terceiro personagem que não existia no Cálculo 1 — a sela (como uma sela de cavalo ou um passo de montanha): o ponto é plano, mas sobe numa direção e desce na outra. O teste da Hessiana serve exatamente para distinguir esses três casos.

Pontos críticos

$P$ é ponto crítico quando o gradiente zera (ou não existe):

Resolva o sistema com cuidado — cada solução $(x,y)$ é um candidato a máximo, mínimo ou sela.

Classificação: teste da segunda derivada (Hessiana)

• $D \gt 0$ e $f_{xx} \gt 0$ $\Rightarrow$ mínimo local;
• $D \gt 0$ e $f_{xx} \lt 0$ $\Rightarrow$ máximo local;
• $D \lt 0$ $\Rightarrow$ ponto de sela;
• $D = 0$ $\Rightarrow$ o teste é inconclusivo (analise diretamente a função).

Máximos e mínimos globais em regiões fechadas

Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em região fechada e limitada atinge máximo e mínimo globais. Roteiro:

1. Ache os pontos críticos no interior;
2. Analise a função na fronteira (parametrize ou use Lagrange);
3. Compare todos os valores obtidos: o maior é o máximo global e o menor, o mínimo global.

06 Multiplicadores de Lagrange

A ideia. Agora você não pode mais andar livremente pelo terreno: está preso a uma trilha (a restrição $g(x,y)=k$) e quer achar o ponto mais alto da trilha. Pense nas curvas de nível de $f$ como as linhas de altitude do mapa: enquanto a trilha ainda cruza curvas de nível, dá para subir mais. O ponto ótimo é onde a trilha apenas tangencia uma curva de nível — e curvas tangentes têm normais paralelas, ou seja, $\nabla f \parallel \nabla g$. O $\lambda$ é só o fator de proporcionalidade entre os dois gradientes.

Resolvido o sistema, avalie $f$ em cada solução: o maior valor é o máximo e o menor, o mínimo (a restrição sendo fechada e limitada).

Com duas restrições $g = k_1$ e $h = k_2$, o sistema vira $\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h$ junto com as duas restrições.

07 Integrais múltiplas: domínios, áreas e volumes

A ideia. A integral simples somava “fatias” de área sob uma curva. A integral dupla soma “colunas”: divida a região $D$ do plano em quadradinhos $dA$, sobre cada um erga uma coluna de altura $f(x,y)$, e some o volume de todas. O trabalho de prova quase nunca está no integrando — está em descrever a região corretamente (os limites de integração) e em escolher o sistema de coordenadas que deixa a região simples.

Integral dupla

$\iint_D f\, dA$ soma os valores de $f$ sobre a região $D$. Se $f \geq 0$, é o volume sob o gráfico; se $f = 1$, é a área de $D$. Pelo Teorema de Fubini, calcula-se como integral iterada:

Coordenadas polares

Para regiões circulares/anulares ou integrandos com $x^2 + y^2$:

Integral tripla

$\iiint_E f\, dV$ com $f = 1$ dá o volume de $E$. Duas mudanças de variáveis essenciais:

Aplicações

• Massa: $m = \iint_D \delta\, dA$ (ou tripla com $dV$), onde $\delta$ é a densidade;
• Centro de massa: $\bar x = \frac{1}{m}\iint x\,\delta\, dA$, $\;\bar y = \frac{1}{m}\iint y\,\delta\, dA$;
• Valor médio de $f$ em $D$: $\frac{1}{A(D)}\iint_D f\, dA$.

08 Curvas no espaço. Triedro de Frenet

A ideia. Pense numa partícula (ou numa formiga) viajando pelo espaço: em cada instante $t$ ela está numa posição $\vec r(t)$. A trajetória é a curva; a derivada $\vec r\,'(t)$ é a velocidade (sempre tangente ao caminho); e o comprimento do caminho é a integral da rapidez. O triedro de Frenet é o “GPS local” da formiga: para onde vou ($\hat T$), para onde a curva está virando ($\hat N$) e o eixo em torno do qual ela gira ($\hat B$).

Uma curva é descrita por uma função vetorial $\vec r(t) = (x(t),\, y(t),\, z(t))$. O vetor $\vec r\,'(t)$ é tangente à curva (velocidade) e $\lVert \vec r\,'(t)\rVert$ é a rapidez.

Triedro de Frenet

Em cada ponto da curva definimos três vetores unitários ortogonais:

A curvatura mede o quanto a curva “dobra”: uma reta tem $\kappa = 0$ e um círculo de raio $R$ tem $\kappa = 1/R$. A parametrização pelo comprimento de arco $s$ é aquela em que se percorre a curva com rapidez 1; nela, $\kappa = \lVert \hat T'(s)\rVert$ diretamente.

09 Integrais de linha e campos conservativos

A ideia. Um campo vetorial $\vec F$ é como um “vento” que sopra em cada ponto do plano/espaço. A integral de linha vetorial responde: se eu empurrar uma partícula ao longo da curva $C$, quanto o vento me ajuda ou atrapalha? Em cada pedacinho do caminho, só conta a componente de $\vec F$ na direção do movimento — por isso o produto escalar $\vec F\cdot d\vec r$. O resultado é o trabalho realizado pelo campo.

Integral de linha escalar (em relação ao comprimento de arco)

Interpretação: massa de um arame com densidade $f$, ou área de uma “cerca” de altura $f$ sobre a curva.

Integral de linha vetorial (trabalho)

Roteiro de cálculo direto: (1) parametrize a curva; (2) substitua na $\vec F$; (3) faça o produto escalar com $\vec r\,'(t)$; (4) integre em $t$. Inverter a orientação da curva troca o sinal.

Campos conservativos e o Teorema Fundamental

$\vec F$ é conservativo quando existe função potencial $\varphi$ com $\nabla \varphi = \vec F$. Teste em 2D (região simplesmente conexa):

Consequências: a integral de um campo conservativo não depende do caminho, só dos extremos; em qualquer curva fechada, vale zero.

Como achar o potencial: integre $P$ em $x$ obtendo $\varphi = \int P\,dx + g(y)$; derive em $y$, iguale a $Q$ e descubra $g(y)$.

10 Teorema de Green

A ideia. Dar a volta completa numa curva fechada calculando $\oint \vec F\cdot d\vec r$ pode ser trabalhoso (parametrizar cada trecho…). O Teorema de Green oferece uma troca: em vez de somar o campo ao longo da borda, some uma quantidade ($Q_x - P_y$, o “giro local” do campo) dentro da região. Borda ↔ interior: essa é a essência dos três grandes teoremas da unidade.

Condições: $C$ fechada, simples, orientada positivamente; $P$ e $Q$ com derivadas contínuas em $D$ (cuidado com singularidades dentro da região, como a origem em campos com $x^2+y^2$ no denominador).

Aplicação: área via integral de linha

11 Superfícies parametrizadas e integrais de superfície

A ideia. Uma curva precisa de um parâmetro ($t$) para ser varrida; uma superfície precisa de dois ($u$ e $v$) — como as coordenadas de um mapa que cobre uma folha amassada no espaço. Fixando $v$ e variando $u$, você anda numa “linha de grade”; o vetor tangente a ela é $\vec r_u$. Idem para $\vec r_v$. Esses dois tangentes geram o plano tangente à superfície, e o produto vetorial deles dá o vetor normal (perpendicular à superfície). O tamanho desse produto vetorial é a área do paralelogramo formado pelos dois passinhos — ou seja, o “pedacinho de área” $dS$.

Integral de superfície escalar

Interpretação: massa de uma chapa fina de densidade $f$, ou (com $f=1$) a própria área da superfície. Caso a superfície seja um gráfico $z = g(x,y)$, a conta simplifica:

Integral de superfície vetorial (fluxo)

O fluxo mede “quanto do campo atravessa a superfície” — como a vazão de água passando por uma rede. Só conta a parte de $\vec F$ alinhada com a normal (por isso o produto escalar com $\vec n$). A orientação (para onde aponta $\vec n$) muda o sinal — leia sempre se o enunciado pede normal exterior ou “para cima”.

12 Operador nabla: divergente e rotacional

A ideia. Pense no campo $\vec F$ como o escoamento de um fluido: em cada ponto há um vetor dizendo para onde e com que força a água se move. Duas perguntas naturais surgem. “Nesse ponto, está saindo mais água do que entrando (uma torneira) ou o contrário (um ralo)?” — quem responde é o divergente, um número. “Nesse ponto, o fluido tende a girar como um redemoinho?” — quem responde é o rotacional, um vetor que aponta no eixo do giro. O operador $\nabla$ (“nabla”) é só um jeito compacto de escrever as duas coisas: divergente é $\nabla$ num “produto escalar” e rotacional é $\nabla$ num “produto vetorial”.

Interpretações físicas: o divergente mede expansão/compressão local (fontes e sumidouros); o rotacional mede a tendência de rotação local do campo.

Identidades importantes

• $\nabla \times (\nabla \varphi) = \vec 0$ — gradientes não giram (campo conservativo $\Rightarrow$ rotacional nulo);
• $\nabla \cdot (\nabla \times \vec F) = 0$ — rotacionais não têm divergência;
• Em 3D (domínio simplesmente conexo): $\vec F$ conservativo $\iff \nabla \times \vec F = \vec 0$.

13 Teorema da divergência (Gauss)

A ideia. Imagine uma superfície fechada — uma casca, tipo um balão — mergulhada num escoamento. Quer saber a vazão líquida que sai por toda a casca (o fluxo). Uma opção é somar o campo ponto a ponto na superfície (trabalhoso). O Teorema de Gauss oferece a troca: essa vazão total pela casca é igual à soma de todas as “torneiras e ralos” (o divergente) espalhados pelo sólido de dentro. Faz sentido físico: se dentro do balão só há fontes jorrando água, tudo isso tem que sair pela casca. É a mesma filosofia de Green (borda ↔ interior), só que agora casca 2D ↔ sólido 3D.

Roteiro: (1) verifique que $S$ é fechada (se não for, feche com uma “tampa” e desconte o fluxo dela); (2) calcule $\nabla\cdot\vec F$; (3) escolha coordenadas adequadas (cilíndricas/esféricas) para a tripla; (4) confira a orientação: o teorema exige normal exterior.

14 Teorema de Stokes

A ideia. É o Green “levantado do plano para o espaço”. Você tem uma curva fechada $C$ no espaço e quer a circulação $\oint_C\vec F\cdot d\vec r$ (o quanto o campo “gira” ao longo dela). Stokes diz: em vez de percorrer a borda, escolha qualquer superfície $S$ que tenha $C$ como contorno (uma “tampa” apoiada na curva) e some o rotacional através dela. O detalhe libertador: como o resultado só depende da borda, você pode trocar uma superfície feia (paraboloide, hemisfério) por um disco plano de mesma borda — e a conta desmorona.

A orientação segue a regra da mão direita: com os dedos no sentido de percurso de $C$, o polegar dá o sentido da normal de $S$.

Duas jogadas estratégicas que as provas adoram:

• Trocar a integral de linha por fluxo do rotacional quando a curva é ruim de parametrizar mas o rotacional é simples;
• Trocar a superfície: como o resultado só depende da borda $C$, você pode substituir uma superfície complicada (paraboloide, hemisfério) pelo disco plano de mesma borda — a conta despenca de dificuldade.

Resumo dos três grandes teoremas