Cálculo Diferencial e Integral Vetorial (Cálculo 3)

Item (a)

Passo 1 — Faça a substituição $u = x^2 + y^2$. Quando $(x,y)\to(0,0)$, temos $u \to 0^+$:

Passo 2 — Use o limite fundamental $\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u} = 0$ (verifique por L’Hôpital: $\frac{\sin u}{1}\to 0$).

Passo 3 — Conclua: $\frac{1}{2}\cdot 0 = 0$.

Item (b)

Passo 1 — Aproxime-se pelo eixo $x$ (caminho $y = 0$):

Passo 2 — Aproxime-se pelo eixo $y$ (caminho $x = 0$):

Passo 3 — Dois caminhos com valores distintos ($1 \neq -1$) $\Rightarrow$ o limite não existe.

Passo 1 — Escreva $f = g^{-1/2}$ com $g(x,y,z) = x^4 + x^2y^2z^2 + z^4$. Pela regra da cadeia:

Passo 2 — Calcule $\nabla g$:

Passo 3 — Avalie em $P(1,-1,1)$: $g(P) = 1 + 1 + 1 = 3$ e

Passo 4 — Monte o gradiente de $f$:

Passo 5 — Normalize a direção (não esqueça!): $\lVert \vec u \rVert = \sqrt2$, logo $\hat u = \left(\tfrac{1}{\sqrt2}, 0, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)$.

Passo 6 — Derivada direcional = produto escalar:

O sinal negativo indica que $f$ decresce nessa direção.

Item (a)

Passo 1 — Zere o gradiente:

Pontos críticos: $(1,2),\; (1,-2),\; (-1,2),\; (-1,-2)$.

Passo 2 — Monte a Hessiana: $f_{xx} = 6x$, $f_{yy} = 6y$, $f_{xy} = 0$, logo $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 36xy$.

Passo 3 — Classifique cada ponto:

• $(1,2)$: $D = 72 \gt 0$ e $f_{xx} = 6 \gt 0$ $\Rightarrow$ mínimo local ($f = 2$);
• $(1,-2)$: $D = -72 \lt 0$ $\Rightarrow$ sela;
• $(-1,2)$: $D = -72 \lt 0$ $\Rightarrow$ sela;
• $(-1,-2)$: $D = 72 \gt 0$ e $f_{xx} = -6 \lt 0$ $\Rightarrow$ máximo local ($f = 38$).

Item (b)

Passo 1 — Calcule a cota do ponto: $f(-1,1) = -1 + 1 + 3 - 12 + 20 = 11$.

Passo 2 — Avalie as parciais em $(-1,1)$:

Passo 3 — Use a equação do plano tangente ao gráfico:

Passo 1 — O domínio é um anel (coroa circular) com $1 \le r \le 4$ e $0 \le \theta \le 2\pi$. Região circular + integrando com $x^2+y^2$ $\Rightarrow$ coordenadas polares:

Passo 2 — Substitua:

Passo 3 — A integral angular zera:

Passo 4 — Como o produto tem um fator nulo, a integral vale 0.

Interpretação: o integrando é ímpar em $x$ e o anel é simétrico em relação ao eixo $y$ — as contribuições de $x\gt 0$ e $x\lt 0$ se cancelam exatamente. Perceber a simetria já responde a questão; a conta em polares confirma.

Passo 1 — (a) Aproxime pelo eixo $y$ ($x = 0$):

Passo 2 — Aproxime pelo eixo $x$ ($y = 0$):

Passo 3 — Aproxime pela reta $y = x$:

Caminhos diferentes deram valores diferentes ($0 \neq 1$); pelo teste dos dois caminhos, o limite não existe.

Passo 4 — (b) Por $y = 0$:

Passo 5 — Por $x = y$, caindo no limite fundamental:

De novo $0 \neq 1$: o limite não existe.

Passo 1 — Fórmula do plano tangente a $z = f(x,y)$ em $(x_0, y_0)$:

Passo 2 — Derivadas parciais avaliadas em $(1, -1)$:

Passo 3 — Cota do ponto:

Passo 4 — Montando o plano:

Conferindo: em $(1,-1)$ o plano dá $z = 1 + 1 + 1 = 3 = z_0$ ✓

Passo 1 — Normalize a direção: $\vec v = (0, 2, -1)$, $|\vec v| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt 5$:

Passo 2 — Gradiente pela regra da cadeia, com $w = x + 2y + 3z$:

Passo 3 — No ponto $(1,1,2)$: $w = 1 + 2 + 6 = 9$, então $w^{1/2} = 3$:

Passo 4 — Derivada direcional = produto escalar:

Positiva: $g$ cresce nesse sentido.

Passo 1 — Vetor unitário: $|\vec v| = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$:

Passo 2 — Com $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, temos $V = r^{-1}$ e

Passo 3 — No ponto $(2, 2, -1)$: $r = \sqrt{4+4+1} = 3$, logo $r^3 = 27$:

Passo 4 — Derivada direcional:

Como é positiva, o potencial é crescente nessa direção e sentido.

Passo 1 — Monte o sistema $\nabla f = \lambda\,\nabla g$ com $g(x,y) = xy - 1 = 0$:

Passo 2 — Da primeira equação, $\lambda = 2x/y$ (note $y \neq 0$ pois $xy = 1$). Substituindo na segunda:

Passo 3 — Combine com a restrição $xy = 1$. Se $x = -y$, então $xy = -y^2 = 1$, impossível. Logo $x = y$, e $x^2 = 1$:

Passo 4 — Avaliando: $f(1,1) = f(-1,-1) = 2$.

Passo 5 — Interpretação: sobre a hipérbole $xy = 1$, quando $x \to \infty$ temos $f \to \infty$, então não existe máximo. O valor $f = 2$ é o mínimo: os pontos da hipérbole mais próximos da origem estão à distância $\sqrt 2$.

Passo 1 — Como $r$ é constante, a taxa pedida é a derivada parcial de $A$ em relação a $h$. Derive tratando $r$ como constante (regra da cadeia em $\sqrt{h^2 + r^2}$):

Passo 2 — Avalie em $r = 3$, $h = 7$:

Ou seja, nesse instante a área lateral cresce cerca de $\frac{21\pi}{\sqrt{58}} \approx 8{,}7\ \text{cm}^2$ para cada centímetro de aumento na altura.

Passo 1 (a) — Não há divisão nem raiz: $f$ está definida para todo $(x,y)$, logo o domínio é $\mathbb R^2$.

Passo 2 — Como $4x^2 \ge 0$ e $y^2 \ge 0$, temos $f \ge 1$, com igualdade em $(0,0)$. A imagem é $[1,+\infty)$. O gráfico $z = 4x^2 + y^2 + 1$ é um paraboloide elíptico com vértice em $(0,0,1)$, abrindo para cima.

Passo 3 (b) — Teste caminhos diferentes chegando à origem. Ao longo do eixo $x$ ($y = 0$):

Passo 4 — Ao longo da parábola $y = x^2$:

Passo 5 — Dois caminhos dão valores diferentes ($0 \ne 1$). Logo o limite não existe.

Passo 1 — Valor no ponto:

Passo 2 — Derivadas parciais. Com $f = (20 - x^2 - 7y^2)^{1/2}$:

Passo 3 (a) — Plano tangente $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$:

Passo 4 (b) — A aproximação linear $L(x,y)$ é o próprio plano. Em $(1{,}9,\ 1{,}1)$, $x-2 = -0{,}1$ e $y-1 = 0{,}1$:

Passo 1 — Iguale o gradiente a zero:

Passo 2 — Substituindo $y = x^3$ em $x = y^3$: $x = x^9 \Rightarrow x^9 - x = 0 \Rightarrow x(x^8 - 1) = 0$, logo $x = 0,\ 1,\ -1$. Os pontos críticos são $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$.

Passo 3 — Monte a matriz Hessiana. $f_{xx} = 12x^2$, $f_{yy} = 12y^2$, $f_{xy} = -4$:

Passo 4 — Avalie em cada ponto:

Passo 5 — Valores nos mínimos: $f(1,1) = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$ e $f(-1,-1) = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$.

Passo 1 — Identifique a região. O limite superior $y = \sqrt{4 - x^2}$ é a semicircunferência de cima ($y\ge 0$) de raio $2$, com $x$ indo de $-2$ a $2$. É o semidisco superior.

Passo 2 — Em polares: $x^2 + y^2 = r^2$ e $dA = r\,dr\,d\theta$. O semidisco superior é

Passo 3 — Reescreva o integrando $(x^2+y^2) = r^2$ e monte a integral:

Passo 4 — Resolva:

Passo 1 — Com $g = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 6$, o sistema $\nabla f = \lambda\nabla g$ dá

Passo 2 — Multiplique cada equação por $x, y, z$ respectivamente. Todas ficam iguais a $xyz$:

Passo 3 — Para um extremo com $\lambda \ne 0$, cancele $\lambda$: $\;2x^2 = 4y^2 = 6z^2$. Daí

Passo 4 — Leve à restrição:

Logo $y^2 = 1$, $x^2 = 2$, $z^2 = \tfrac23$.

Passo 5 — O valor de $|f| = |xyz|$ é o mesmo em todos esses pontos:

Escolhendo os sinais adequados, $f_{\max} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ e $f_{\min} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Passo 1 — A área de $z = f(x,y)$ sobre $D$ é $\displaystyle A = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA$. Com $f = y^2 - x^2$: $f_x = -2x$, $f_y = 2y$, então

Passo 2 — A região $D$ entre os cilindros é o anel $1 \le x^2 + y^2 \le 4$. Em polares ($x^2+y^2 = r^2$, $dA = r\,dr\,d\theta$):

Passo 3 — Monte a integral:

Passo 4 — Substituição $u = 1 + 4r^2$, $du = 8r\,dr \Rightarrow r\,dr = \tfrac{du}{8}$. Para $r:1\to 2$, $u:5\to 17$:

Passo 5 — Como $17^{3/2} = 17\sqrt{17}$ e $5^{3/2} = 5\sqrt{5}$: