Cálculo Diferencial e Integral Vetorial (Cálculo 3)

Passo 1 — Normalize o vetor direção $\vec v = (1, 0, -1)$:

Passo 2 — Calcule o gradiente. Com $u = x + 2y + 3z$, $f = u^{1/2}$:

Passo 3 — Avalie em $(1,1,2)$: $u = 1 + 2 + 6 = 9$, $\sqrt u = 3$:

Passo 4 — Produto escalar com a direção unitária:

Passo 1 — Calcule e zere as parciais:

Passo 2 — Da segunda equação, $x = 0$. Substituindo na primeira: $3y - 3 = 0 \Rightarrow y = 1$. Ponto crítico: $(0, 1)$.

Passo 3 — Segundas derivadas: $f_{xx} = 2$, $f_{yy} = 0$, $f_{xy} = 3$. Determinante Hessiano:

Passo 4 — Como $D = -9 \lt 0$, o ponto $(0,1)$ é ponto de sela — não é máximo nem mínimo local.

Passo 1 — Feche a região: o quarto de círculo no 1º quadrante é delimitado pelo arco $C$, pelo segmento do eixo $y$ (descendo de $(0,2)$ à origem) e pelo segmento do eixo $x$ (da origem até $(2,0)$). Chame o contorno completo de $C'$.

Passo 2 — Aplique Green em $C'$, com $P = -y^2$ e $Q = x^2$:

Passo 3 — Passe para polares ($0 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le \pi/2$):

Passo 4 — Calcule cada fator:

Passo 5 — Desconte os trechos dos eixos. No eixo $y$ ($x=0$, $\vec r(t) = (0, 2-t)$): $\vec F = (-(2-t)^2, 0)$ e $\vec r\,' = (0,-1)$, produto escalar nulo $\Rightarrow$ integral 0. No eixo $x$ ($y=0$, $\vec r(t) = (t,0)$): $\vec F = (0, t^2)$ e $\vec r\,' = (1,0)$, produto nulo $\Rightarrow$ integral 0.

Passo 6 — Logo a integral no arco pedido é

Passo 1 — Descreva o sólido em coordenadas cilíndricas ($x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$):

(primeiro octante $\Rightarrow \theta$ de 0 a $\pi/2$).

Passo 2 — Substitua o integrando: $xy = r^2\sin\theta\cos\theta$, e com o Jacobiano $r$:

Passo 3 — A integral separa em três fatores:

Passo 4 — Multiplique:

Passo 1 — Teste de conservatividade, com $P = \tfrac{y}{x^2}$ e $Q = -\tfrac{1}{x}$:

Iguais (no domínio $x \neq 0$) $\Rightarrow$ o campo é conservativo.

Passo 2 — Integre $P$ em relação a $x$:

Passo 3 — Derive em $y$ e compare com $Q$:

Passo 4 — Tomando $c = 0$, uma função potencial é

Verificação rápida: $\nabla\varphi = \left(\tfrac{y}{x^2},\, -\tfrac1x\right) = \vec F$ ✓

Passo 1 — A curva é fechada e percorrida no sentido positivo (anti-horário), então aplique o Teorema de Green com $P = y^2$ e $Q = 4xy$:

Passo 2 — A região $R$ fica entre a parábola (por baixo) e a reta (por cima), pois $x^2 \le 2x$ para $0 \le x \le 2$:

Passo 3 — Integral interna em $y$:

Passo 4 — Integral externa:

Passo 1 — Em coordenadas esféricas: $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$, o integrando $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \rho$, e o elemento de volume é

Passo 2 — Limites da bola inteira de raio $3$:

Passo 3 — Monte a integral (integrando $\rho\cdot\rho^2\operatorname{sen}\varphi = \rho^3\operatorname{sen}\varphi$). Como as variáveis separam:

Passo 4 — Cada fator:

Dica de limites: bola completa $\Rightarrow \varphi$ percorre $0$ a $\pi$ (polo norte ao sul) e $\theta$ toda a volta $0$ a $2\pi$.

Passo 1 — Divergente:

Passo 2 — Pelo Teorema da Divergência, o fluxo vira $\displaystyle\iiint_E 3(x^2+y^2+z^2)\,dV$ sobre a bola $E$. Em esféricas, $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ e $dV = \rho^2\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$, com $0\le\rho\le 1$, $0\le\varphi\le\pi$, $0\le\theta\le 2\pi$.

Passo 3 — Monte (integrando $3\rho^2\cdot\rho^2\operatorname{sen}\varphi = 3\rho^4\operatorname{sen}\varphi$):

Passo 4 — Os fatores:

Passo 1 — O Teorema de Stokes diz que o fluxo do rotacional pela superfície é igual à circulação na borda:

A borda $C$ do hemisfério é a circunferência $x^2+y^2 = 1$ no plano $z=0$.

Passo 2 — Parametrize $C$ no sentido positivo (compatível com normal para cima): $\vec r(t) = (\cos t,\ \operatorname{sen} t,\ 0)$, $0\le t\le 2\pi$. Então $\vec r\,'(t) = (-\operatorname{sen} t,\ \cos t,\ 0)$.

Passo 3 — Sobre $C$ (onde $z=0$): $\vec F = (y,z,x) = (\operatorname{sen} t,\ 0,\ \cos t)$. O produto escalar:

Passo 4 — Integre:

Alternativa: $\nabla\times\vec F = (-1,-1,-1)$; pela borda plana, só a componente $z$ importa ($\vec n = \vec k$ no disco), dando $\iint_D (-1)\,dA = -\pi$ — mesma resposta.

Passo 1 — Para uma superfície gráfico $z = g(x,y)$ com orientação para cima, o vetor de área é

Com $g = 4 - x^2 - y^2$: $g_x = -2x$, $g_y = -2y$, logo $d\vec S = (2x,\, 2y,\, 1)\,dA$.

Passo 2 — Faça $\vec F\cdot d\vec S$, lembrando que na superfície $z = 4 - x^2 - y^2$:

Passo 3 — A projeção no plano $xy$ é o disco onde $z\ge 0$: $4 - x^2 - y^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+y^2 \le 4$. Em polares ($0\le r\le 2$, $0\le\theta\le 2\pi$):

Passo 4 — Resolva:

Passo 1 — Maximize $V = xyz$ sujeito a $g = x^2 + y^2 + z^2 = 1$. O sistema $\nabla V = \lambda\nabla g$:

Passo 2 — Multiplique por $x, y, z$ respectivamente — cada lado vira $xyz$:

Passo 3 — Com $\lambda\ne 0$ (senão $V=0$), obtemos $x^2 = y^2 = z^2$. Como $x,y,z\gt 0$, $x=y=z$.

Passo 4 — Na restrição: $3x^2 = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{\sqrt3}$. Assim $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt3}$.

Passo 5 — Volume máximo:

Passo 1 — Área de $z = f(x,y)$: $\displaystyle A = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA$. Com $f = x^2+y^2$: $f_x = 2x$, $f_y = 2y$, então o integrando é $\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}$.

Passo 2 — A região $D$ é a projeção: $z\le 4 \Rightarrow x^2 + y^2 \le 4$, disco de raio $2$. Em polares ($0\le r\le 2$, $0\le\theta\le 2\pi$): $\sqrt{1 + 4r^2}$.

Passo 3 — Monte a integral:

Passo 4 — Substituição $u = 1 + 4r^2$, $r\,dr = \tfrac{du}{8}$; $r:0\to 2$ dá $u:1\to 17$: