Cálculo Diferencial e Integral Vetorial (Cálculo 3)

Passo 1 — O paraboloide $z = 1 - x^2 - y^2$ corta o plano $z = 0$ quando $x^2 + y^2 = 1$: a base é o disco de raio 1. O volume é

Passo 2 — Simetria circular $\Rightarrow$ polares ($x^2+y^2 = r^2$, $dA = r\,dr\,d\theta$):

Passo 3 — Resolva a integral radial:

Passo 4 — Multiplique pela integral angular:

Item (a)

Passo 1 — Curva fechada + sentido anti-horário: condições perfeitas para Green. Com $P = 2x - y$ e $Q = 2x + 1$:

Passo 2 — A integral vira 3 vezes a área do retângulo $5 \times 3$:

Item (b)

Passo 1 — Antes de parametrizar, teste se o campo é conservativo. Com $P = 2xy$ e $Q = x^2 + y^2$:

Passo 2 — Ache o potencial: $\varphi = \int 2xy\,dx = x^2 y + g(y)$. Derivando em $y$: $x^2 + g'(y) = x^2 + y^2 \Rightarrow g(y) = \tfrac{y^3}{3}$. Logo

Passo 3 — Pelo Teorema Fundamental, a integral só depende dos extremos. Atenção ao sinal: como o potencial tem $x^2$, tanto em $x=1$ quanto em $x=-1$ vale $x^2 = 1$:

Repare: a parábola $y = x^2$ era só distração — qualquer caminho de $A$ a $B$ daria o mesmo valor. E como $A(-1,1)$ e $B(1,1)$ têm o mesmo $y$ e o mesmo $x^2$, estão na mesma equipotencial, então a integral dá zero.

Item (a) — Com $P = x^2 + y^2$ e $Q = 2xy + y^3 + 1$:

Como $P_y = Q_x$ em todo o plano (que é simplesmente conexo), $\vec F$ é conservativo.

Item (b)

Passo 1 — Integre $P$ em $x$:

Passo 2 — Derive em $y$ e iguale a $Q$:

Passo 3 — Potencial completo:

Item (c) — Campo conservativo $\Rightarrow$ Teorema Fundamental (o caminho $x = y^2$ é irrelevante):

Passo 1 — A região é do tipo I (triângulo entre as retas $y = x$ e $y = -x$, até $x = 2$). Monte a integral iterada integrando primeiro em $y$:

Passo 2 — Integral interna ($x$ é constante):

Passo 3 — Integral externa:

Passo 1 — Em polares, $x^2 + y^2 = r^2$ e $dA = r\,dr\,d\theta$. O disco vira $0 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le 2\pi$:

Repare: sem o jacobiano $r$, a integral de $e^{-x^2-y^2}$ não teria primitiva elementar — é o $r$ que salva a conta.

Passo 2 — Substituição $u = -r^2$, $du = -2r\,dr$:

Passo 3 — A integral em $\theta$ só multiplica por $2\pi$:

Passo 1 — Em esféricas, $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ e $dV = \rho^2\,\operatorname{sen} \varphi\ d\rho\,d\varphi\,d\theta$. O primeiro octante da bola de raio 2 é:

Passo 2 — Monte a integral (o integrando vira $\rho^2\cdot\rho^2\,\operatorname{sen} \varphi = \rho^4\,\operatorname{sen} \varphi$):

Passo 3 — As três integrais se separam:

Passo 4 — Multiplicando:

Passo 1 — Parametrize o segmento. Saindo da origem, $\vec r(t) = (t,\,2t,\,3t)$ com $0 \le t \le 1$ (em $t=0$ estamos em $(0,0,0)$; em $t=1$, em $(1,2,3)$).

Passo 2 — O elemento de arco é $ds = |\vec r\,'(t)|\,dt$. Como $\vec r\,'(t) = (1,2,3)$:

Passo 3 — Substitua $x = t$, $y = 2t$, $z = 3t$ no integrando: $yz = (2t)(3t) = 6t^2$, então $x\,e^{yz} = t\,e^{6t^2}$.

Passo 4 — Monte a integral em $t$:

Passo 5 — Substituição $u = 6t^2$, $du = 12t\,dt\Rightarrow t\,dt = \tfrac{du}{12}$:

Repare: na integral de linha escalar ($ds$) o que importa é o comprimento — por isso aparece $|\vec r\,'|$, e o sentido de percurso não altera o resultado.

Passo 1 — Antes de parametrizar, teste se $\vec F$ é conservativo. Com $P = y+z$, $Q = x+z$, $R = x+y$, o rotacional é nulo:

Como $\vec F$ está definido em todo o $\mathbb R^3$ (simplesmente conexo) e $\nabla\times\vec F = \vec 0$, o campo é conservativo.

Passo 2 — Ache a função potencial $f$ com $\nabla f = \vec F$. De $f_x = y+z$:

Derive em $y$: $f_y = x + g_y = x + z \Rightarrow g_y = z \Rightarrow g = yz + h(z)$. Derive em $z$: $f_z = x + y + h'(z) = x + y \Rightarrow h'(z) = 0$. Logo

Passo 3 — Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha, o trabalho só depende dos extremos (o segmento em si é irrelevante):

Passo 4 — Avalie:

Passo 1 — O Teorema de Green troca a integral de linha por uma integral dupla sobre a região $D$ cercada por $C$:

Aqui $P = 3y - e^{\sin x}$ e $Q = 7x + \sqrt{y^4+1}$.

Passo 2 — Repare que as parcelas feias $e^{\sin x}$ e $\sqrt{y^4+1}$ somem nas derivadas certas:

Passo 3 — A integral dupla vira uma constante vezes a área do disco $D$ de raio $2$:

Moral: quando o rotacional escalar $Q_x - P_y$ é constante, a integral de linha é só essa constante vezes a área cercada.

Passo 1 — Ache os parâmetros $(u,v)$ do ponto. Igualando $\vec r(u,v) = (2,3,0)$:

Confere: $u+v = 1+1 = 2$. Logo $(u,v) = (1,1)$.

Passo 2 — O vetor normal ao plano tangente é $\vec r_u \times \vec r_v$. Calcule as derivadas parciais:

Passo 3 — Produto vetorial:

Passo 4 — Plano por $(2,3,0)$ com normal $(-6,2,-6)$:

Dividindo por $-2$: $\;3x - y + 3z - 3 = 0$, ou seja $\;3x - y + 3z = 3$.

Passo 1 — Numa integral de superfície escalar, $dS = |\vec r_u \times \vec r_v|\,du\,dv$. Calcule os vetores tangentes:

Passo 2 — Produto vetorial e sua norma:

Passo 3 — Escreva o integrando em termos de $u,v$:

Passo 4 — Monte e resolva a integral dupla (o $\sqrt{14}$ é constante, sai fora):

Passo 1 — Escreva o cone como gráfico $z = f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$. O elemento de área é

Passo 2 — No cone, $z^2 = x^2+y^2$, então o integrando fica

Passo 3 — Passe para polares: $x = r\cos\theta$, $x^2+y^2 = r^2$. Como $z = r$, a faixa $1\le z\le 3$ vira $1\le r\le 3$, com $0\le\theta\le 2\pi$. O integrando:

Passo 4 — Monte a integral (lembrando $dA = r\,dr\,d\theta$ e o fator $\sqrt{2}$):

Passo 5 — As duas integrais:

Passo 1 — A área de uma superfície $z = f(x,y)$ sobre a região $D$ é

Com $f = 3y + x^2$: $f_x = 2x$, $f_y = 3$, logo $\sqrt{1 + 4x^2 + 9} = \sqrt{10 + 4x^2}$.

Passo 2 — Descreva o triângulo. Os vértices $(0,0),(1,0),(1,1)$ dão a região entre a reta $y=0$ e a reta $y=x$, com $x$ de $0$ a $1$:

Passo 3 — Monte a integral. O integrando não depende de $y$, então a integral em $y$ só dá o comprimento $x$:

Passo 4 — Substituição $u = 10 + 4x^2$, $du = 8x\,dx \Rightarrow x\,dx = \tfrac{du}{8}$. Para $x:0\to 1$, $u:10\to 14$:

Passo 5 — Como $14^{3/2} = 14\sqrt{14}$ e $10^{3/2} = 10\sqrt{10}$:

Passo 1 — O Teorema da Divergência troca o fluxo por uma integral tripla do divergente:

Passo 2 — Calcule o divergente. Com $P = xy\,e^z$, $Q = xy^2 z^3$, $R = -y\,e^z$:

Repare: os termos $y\,e^z$ se cancelam — sobra só $2xyz^3$.

Passo 3 — A caixa é um domínio-retângulo, então a integral tripla separa em produto de integrais simples:

Passo 4 — Cada fator:

Passo 1 — Pelo Teorema da Divergência, $\displaystyle\iint_S \vec F\cdot d\vec S = \iiint_E \operatorname{div}\vec F\,dV$. Calcule o divergente:

De novo, os termos “assustadores” ($\cos z$, $e^{-z}$, $\operatorname{sen} y$) somem nas derivadas certas.

Passo 2 — Use coordenadas cilíndricas: $x^2+y^2 = r^2$, $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$. O sólido vai da parede $z = r^2$ até a tampa $z = 4$; o raio máximo é onde $r^2 = 4$, ou seja $r = 2$:

Passo 3 — Monte a integral (integrando $=r^2$):

Passo 4 — Integre em $z$ (dá $4 - r^2$):

Passo 5 — Finalize:

Passo 1 — Calcule o rotacional $\nabla\times\vec F$ com $P=-4y$, $Q=2z$, $R=3x$:

Passo 2 — Aqui há dois caminhos. Fazendo o fluxo do rotacional direto pela superfície $z = g(x,y) = 10 - x^2 - y^2$ (orientação para cima), o vetor de área é

Passo 3 — Faça o produto escalar do rotacional constante com $d\vec S$:

Passo 4 — A projeção no plano $xy$ é o disco onde $z\ge 1$, isto é $10 - x^2 - y^2 \ge 1 \Rightarrow x^2+y^2\le 9$ (raio $3$). Integre sobre esse disco $D$: